Fisica classica/Il vettore di Poynting

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Radiazione elettromagnetica prodotta da un dipolo oscillante diretto verticalmente, l'intensità del campo elettrico è data dal colore, mentre il vettore di Poynting è rappresentato come frecce.

Quando un campo elettromagnetico varia nel tempo, esso non solo immagazzina energia, ma è anche in grado di trasportarla nello spazio. Questo trasferimento di energia è una delle caratteristiche più importanti delle onde elettromagnetiche: la luce, le onde radio, i segnali radar e tutte le radiazioni EM sono forme di energia che si propagano.

Per descrivere quantitativamente come e in quale direzione l’energia elettromagnetica fluisce, si introduce il vettore di Poynting, definito come:

${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\,{\vec {E}}\times {\vec {B}}$

dove ${\vec {E}}$ è il campo elettrico, ${\vec {B}}$ è il campo magnetico, $\mu _{0}$ è la permeabilità magnetica del vuoto.

Il vettore ${\vec {S}}$ ha direzione ortogonale sia a ${\vec {E}}$ sia a ${\vec {B}}$, e indica la direzione di propagazione dell’energia.

Il suo modulo rappresenta la densità di potenza, cioè la potenza per unità di superficie trasportata dal campo.

Nel SI, il vettore di Poynting ha unità:

$[{\vec {S}}]={\text{W/m}}^{2}$

coerentemente con la sua interpretazione fisica: la potenza (in watt) che attraversa un metro quadrato di superficie.

Un campo elettromagnetico contiene energia anche quando non si sta propagando. La densità di energia (energia per unità di volume) è:

$u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)$

Questa energia può: essere immagazzinata nel campo, essere trasferita a cariche elettriche o essere trasportata nello spazio sotto forma di onda. Il vettore di Poynting quantifica proprio quest’ultimo contributo: il flusso di energia che attraversa una superficie.

Il vettore di Poynting: permette di calcolare la potenza irradiata da antenne, dipoli, laser, sorgenti luminose; descrive la direzione di propagazione dell’energia EM; è essenziale per definire l’intensità della luce e la pressione di radiazione; entra nella formulazione relativistica del tensore energia‑impulso del campo EM.

Teorema di Poynting

Il vettore di Poynting nasce dalla forma locale della legge di conservazione dell’energia elettromagnetica.

Partendo dalle equazioni di Maxwell e dalla forza di Lorentz, si ottiene:

${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial u}{\partial t}}-\nabla \cdot {\vec {S}}$

Dimostrazione del teorema di Poynting in forma locale

La potenza per unità di volume trasferita dal campo elettromagnetico alle cariche è data dal prodotto scalare tra il campo elettrico e la densità di corrente:

${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}$

Questa quantità rappresenta il lavoro compiuto dal campo sulle cariche per unità di tempo e per unità di volume.

Per ricavare la legge di conservazione dell’energia elettromagnetica, combiniamo le equazioni di Maxwell con un’identità vettoriale fondamentale.

Usiamo due equazioni di Maxwell in forma differenziale:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Prendiamo il prodotto scalare della seconda equazione con ${\vec {E}}$:

${\vec {E}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})=\mu _{0}\,{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Analogamente, prendiamo il prodotto scalare della prima equazione con ${\vec {B}}$:

${\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})=-{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Usiamo l’identità vettoriale:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})-{\vec {E}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$

Sostituendo le espressioni precedenti:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})=-{\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}-\mu _{0}\,{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}-\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Osserviamo che:

${\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}(E^{2})$

${\vec {B}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}(B^{2})$

Sostituendo e riordinando:

$\mu _{0}\,{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}=-\mu _{0}\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E^{2}}{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {B^{2}}{2}}\right)-{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})$

${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}\times {\vec {B}})$

la densità di energia elettromagnetica è:

$u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)$

il vettore di Poynting

${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\,{\vec {E}}\times {\vec {B}}$

Sostituendoli, otteniamo finalmente la forma locale del teorema di Poynting:

${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial u}{\partial t}}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}$

Questa è l’equazione che va usata come punto di partenza per la forma integrale.

Interpretazione fisica:

• ${\vec {E}}\cdot {\vec {J}}$ è il lavoro fatto dal campo sulle cariche per unità di volume;
• $\partial u/\partial t$ è la variazione dell’energia immagazzinata nel campo;
• ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}$ è il flusso di energia che esce dal volume.

Integrando la forma locale della legge di conservazione dell’energia elettromagnetica su un volume $V$ si ottiene:

$\int _{V}{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}\,dV=-\int _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}\,dV-\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}\,dV$

Applicando il teorema della divergenza al termine contenente ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}$:

$\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}\,dV=\oint _{\partial V}{\vec {S}}\cdot d{\vec {A}}$

dove l’integrale è esteso alla superficie di bordo $\partial V$ e $d{\vec {A}}$ è l’elemento di superficie orientato verso l’esterno. Si ottiene così la forma integrale del teorema di Poynting:

$\int _{V}{\vec {E}}\cdot {\vec {J}}\,dV=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}u\,dV-\oint _{\partial V}{\vec {S}}\cdot d{\vec {A}}$

I primi due termini sono integrali di volume, mentre l’ultimo è un integrale di superficie che rappresenta il flusso di energia elettromagnetica uscente dal volume.

L'ultima equazione è il teorema di Poynting: l’energia elettromagnetica si conserva e il vettore ${\vec {S}}$ rappresenta il flusso uscente.

Il vettore di Poynting per un’onda piana polarizzata linearmente

Consideriamo un’onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente, che si propaga lungo la direzione ${\hat {z}}$. In questo caso il campo elettrico oscilla lungo ${\hat {x}}$ e il campo magnetico lungo ${\hat {y}}$:

${\vec {E}}(z,t)=E_{0}\cos(kz-\omega t)\,{\hat {x}}$

${\vec {B}}(z,t)={\frac {E_{0}}{c}}\cos(kz-\omega t)\,{\hat {y}}$

Il vettore di Poynting istantaneo è:

${\vec {S}}(z,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\,{\vec {E}}\times {\vec {B}}={\frac {E_{0}^{2}}{\mu _{0}c}}\,\cos ^{2}(kz-\omega t)\,{\hat {z}}$

Il valore medio nel tempo è:

$\langle {\vec {S}}\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {E_{0}^{2}}{\mu _{0}c}}\,{\hat {z}}$

Questo valore medio è chiamato intensità dell’onda:

$I=\langle |{\vec {S}}|\rangle$

Il vettore di Poynting indica la direzione di propagazione dell’onda ed è eguale alla potenza per unità di superficie trasportata dal campo.

Quanto ricavato per l’onda piana polarizzata linearmente si estende, con le ovvie modifiche, a qualsiasi onda piana.

Per ogni onda elettromagnetica in vuoto, non solo per le onde piane, i campi ${\vec {E}}$ e ${\vec {B}}$ sono sempre ortogonali tra loro, e il vettore di Poynting ${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$ è ortogonale a entrambi. Inoltre, ogni onda elettromagnetica si propaga nel vuoto alla velocità $c=1/{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}$, indipendentemente dalla forma del fronte d’onda.

Onde sferiche

Quando una sorgente elettromagnetica puntiforme emette radiazione, l’energia si distribuisce nello spazio in modo isotropo. In questo caso il fronte d’onda è costituito da superfici sferiche concentriche, e il campo elettromagnetico dipende solo dalla distanza radiale $r$ dalla sorgente.

Se la sorgente emette una potenza totale $P$, questa potenza deve attraversare ogni superficie sferica centrata sulla sorgente. Poiché l’area della sfera di raggio $r$ è:

$A(r)=4\pi r^{2}$

la densità di potenza (intensità) a distanza $r$ è:

$I(r)={\frac {P}{4\pi r^{2}}}$

Questa diminuzione come $1/r^{2}$ non è dovuta a dissipazione del mezzo, ma è una attenuazione puramente geometrica: la stessa potenza si distribuisce su superfici sempre più grandi.

In un’onda sferica il flusso di energia è diretto radialmente, perché l’energia si propaga verso l’esterno in tutte le direzioni. Il vettore di Poynting ha quindi la forma:

${\vec {S}}(r)=I(r)\,{\hat {r}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}\,{\hat {r}}$

La direzione ${\hat {r}}$ indica che il flusso è ortogonale alle superfici sferiche, come previsto dalla geometria dell’onda.

Per un’onda sferica lontana dalla sorgente (regione di radiazione), i campi elettrico e magnetico hanno la forma:

${\vec {E}}(r,t)={\frac {E_{0}}{r}}\cos(kr-\omega t)\,{\hat {\theta }}$

${\vec {B}}(r,t)={\frac {E_{0}}{cr}}\cos(kr-\omega t)\,{\hat {\phi }}$

dove ${\hat {\theta }}$ e ${\hat {\phi }}$ sono le direzioni tangenziali sulla sfera. I campi sono trasversali alla direzione di propagazione ${\hat {r}}$, come in ogni onda elettromagnetica.

Il vettore di Poynting istantaneo è:

${\vec {S}}(r,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\,{\vec {E}}\times {\vec {B}}={\frac {E_{0}^{2}}{\mu _{0}c\,r^{2}}}\cos ^{2}(kr-\omega t)\,{\hat {r}}$

Il valore medio nel tempo è:

$\langle {\vec {S}}(r)\rangle ={\frac {E_{0}^{2}}{2\mu _{0}c\,r^{2}}}\,{\hat {r}}$

che ha la forma generale $\propto 1/r^{2}$, come richiesto dalla conservazione della potenza totale.

Integrando il flusso di Poynting sulla superficie sferica:

$\oint _{4\pi r^{2}}\langle {\vec {S}}(r)\rangle \cdot d{\vec {A}}=\langle S(r)\rangle \cdot 4\pi r^{2}={\frac {E_{0}^{2}\,2\pi }{\mu _{0}c\,}}$

si verifica che la potenza totale emessa è indipendente da $r$, come deve essere per una sorgente puntiforme in assenza di dissipazione.

A grande distanza dalla sorgente, una piccola porzione del fronte d’onda sferico può essere approssimata da un fronte piano.

Pressione di radiazione

Quando un’onda elettromagnetica incide su una superficie, essa trasporta energia e quantità di moto. Il trasferimento di quantità di moto alla superficie genera una forza, e quindi una pressione. Questo fenomeno è chiamato pressione di radiazione.

La pressione di radiazione è una conseguenza diretta del fatto che il campo elettromagnetico possiede un tensore energia‑impulso e quindi trasporta quantità di moto anche nel vuoto.

Il vettore di Poynting:

${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\,{\vec {E}}\times {\vec {B}}$

rappresenta la densità di potenza ($W/m^{2}$) trasportata dall’onda. In un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto, esiste una relazione fondamentale tra flusso di energia e flusso di quantità di moto:

• densità di quantità di moto:${\frac {u}{c}}$
• flusso di quantità di moto:${\frac {S}{c}}$

Poiché la pressione è il flusso di quantità di moto per unità di superficie, si ottiene:

$P={\frac {S}{c}}$

Questa è la formula generale della pressione di radiazione. La pressione di radiazione dipende dal modo in cui la superficie interagisce con l’onda:

• Assorbimento totale: L’onda trasferisce tutto il proprio momento:

$P={\frac {I}{c}}$

• Riflessione speculare: Il momento trasferito raddoppia perché l’onda viene invertita:

$P={\frac {2I}{c}}$

• Riflessione parziale: Se la superficie ha coefficiente di riflessione $R$:

$P={\frac {I}{c}}(1+R)$

Modello della sonda giapponese IKAROS, la prima ad usare le vele solari come propulsione, lanciata nel 2010

La pressione di radiazione può essere interpretata anche in termini di fotoni: ogni fotone ha quantità di moto:

$p={\frac {h\nu }{c}}$.

Quando viene assorbito o riflesso, trasferisce questa quantità di moto alla superficie. L’approccio classico e quello quantistico portano alle stesse espressioni macroscopiche della pressione.

La pressione di radiazione della luce solare al livello dell’orbita terrestre è circa $P\approx 4.5\times 10^{-6}\,{\text{Pa}}$, un valore piccolo ma sufficiente per applicazioni come le vele solari, dove grandi superfici riflettenti sfruttano la pressione di radiazione per produrre accelerazioni misurabili.

Tensore di Maxwell

Il tensore delle sollecitazioni elettromagnetiche descrive come il campo elettromagnetico esercita forze e pressioni sulla materia e su sé stesso. È l’analogo elettromagnetico del tensore delle tensioni in meccanica del continuo: indica come l’energia e la quantità di moto del campo fluiscono e si distribuiscono nello spazio. In altre parole, il tensore di Maxwell è lo strumento che permette di passare da il campo ha energia e quantità di moto a il campo esercita una forza su una superficie.

Nel vuoto, il tensore delle sollecitazioni elettromagnetiche è:

$T_{ij}=\varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}+c^{2}B_{i}B_{j}\right)-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)$

dove: $E_{i}$, $B_{i}$ sono le componenti dei campi, $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker, l’indice $i,j$ corre su $x,y,z$. Il primo termine $\varepsilon _{0}(E_{i}E_{j}+c^{2}B_{i}B_{j})$ rappresenta le tensioni direzionali dovute ai campi. Il secondo termine $-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})$ è una pressione isotropa negativa, analoga alla pressione interna di un fluido.

Il tensore è simmetrico, proprietà fondamentale per la conservazione del momento angolare del campo.

La pressione esercitata dal campo nella direzione normale ${\hat {n}}$ a una superficie è:

$P=T_{ij}n_{i}n_{j}$

Per un’onda piana nel vuoto, questo porta direttamente alle formule della pressione di radiazione:

• assorbimento: $P=I/c$
• riflessione: $P=2I/c$

Le componenti fuori diagonale $T_{ij}$ con $i\neq j$ rappresentano forze di taglio esercitate dal campo, analoghe alle tensioni tangenziali in un solido.

Il tensore di Maxwell compare nell’equazione di bilancio della quantità di moto del campo:

${\frac {\partial }{\partial t}}(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}})={\vec {\nabla }}\cdot \mathbf {T} -{\vec {f}}$

dove: $\varepsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$ è la densità di quantità di moto del campo, $\mathbf {T}$ è il tensore di Maxwell, ${\vec {f}}$ è la forza di Lorentz esercitata sulla materia.

Questa equazione è l’analogo elettromagnetico della legge di Cauchy per i mezzi continui.

Il tensore di Maxwell è strettamente legato al vettore di Poynting:

${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$

Infatti il vettore di Poynting descrive il flusso di energia e il tensore di Maxwell descrive il flusso di quantità di moto.

Insieme formano il tensore energia-impulso del campo elettromagnetico, che in relatività speciale si scrive come:

$T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}u&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\S_{y}/c&T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\S_{z}/c&T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{pmatrix}}$