Fisica classica/Linea di trasmissione

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Linee di trasmissione

Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle leggi di Kirchhoff) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce $c$ come idealmente infinita.

Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti.

Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza $l$ di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda $\lambda$ del segnale che vi propaga.

Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza $\nu$ e alla velocità di propagazione nel mezzo $v$:

$\lambda =\frac{v}{\nu }$

diventa evidente che all'aumentare della frequenza $\nu$, la lunghezza d'onda $\lambda$ diminuisce proporzionalmente.

• Regime a parametri concentrati ($l\ll \lambda$): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente $l<0.1\lambda$), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante $t$, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide.
• Regime a parametri distribuiti ($l\gtrsim 0.1\lambda$): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo $t$, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale $x$.

Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una linea di trasmissione.

Limite delle leggi di Kirchhoff

Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga $l$. Se la frequenza è tale per cui $l=\lambda /2$, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo.

La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico:

$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{r}=0$

non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente sfugga da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali.

L'analogia meccanica

Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici.

Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti).

Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori.

Il modello a parametri distribuiti

Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.

Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a parametri distribuiti (sviluppato storicamente da Oliver Heaviside)

In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza $\delta x$. Ciascun tratto $\delta x$ si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento:

• $\delta R$: Resistenza del tratto infinitesimo (in $\mathrm{\Omega }$), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori.
• $\delta L$: Induttanza del tratto infinitesimo (in $\text{H}$), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori.
• $\delta C$: Capacità del tratto infinitesimo (in $\text{F}$), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori.
• $\delta G$: Conduttanza del tratto infinitesimo (in $\text{S}$), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto.

Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni $\delta R=R^{\prime }\delta x$, $\delta L=L^{\prime }\delta x$, $\delta C=C^{\prime }\delta x$ e $\delta G=G^{\prime }\delta x$.

Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale $x$ e la coordinata $x+\delta x$. Sia $V(x,t)$ la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e $I(x,t)$ la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata $x+\delta x$, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente:

$V(x+\delta x,t)=V(x,t)+\frac{\partial V(x,t)}{\partial x}\delta x$

$I(x+\delta x,t)=I(x,t)+\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}\delta x$

Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza $\delta R$ e dell'induttanza $\delta L$ è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita:

$V(x,t)-V(x+\delta x,t)=\delta R\cdot I(x,t)+\delta L\cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}$

Sostituendo l'espressione di $V(x+\delta x,t)$ e la definizione dei parametri lineari in funzione di $\delta x$ si ottiene:

$-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x}\delta x=(R^{\prime }\delta x)I(x,t)+(L^{\prime }\delta x)\frac{\partial I(x,t)}{\partial t}$

Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima $\delta x$, ricaviamo la prima equazione differenziale:

$\frac{\partial V(x,t)}{\partial x}=-R^{\prime }I(x,t)-L^{\prime }\frac{\partial I(x,t)}{\partial t}\text{(1)}$

In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che sfugge attraverso la conduttanza $\delta G$ e la capacità $\delta C$:

$I(x,t)-I(x+\delta x,t)=\delta G\cdot V(x+\delta x,t)+\delta C\cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}$

Poiché le variazioni del secondo ordine (come $\delta x\cdot \delta x$) sono trascurabili nel limite per $\delta x\to 0$, possiamo approssimare $V(x+\delta x,t)\approx V(x,t)$. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di $\delta x$ si ha:

$-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}\delta x=(G^{\prime }\delta x)V(x,t)+(C^{\prime }\delta x)\frac{\partial V(x,t)}{\partial t}$

Semplificando il termine $\delta x$, otteniamo la seconda equazione fondamentale:

$\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=-G^{\prime }V(x,t)-C^{\prime }\frac{\partial V(x,t)}{\partial t}\text{(2)}$

Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di equazioni dei telegrafisti. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite ($\delta R=0$ e $\delta G=0$), questo sistema si riduca alla celebre equazione delle onde di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici.

Linea non dissipativa

Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo:

$R^{\prime }=0⟹\delta R=0$

$G^{\prime }=0⟹\delta G=0$

Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a:

$\frac{\partial V(x,t)}{\partial x}=-L^{\prime }\frac{\partial I(x,t)}{\partial t}\text{(3)}$

$\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=-C^{\prime }\frac{\partial V(x,t)}{\partial t}\text{(4)}$

Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione $V(x,t)$, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale $x$:

$\frac{{\partial }^{2}V(x,t)}{\partial x^2}=-L^{\prime }\frac{{\partial }^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}$

Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali (Teorema di Schwarz), possiamo scrivere:

$\frac{{\partial }^{2}V(x,t)}{\partial x^2}=-L^{\prime }\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial I(x,t)}{\partial x}\right)$

Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo:

$\frac{{\partial }^{2}V(x,t)}{\partial x^2}=-L^{\prime }\frac{\partial }{\partial t}(-C^{\prime }\frac{\partial V(x,t)}{\partial t})$

Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione:

$\frac{{\partial }^{2}V(x,t)}{\partial x^2}=L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\partial }^{2}V(x,t)}{\partial t^2}\text{(5)}$

Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a $x$ e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea:

$\frac{{\partial }^{2}I(x,t)}{\partial x^2}=L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\partial }^{2}I(x,t)}{\partial t^2}\text{(6)}$

L'equazione di D'Alembert ha la forma generale $\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}$, dove $v$ rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori:

$v=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}$

Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo ($v=\sqrt{T/\mu }$), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto:

$v=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}}$

In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva $V^{+}(x-vt)$ (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva $V^{-}(x+vt)$ (che si muove verso le $x$ decrescenti):

$V(x,t)=V^{+}(x-vt)+V^{-}(x+vt)$

Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza:

$I(x,t)=\frac{V^{+}(x-vt)}{Z_0}-\frac{V^{-}(x+vt)}{Z_0}$

Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta ($-x$). La costante d'proporzionalità $Z_0$ prende il nome di impedenza caratteristica della linea:

$Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}$

L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico.

Fenomeni di riflessione

Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita $l$ e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico $Z_L$ posta alla coordinata $x=l$. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico.

Alla fine della linea ($x=l$), il rapporto tra la tensione totale $V(l,t)$ e la corrente totale $I(l,t)$ deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico:

$\frac{V(l,t)}{I(l,t)}=Z_L$

Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo:

$\frac{V^{+}(l)+V^{-}(l)}{\frac{V^{+}(l)}{Z_0}-\frac{V^{-}(l)}{Z_0}}=Z_L$

Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in $x=0$. L'equazione si semplifica in:

$\frac{V^{+}+V^{-}}{\frac{V^{+}}{Z_0}-\frac{V^{-}}{Z_0}}=Z_L$

Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa $V^{-}$, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente $V^{+}$:

$V^{+}+V^{-}=Z_L(\frac{V^{+}}{Z_0}-\frac{V^{-}}{Z_0})$

$V^{-}(1+\frac{Z_L}{Z_0})=V^{+}(\frac{Z_L}{Z_0}-1)$

Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca $\mathrm{\Gamma }$) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva):

$\mathrm{\Gamma }=\frac{V^{-}}{V^{+}}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$

Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai leggi di Fresnel per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione.

Casi Limite

Il valore di $\mathrm{\Gamma }$ è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1.

Analizziamo i tre casi fisici fondamentali:

• Linea adattata ($Z_L=Z_0$): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla:

$\mathrm{\Gamma }=0⟹V^{-}=0$

Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione.

• Linea in circuito aperto ($Z_L\to \mathrm{\infty }$): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento:

$\mathrm{\Gamma }=\underset{Z_L\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=+1⟹V^{-}=V^{+}$

L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale ($V_{tot}=2V^{+}$), mentre la corrente si annulla.

• Linea in cortocircuito ($Z_L=0$): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine:

$\mathrm{\Gamma }=\frac{0-Z_0}{0+Z_0}=-1⟹V^{-}=-V^{+}$

L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla ($V_{tot}=0$), mentre la corrente totale raddoppia.

Onde Stazionarie

Quando $\mathrm{\Gamma }\ne 0$, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale ($\mathrm{\Gamma }=\pm 1$), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda $\lambda$. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi.

Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il Rapporto di Onda Stazionaria (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea:

$\text{ROS}=\frac{V_{max}}{V_{min}}=\frac{1+|\mathrm{\Gamma }|}{1-|\mathrm{\Gamma }|}$

Un valore di $\text{ROS}=1$ indica una linea perfettamente adattata, mentre un $\text{ROS}\to \mathrm{\infty }$ descrive una condizione di riflessione totale.

LINEE DISSIPATIVE

Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla ($R^{\prime }\ne 0$) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento ($G^{\prime }\ne 0$). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi.

Il formalismo dei fasori

Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione $\omega =2\pi \nu$. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa:

$V(x,t)=\text{Re}[\tilde{V}(x)e^{j\omega t}]$

$I(x,t)=\text{Re}[\tilde{I}(x)e^{j\omega t}]$

dove $\tilde{V}(x)$ e $\tilde{I}(x)$ sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione $x$, e $j$ è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per $j\omega$ ($\frac{\partial }{\partial t}\to j\omega$), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie:

$\frac{d\tilde{V}(x)}{dx}=-(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })\tilde{I}(x)\text{(7)}$

$\frac{d\tilde{I}(x)}{dx}=-(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })\tilde{V}(x)\text{(8)}$

Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa $Z^{\prime }=R^{\prime }+j\omega L^{\prime }$ e l'ammettenza trasversale complessa $Y^{\prime }=G^{\prime }+j\omega C^{\prime }$per unità di lunghezza.

Costante di propagazione complessa

Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo:

$\frac{d^2\tilde{V}(x)}{d{x}^2}=(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })\tilde{V}(x)$

Definiamo la costante di propagazione complessa :$\gamma$ come:

$\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })}$

L'equazione differenziale assume così la forma compatta:

$\frac{d^2\tilde{V}(x)}{d{x}^2}={\gamma }^2\tilde{V}(x)\text{(9)}$

La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi:

$\tilde{V}(x)={\tilde{V}}^{+}{e}^{-\gamma x}+{\tilde{V}}^{-}{e}^{+\gamma x}={\tilde{V}}^{+}{e}^{-\alpha x}{e}^{-j\beta x}+{\tilde{V}}^{-}{e}^{+\alpha x}{e}^{j\beta x}$

Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale $e^{j\omega t}$ per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma:

$V^{+}(x,t)=\text{Re}\left[{\tilde{V}}^{+}{e}^{-\alpha x}{e}^{j(\omega t-\beta x)}\right]=|{\tilde{V}}^{+}|e^{-\alpha x}\cos (\omega t-\beta x+{\varphi }^{+})$

Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di $\gamma$:

• $\alpha$: Costante di attenuazione (misurata in $\text{Np/m}$ o $\text{dB/m}$). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative ($R^{\prime }$ e $G^{\prime }$). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore.
• $\beta$: Costante di fase (misurata in $\text{rad/m}$). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda $k$ delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione $\beta =\frac{2\pi }{\lambda }$.

Impedenza caratteristica complessa

Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente:

$\tilde{I}(x)=\frac{\gamma }{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}({\tilde{V}}^{+}{e}^{-\gamma x}-{\tilde{V}}^{-}{e}^{+\gamma x})=\frac{1}{Z_0}({\tilde{V}}^{+}{e}^{-\gamma x}-{\tilde{V}}^{-}{e}^{+\gamma x})$

In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa:

$Z_0=\sqrt{\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{G^{\prime }+j\omega C^{\prime }}}$

Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo.

Dimostrazione del valore della impedenza caratteristica per una linea dissipativa

Per una linea uniforme dissipativa con parametri per unità di lunghezza $L^{\prime }$ (induttanza) e $C^{\prime }$ (capacità), $R^{\prime }$ (resistenza), $G^{\prime }0$ (conduttanza), in regime sinusoidale (fasori) le equazioni dei telegrafisti sono:

$\frac{dV(x)}{dx}=-(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })I(x)$

$\frac{dI(x)}{dx}=-(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })V(x)$

Derivo la prima rispetto a $x$:

$\frac{d^{2}V(z)}{d{x}^2}=-(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })\frac{dI(x)}{dx}$

Sostituisco $\frac{dI}{dx}$ dalla seconda:

$\frac{dI(x)}{dx}=-(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })V(x)$

quindi:

$\frac{d^{2}V(x)}{d{z}^x}=(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })V(x)$

Definisco la costante di propagazione complessa:

${\gamma }^2=(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })$

Allora:

$\frac{d^{2}V(x)}{d{x}^2}={\gamma }^{2}V(x)$

Le soluzioni sono esponenziali:

$V(x)=V^{+}{e}^{-\gamma x}+V^{-}{e}^{+\gamma x}$

In modo del tutto analogo, derivando la seconda equazione e sostituendo la prima, si ottiene:

$\frac{d^{2}I(x)}{d{x}^2}={\gamma }^{2}I(x)$

con soluzione:

$I(x)=I^{+}{e}^{-\gamma x}+I^{-}{e}^{+\gamma x}$

Per definire l’impedenza caratteristica, considero l’onda che si propaga in una direzione (ad esempio verso $+x$):

$V(x)=V^{+}{e}^{-\gamma x}$

$I(x)=I^{+}{e}^{-\gamma x}$

Per questa onda il rapporto $V/I$ è costante:

$Z_0=\frac{V(x)}{I(x)}=\frac{V+}{I+}$

Riprendo la prima equazione:

$\frac{dV(x)}{dx}=-(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })I(x)$

Sostituisco le espressioni dell’onda diretta:

$\frac{d}{dx}\left(V^{+}{e}^{-\gamma x}\right)=-(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })I^{+}{e}^{-\gamma x}$

La derivata a sinistra è:

$-\gamma V^{+}{e}^{-\gamma x}=-(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })I^{+}{e}^{-\gamma x}$

Elimino il fattore comune $e^{-\gamma x}$ e il segno $-$:

$\gamma V^{+}=(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })I^{+}$

Da cui:

$\frac{V+}{I+}=\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{\gamma }$

cioè:

$Z_0=\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{\gamma }$

Dalla definizione:

${\gamma }^2=(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })$

posso scrivere:

$\gamma =\sqrt{(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })}$

Allora:

$Z_0=\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{\gamma }=\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{\sqrt{(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })}}$

Raccolgo $R^{\prime }+j\omega L^{\prime }$ sotto radice:

$Z_0=\sqrt{\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{G^{\prime }+j\omega C^{\prime }}}$

come volevasi dimostrare.

Nel caso limite non dissipativo ($R^{\prime }=0$, $G^{\prime }=0$) si ha che:

$Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}$

Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside

In una linea generica con perdite , sia $\alpha$ che la velocità di fase $v_f=\frac{\omega }{\beta }$ dipendono in modo non lineare dalla frequenza $\omega$. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose:

1. Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza).
2. Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione).

Nel 1887, Oliver Heaviside intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside:

$\frac{R^{\prime }}{L^{\prime }}=\frac{G^{\prime }}{C^{\prime }}$

la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a:

$\alpha =\sqrt{R^{\prime }{G}^{\prime }}$

$\beta =\omega \sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}$

In questo caso speciale, l'attenuazione $\alpha$ diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase $v_f=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}$ costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche.

Modi di propagazione nelle linee di trasmissione

Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione ($x$).

Modo TEM (Transverse Electromagnetic Mode)

• [$E_x=0,B_x=0$.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi.
• La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: $v=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$
• Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo.
• È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti.

Modo TE (Transverse Electric)

• Definizione: [ Modo TE (Transverse Electric)
• [ $E_x=0,B_x\ne 0$. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale.
• Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale.
• Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi.
• La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori.

Modo TM (Transverse Magnetic)

• [ $E_x\ne 0,B_x=0$. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale.
• Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale.
• Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida

Geometrie comuni delle linee di trasmissioni

Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari $L^{\prime }$ e $C^{\prime }$, e la conseguente impedenza caratteristica $Z_0$, per le varie configurazioni utilizzate.

In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una permittività elettrica $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$ e da una permeabilità magnetica $\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ (nella quasi totalità dei casi pratici, ${\mu }_r\approx 1$).

1. Il cavo coassiale

Cavo coassiale RG-59
A: guaina esterna di plastica
B: calza di rame intrecciata
C: isolante dielettrico interno
D: anima

Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio $a$ e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno $b$, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali.

Applicando il teorema di Gauss per ricavare il campo elettrico $\overrightarrow{E}$ e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare:

$C^{\prime }=\frac{2\pi \epsilon }{\ln \left(\frac{b}{a}\right)}\left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]$

Applicando la lelegge di Ampère per determinare il campo magnetico $\overrightarrow{B}$ nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per effetto pelle):

$L^{\prime }=\frac{\mu }{2\pi }\ln \left(\frac{b}{a}\right)\left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]$

Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea:

• Velocità di propagazione: $v=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$ (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria $a$ e $b$).
• Impedenza caratteristica:

$Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}\ln \left(\frac{b}{a}\right)$

Nel vuoto o in aria ($\sqrt{{\mu }_0/{\epsilon }_0}={\eta }_0\approx 377\mathrm{\Omega }$), la formula si riduce numericamente a:

$Z_0\approx \frac{60}{\sqrt{{\epsilon }_r}}\ln \left(\frac{b}{a}\right)\mathrm{\Omega }$

2. La Linea bifilare

Pezzo di una linea bifilare da $300\mathrm{\Omega }$

La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio $a$, i cui assi sono separati da una distanza $D$. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili ($D\gg a$). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare:

$C^{\prime }=\frac{\pi \epsilon }{\ln \left(\frac{D}{a}\right)}\left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]$

Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare:

$L^{\prime }=\frac{\mu }{\pi }\ln \left(\frac{D}{a}\right)\left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]$

Anche in questo caso, il prodotto $L^{\prime }{C}^{\prime }$ porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo ($v=1/\sqrt{\mu \epsilon }$).

L'impedenza caratteristica assume invece la forma:

$Z_0=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}}=\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}\ln \left(\frac{D}{a}\right)$

In aria o vuoto, la formula si approssima a:

$Z_0\approx \frac{120}{\sqrt{{\epsilon }_r}}\ln \left(\frac{D}{a}\right)\mathrm{\Omega }$

3. Linee Planari (microstrip, stripline e linee complanari)

Con l'avvento dei circuiti integrati e dei circuiti stampati (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante.

A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per $L^{\prime }$ e $C^{\prime }$ in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate.

Microstrip

Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.

La microstrip è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza $W$ e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore $h$ e permittività ${\epsilon }_r$). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (ground plane). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (${\epsilon }_r=1$) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace ${\epsilon }_{eff}$ (con $1<{\epsilon }_{eff}<{\epsilon }_r$).

• Velocità di propagazione: $v=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{eff}}}$
• Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, $W/h\gg 1$):

$Z_0\approx \frac{{\eta }_0}{\sqrt{{\epsilon }_{eff}}}\frac{1}{\frac{W}{h}+1.393+0.667\ln (\frac{W}{h}+1.444)}\mathrm{\Omega }$

Stripline

Diagramma della sezione trasversale della stripline. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).

La stripline è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza $W$ è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della stripline rispetto alla microstrip è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti.

• Velocità di propagazione: $v=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_r}}$ (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo).
• Impedenza caratteristica (per strisce strette):

$Z_0\approx \frac{60}{\sqrt{{\epsilon }_r}}\ln \left(\frac{4b}{\pi W\cdot 0.67}\right)\mathrm{\Omega }:$

dove $b$ è la distanza tra i piani di massa.

linee complanari

Sezione di una linea di trasmisione complanare

La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei circuiti integrati monolitici a microonde (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (via-holes)

Tipi di linee e modi di propagazione

Geometria	Tipo di campo	Confinamento	Principale applicazione
Cavo coassiale	TEM puro	Totale	Cablaggi, Strumentazione
Linea bifilare	TEM puro	Parziale	Telecomunicazioni
Microstrip	quasi TEM	Parziale	Circuiti stampati
Stripline	TEM puro	Totale	circuiti digitali ultrarapidi
Complanare	quasi TEM	Superficiale	circuiti integrati alle microonde