Fisica classica/Corda vibrante

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Corda vibrante

Una corda tesa costituisce uno dei sistemi più semplici per studiare la propagazione delle onde meccaniche. Il modello descrive bene il funzionamento di strumenti musicali come arpe, chitarre, pianoforti e violini, nei quali la vibrazione della corda genera un suono di frequenza ben definita. Anche le corde vocali umane funzionano secondo gli stessi principi fisici delle corde vibranti.

Equazione del moto di una corda tesa

Immagine di una corda vibrante

Consideriamo una corda di lunghezza $L$, densità lineare $\mu$ e tensione costante $T$. Sia $y(x,t)$ lo spostamento trasversale della corda dalla posizione di equilibrio.

Prendiamo un elemento infinitesimo di corda di lunghezza $\delta x$ e massa:

$\mu \,\delta x$

La tensione $T$ è la stessa in modulo lungo tutta la corda, ma la sua direzione varia con la pendenza locale. Indichiamo con $\theta (x,t)$ l’angolo che la corda forma con l’asse orizzontale.

La componente verticale della tensione all’estremo sinistro è:

$T\sin \theta (x,t)\approx T\,{\frac {\partial y}{\partial x}}(x,t)$

e all’estremo destro:

$T\sin \theta (x+\delta x,t)\approx T\,{\frac {\partial y}{\partial x}}(x+\delta x,t)$

La forza risultante verticale sull’elemento è quindi:

$F_{y}=T\left[{\frac {\partial y}{\partial x}}(x+\delta x,t)-{\frac {\partial y}{\partial x}}(x,t)\right]=T\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\,\delta x$

Per il secondo principio della dinamica:

$\mu \,\delta x\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=T\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\,\delta x$

Dividendo per $\mu \,\delta x$ si ottiene l’equazione dell’onda:

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {T}{\mu }}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

Definendo:

$v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$

l’equazione assume la forma standard: ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=v^{2}\,{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

Onde stazionarie e modi normali

Onde stazionarie in una corda vibrante: la frequenza fondamentale e le prime 5 armoniche.

Se la corda è fissata agli estremi ($y(0,t)=y(L,t)=0$), le soluzioni fisicamente ammissibili sono onde stazionarie della forma:

$y_{n}(x,t)=A_{n}\sin \!\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cos(\omega _{n}t+\phi _{n})$

dove:

$\omega _{n}=n\,{\frac {\pi v}{L}}$

e le frequenze proprie sono:

$f_{n}={\frac {nv}{2L}}\qquad n=1,2,3,\dots$

La frequenza fondamentale è:

$f_{1}={\frac {v}{2L}}$

e le altre sono i suoi multipli interi (armoniche).

Interpretazione fisica

• La tensione $T$ aumenta la velocità dell’onda e quindi la frequenza.
• La densità lineare $\mu$ la diminuisce.
• La lunghezza $L$ determina la frequenza fondamentale: corde più corte producono note più acute.
• Le corde vocali funzionano come una corda vibrante, ma con tensione variabile controllata dai muscoli della laringe.

Armoniche

Quando una corda tesa viene messa in vibrazione, non oscilla quasi mai come un’onda sinusoidale pura. La soluzione generale dell’equazione dell’onda con estremi fissi è una combinazione lineare dei modi normali, ciascuno con la sua frequenza. Queste frequenze sono multipli interi della fondamentale $f_{1}$ e vengono chiamate armoniche.

Ogni modo normale ha la forma:

$y_{n}(x,t)=A_{n}\sin \!\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cos(\omega _{n}t+\phi _{n})$

La vibrazione reale della corda è la somma:

$y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin \!\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\cos(\omega _{n}t+\phi _{n})$

I coefficienti $A_{n}$ dipendono da come la corda viene eccitata:

• pizzico vicino al centro → armoniche pari molto deboli
• pizzico vicino a un estremo → armoniche alte molto intense
• colpo con martelletto (pianoforte) → spettro ricco e regolare
• sfregamento con arco (violino) → spettro con molte armoniche alte

Timbro

Il timbro è la qualità caratteristica del suono che permette di distinguere due strumenti che suonano la stessa nota. Fisicamente, il timbro dipende da:

• ampiezze relative delle armoniche $A_{n}$
• fase relativa $\phi _{n}$ (meno importante per l’orecchio umano)
• variazioni nel tempo dello spettro (attacco, decadimento)

Due strumenti che producono la stessa frequenza fondamentale $f_{1}$ hanno timbri diversi perché eccitano in modo diverso le armoniche superiori.

Corda reale e dispersione

Il modello ideale della corda vibrante assume che la corda sia perfettamente flessibile, priva di attrito interno e con tensione costante. Nella realtà, però, le corde degli strumenti musicali (e le corde vocali) presentano proprietà meccaniche che modificano la propagazione delle onde e la distribuzione delle armoniche. Questi effetti sono responsabili di fenomeni come dispersione, smorzamento e deviazione dall’armonicità perfetta.

Rigidità flessionale

Una corda reale non è perfettamente flessibile: oppone una piccola resistenza alla curvatura. Questa proprietà è descritta dal modulo di Young del materiale e dal momento d’inerzia della sezione.

L’effetto principale è che la relazione tra frequenza e numero d’onda non è più:

$\omega =vk$

ma diventa:

$\omega ^{2}=v^{2}k^{2}+\alpha k^{4}$

dove $\alpha$ dipende dalla rigidità della corda. Di conseguenza le onde ad alta frequenza (armoniche alte) viaggiano più velocemente e la serie armonica non è più esattamente $f_{n}=nf_{1}$. Di conseguenza gli strumenti a corda mostrano una leggera inarmonicità. Questo effetto è particolarmente evidente nel pianoforte, dove le corde sono corte e molto rigide.

Dispersione

Una corda reale è un mezzo dispersivo: la velocità dell'onda dipende dalla frequenza.

Nel modello ideale:

$v={\sqrt {T/\mu }}$

è costante. Nella corda reale, invece:

$v=v(k)$

e cresce con il numero d’onda $k$.

Come conseguenza gli impulsi non mantengono la forma, si allargano nel tempo in quanto le armoniche alte arrivano prima delle basse, ma anche il timbro cambia durante il decadimento del suono.

Smorzamento

Le corde reali dissipano energia in varie maniera: attrito interno del materiale, attrito con l’aria, perdite nei punti di vincolo (ponticello, capotasto, piroli).

Da un punto di vista matematico è descritto da un termine proporzionale alla velocità:

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}-2\gamma {\frac {\partial y}{\partial t}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

dove $\gamma$ è il coefficiente di smorzamento.

Di conseguenza le armoniche alte decadono più rapidamente e quindi il timbro evolve nel tempo (attacco brillante, decadimento più scuro). Inoltre strumenti diversi hanno curve di decadimento caratteristiche.

Inarmonicità

A causa della rigidità, le frequenze dei modi non sono più multipli esatti della fondamentale:

$f_{n}\approx nf_{1}{\sqrt {1+Bn^{2}}}$

dove $B$ è il coefficiente di inarmonicità.

Il pianoforte è uno strumento musicale nel quale con l’accordatura si deve compensare l’inarmonicità che comporta che le armoniche alte risultano più acute del previsto. Negli strumenti ad arco, la rigidità è minore e l’inarmonicità è quasi trascurabile.