Fisica classica/Campi elettromagnetici nei dielettrici

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Campi elettromagnetici nei dielettrici

Quando un’onda elettromagnetica entra in un dielettrico, il campo elettrico oscillante interagisce con le cariche legate del materiale. Questa interazione modifica la propagazione rispetto al vuoto e introduce fenomeni come rallentamento, dispersione e assorbimento.

Nel vuoto il campo elettromagnetico si propaga con velocità costante $c$ e senza interazioni con la materia. In un dielettrico, invece, il campo elettrico induce una polarizzazione $\mathbf {P}$:

${\vec {P}}=\varepsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}}$

che genera un campo aggiuntivo. Il campo totale nel mezzo è quindi diverso da quello nel vuoto, e la propagazione è descritta da parametri macroscopici: $\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$, $\mu =\mu _{0}\mu _{r}$.

Nel vuoto la velocità di fase è:

$v_{0}=c$.

Nel dielettrico diventa:

$v={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}}$.

La ragione fisica è che la polarizzazione non segue istantaneamente il campo elettrico: le cariche legate devono accelerare, invertire direzione, oscillare. Questo introduce un ritardo nella risposta del materiale e rallenta la propagazione dell’onda.

La polarizzazione del materiale dipende dalla frequenza dell’onda. Di conseguenza anche la permittività diventa funzione della frequenza:

$\varepsilon =\varepsilon (\omega )$.

L’indice di rifrazione è quindi:

$n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )\,\mu (\omega )}}$.

Se $n$ dipende da $\omega$, allora la velocità di fase:

$v(\omega )={\frac {c}{n(\omega )}}$

non è costante → nasce la dispersione: frequenze diverse viaggiano con velocità diverse.

Modello fisico

Se si riscrivono le equazioni di Maxwell in presenza di un mezzo lineare, isotropo, omogeneo, non dispersivo, privo di cariche libere e di correnti di conduzione, caratterizzato da permeabilità $\mu$ e permittività $\varepsilon$ costanti; si arriva anche nei dielettrici, cioè i materiali isolanti, ad una equazione delle onde:

$\nabla ^{2}{\vec {E}}-\mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

La differenza con il vuoto è che la velocità di fase della luce ha un valore inferiore a quello del vuoto:

$v={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}$

In realtà:

$\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$

e quindi:

$v={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{r}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}$

Essendo nella maggior parte dei mezzi non magnetici:

$\mu _{r}\simeq 1$

allora

$v={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon _{r}}}}$

da qui definendo:

$n={\sqrt {\varepsilon _{r}}}$

Si ha che:

$v={\frac {c}{n}}\$

Dove $n={\sqrt {\varepsilon _{r}}}$ è chiamato indice di rifrazione. Nei comuni mezzi dielettrici lineari e trasparenti l'indice di rifrazione è generalmente maggiore di uno; esistono tuttavia mezzi particolari (ad esempio plasmi e metamateriali) nei quali questa proprietà non è verificata.

Quando la frequenza dell’onda è molto più piccola della frequenza naturale degli elettroni legati ($\omega \ll \omega _{0}$), le cariche riescono a seguire senza ritardo il campo elettrico. L’equazione dell’oscillatore:

$m{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+kx=qE(t)$

si riduce a una risposta quasi statica:

$x(t)\approx {\frac {q}{k}}E(t)$

La polarizzazione è quindi istantanea:

${\vec {P}}(t)\approx \varepsilon _{0}\chi _{e}\,{\vec {E}}(t)$

e la permittività può essere considerata costante $\rightarrow$ assenza di dispersione.

Quindi finché le onde elettromagnetiche hanno frequenze basse ( minori di qualche centinaio di MHz) $n\$ è semplicemente

$n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\$

Dove $\epsilon _{r}$ è la costante dielettrica relativa e $\mu _{r}\$ è la permeabilità magnetica relativa, che nella maggior parte delle sostanze è prossima all'unità. Quindi se consideriamo, ad esempio, l'acqua, deionizzata cioè senza elettroliti in soluzione, la quale ha una costante dielettrica relativa pari a 80, la velocità della luce per quanto riguarda le basse frequenze è circa 1/9 di quella nel vuoto.

Lunghezza d'onda

Se definiamo $\lambda _{o}\$ la lunghezza d'onda nel vuoto. Immaginiamo di avere una onda elettromagnetica che dal vuoto, in cui vale:

$\lambda _{o}\nu =c\$

passa ad un mezzo dielettrico, la relazione che lega lunghezza d'onda e frequenza propria di tutte le onde vale anche in presenza di dielettrico continua a valere:

$\lambda \nu =c'={\frac {c}{n}}\$

di conseguenza:

$\lambda ={\frac {\lambda _{o}}{n}}\$

quindi in genere nei mezzi la lunghezza d'onda diminuisce.

La frequenza $\nu$ rimane invece invariata perché è imposta dalla sorgente: quando l’onda attraversa l’interfaccia, le condizioni al contorno richiedono che i campi elettrico e magnetico oscillino con la stessa periodicità temporale su entrambi i lati, impedendo qualsiasi variazione della frequenza.

Modello atomico

Fino a questo punto la permittività $\varepsilon$ è stata considerata una proprietà macroscopica del materiale. È però interessante comprenderne l'origine a partire dal comportamento degli atomi e delle molecole.

L'equazione microscopica che descrive l'azione del campo elettrico sui dipoli elementari di cui è fatta la materia è simile a quella di un oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento.

Tale sistema ammette una frequenza di risonanza: al crescere della frequenza, finché l’assorbimento $\kappa$ rimane piccolo, l’indice di rifrazione $n$ tende ad aumentare. In prossimità della risonanza, dove $\kappa$ è massimo, la pendenza di $n(\omega )$ si inverte e può anche scendere sotto l’unità

La relazione $n={\sqrt {\varepsilon _{r}}}$ vale solo se $\varepsilon _{r}$ è valutata alla stessa frequenza dell’onda. Il valore statico $\varepsilon _{r}\approx 80$ dell’acqua è dovuto ai dipoli permanenti, che però non riescono a seguire un campo oscillante ottico: a frequenze elevate rimane attiva solo la polarizzabilità elettronica, per cui $\varepsilon _{r}$ scende a valori dell’ordine di $1.8$, compatibili con $n\approx 1.33$.

Un semplice modello a livello atomico rende conto di cosa avviene. Il modello atomico non serve per dimostrare Maxwell, ma per interpretare il valore di $\varepsilon _{r}$.

Prima osserviamo il fenomeno dal punto di vista dell'elettrostatica, cioè consideriamo un atomo, immaginato come una sfera. In assenza di campo elettrico il centro delle cariche positive: nucleo coincide con il centro delle cariche negative (la distribuzione degli elettroni). Se applichiamo un campo elettrico esterno ${\vec {E}}\$ avrò che l'atomo si deformerà (molto debolmente) in quanto il campo elettrico esercita una azione eguale ed opposta sul nucleo e sugli elettroni: la deformazione ${\vec {\delta }}$ sarà proporzionale al campo elettrico applicato con una costante elastica $\alpha$ dipendente dall'atomo considerato, in maniera tale che:

$\alpha {\vec {\delta }}=e{\vec {E}}$

Dove $e\$ è la carica elementare. La costante $\alpha$ rappresenta la rigidità del legame elettronico: più è piccola, più l’atomo è deformabile.

Conoscendo la massa dell'elettrone (essendo il nucleo migliaia di volte più massivo rimane praticamente immobile), la pulsazione al quadrato caratteristica sarà pari alla costante $\alpha$ divisa la massa dell'elettrone:

$\omega _{o}^{2}={\frac {\alpha }{m}}$

Cosicché la deformazione dovuta all'elettrone vale:

${\vec {\delta }}={\frac {e}{m\omega _{o}^{2}}}{\vec {E}}$

Quindi si ha che viene indotto un momento di dipolo pari a:

${\vec {p}}=e{\vec {\delta }}={\frac {(e)^{2}}{m\omega _{o}^{2}}}{\vec {E}}$

Se quindi la densità di elettroni per unità di volume vale $N\$ (non si usa il simbolo n per non fare confusione con l'indice di rifrazione):

${\vec {P}}=N{\frac {(e)^{2}}{m\omega _{o}^{2}}}{\vec {E}}\$

Essendo anche:

${\vec {P}}=\epsilon _{o}(\epsilon _{r}-1){\vec {E}}\$

si ha che:

$\epsilon _{r}=1+N{\frac {(e)^{2}}{\epsilon _{o}m\omega _{o}^{2}}}\$

Tanto maggiormente gli atomi sono deformabili tanto maggiore sarà la costante dielettrica relativa, invece al tendere di $N\$ a zero (dielettrico poco denso ad esempio un gas rarefatto) la costante dielettrica relativa tende ad 1.

Nella dinamica consideriamo un campo elettrico è variabile nel tempo che localmente ha una espressione del tipo:

$E=E_{o}e^{j\omega t}\$

Notare come per semplicità si sia considerato un caso unidimensionale, per cui si è omesso il simbolo di vettore. L'equazione della dinamica è:

$m{\ddot {\delta }}+m\gamma {\dot {\delta }}+m\omega _{o}^{2}\delta =eE_{o}e^{j\omega t}\$

l'equazione tiene conto sia del termine di richiamo elastico ($m\omega _{o}^{2}\delta \$ considerato prima). Mentre il termine $m\gamma {\dot {\delta }}$ rappresenta le perdite dovute alle interazioni dell’elettrone con l’ambiente atomico: esso è responsabile dell’assorbimento e determina la larghezza della risonanza.

L'equazione è formalmente eguale a quella di un oscillatore armonico forzato con un termine di smorzamento Se la soluzione per $\delta \$ è del tipo:

$\delta =\delta _{o}e^{j\omega t}\$

se viene sostituita nell'equazione della dinamica si traduce in una equazione per $\delta _{o}\$:

$-m\omega ^{2}\delta _{o}+j\omega m\gamma \delta _{o}+m\omega _{o}^{2}\delta _{o}=eE_{o}\$

da cui:

$\delta _{o}={\frac {eE_{o}}{m(\omega _{o}^{2}-\omega ^{2}+j\omega \gamma )}}$

Ripetendo il ragionamento precedente, mutatis mutandis, si ha che:

${\vec {P}}=N{\frac {(e)^{2}}{m(\omega _{o}^{2}-\omega ^{2}+j\omega \gamma )}}{\vec {E}}\$

Il modello mostra quindi che la permittività del materiale deriva dalla risposta collettiva degli atomi o delle molecole al campo elettromagnetico.

La costante dielettrica relativa è complessa e la sua espressione è:

$\epsilon _{r}=1+N{\frac {(e)^{2}}{\epsilon _{o}m(\omega _{o}^{2}-\omega ^{2}+j\omega \gamma )}}\$

La parte reale di $\epsilon _{r}$ determina la velocità di fase dell’onda, mentre la parte immaginaria è responsabile dell’assorbimento.

Di conseguenza anche l'indice di rifrazione è complesso e vale:

${\tilde {n}}={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}=n-j\kappa \$

Con

$n=1+{\frac {Ne^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}{\epsilon _{0}m[(\omega _{0}^{2}-\omega 2)2+\omega ^{2}\gamma ^{2}]}}$

$\kappa ={\frac {Ne^{2}\gamma \omega }{2\epsilon _{0}m[(\omega _{0}^{2}-\omega 2)2+\omega ^{2}\gamma ^{2}]}}$

Il loro comportamento è mostrato nelle figure appena sopra. Lontano dalla risonanza $n$ cresce al crescere della frequenza, mentre nella regione di forte assorbimento ($\kappa$ massimo) si ha l'inversione della pendenza.

La rappresentazione esponenziale rende meglio conto del significato di $n\$ e $\kappa \$. Nella rappresentazione esponenziale possiamo scrivere una onda piana monodimensionale propagantesi sull'asse delle $x$

${\vec {E}}={\vec {E}}_{o}e^{j\omega (t-x/v)}\$

Ora se al posto di v sostituiamo $c/{\tilde {n}}\$

${\vec {E}}={\vec {E}}_{o}e^{j\omega [t-(n-j\kappa )x/c]}={\vec {E}}_{o}e^{-\omega \kappa x/c}e^{j\omega (t-nx/c)}\$

Il termine $e^{-\omega \kappa x/c}$ descrive l’attenuazione dell’ampiezza, mentre $e^{j\omega (t-nx/c)}$ descrive la propagazione della fase: per questo $n$ è detto indice di rifrazione e $\kappa$ coefficiente di estinzione.

La trasmissione delle onde elettromagnetiche nell'atmosfera a lunghezze d'onda nel vicino infrarosso

Il termine $\omega \kappa /c\$ detto coefficiente di assorbimento ha le dimensioni di una lunghezza alla -1. Tanto maggiore è il suo valore più rapidamente si estingue l'ampiezza dell'onda attraversando il mezzo.

La figura mostra l'opacità dell'atmosfera nel vicino infrarosso (lunghezze d'onda tra 14 microns e 700 nm). Ogni molecola presenta bande di assorbimento centrate sulle proprie frequenze di risonanza: quando la lunghezza d’onda dell’onda elettromagnetica coincide con una di queste bande, il coefficiente $\kappa$ cresce rapidamente e il mezzo diventa opaco. Alcune molecole presenti nell'atmosfera hanno caratteristiche frequenze di risonanza indicate sull'asse delle ascisse.

Dispersione

Il modello microscopico appena ricavato mostra che la permittività del materiale non è una costante, ma una funzione complessa della frequenza:

$\epsilon _{r}(\omega )=1+N{\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+j\omega \gamma )}}$

Di conseguenza anche l’indice di rifrazione è complesso e dipendente dalla frequenza:

${\tilde {n}}(\omega )=n(\omega )-j\kappa (\omega )={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{r}(\omega )}}}$

varia con $\omega$. Ne consegue che onde elettromagnetiche di frequenza diversa si propagano con velocità di fase diversa e subiscono un assorbimento differente.

Lontano dalla risonanza il termine elastico domina e $n(\omega )$ cresce con la frequenza (dispersione normale). In prossimità della risonanza il termine dissipativo diventa rilevante, $\kappa (\omega )$ presenta un massimo e la pendenza di $n(\omega )$ si inverte (dispersione anomala).

La dispersione è quindi la manifestazione macroscopica della risposta ritardata e selettiva dei dipoli elementari: il mezzo non reagisce allo stesso modo a tutte le frequenze, e questo fa sì che un’onda composta da molte componenti spettrali si deformi durante la propagazione.

In termini microscopici ciò riflette il fatto che la polarizzazione ${\vec {P}}$ non segue istantaneamente il campo elettrico oscillante: la risposta dei dipoli presenta un ritardo e una dissipazione che dipendono da $\omega$, e questa dipendenza si trasferisce direttamente alla permittività $\epsilon _{r}(\omega )$ e quindi all’indice complesso ${\tilde {n}}(\omega )$.

Velocità di fase e velocità di gruppo

Per semplicità consideriamo onde piane che si propagano lungo l’asse delle $x$.

Si definisce velocità di fase:

$v_{f}={\frac {\omega }{k}}$

ed è la velocità con cui si muovono i picchi e gli avvallamenti dell’onda monocromatica.

Si definisce velocità di gruppo:

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}$

ed è la velocità con cui si muove l’inviluppo di un pacchetto d’onda, cioè la velocità con cui viaggia l’informazione o l’energia.

Consideriamo un pacchetto d'onda, cioè una sovrapposizione di onde piane con pesi $A(k)$:

$E(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)\,e^{j(kx-\omega t)}$

La funzione $A(k)$ determina la forma dell’inviluppo. L’inviluppo si muove con la velocità di gruppo, mentre la fase interna si muove con la velocità di fase.

linea piena: un pacchetto d'onda. Linea tratteggiata: l'inviluppo di un pacchetto d'onda fotografato ad un certo istante di tempo. L'inviluppo si muove con la velocità di gruppo .

Viene mostrata un pacchetto d'onda con la velocità di fase che va in direzione opposta a quella di gruppo. La velocità di gruppo, l'inviluppo si muove verso destra, mentre la velocità di fase è negativa (i picchi e gli avvallamenti) si muovono verso sinistra

La funzione $\omega (k)$ che lega pulsazione e numero d’onda è detta relazione di dispersione.

Se il mezzo non è dispersivo, la relazione è lineare:

$\omega =c'k$

In questo caso:

$v_{f}=v_{g}=c'$

e un’onda di qualsiasi forma si propaga senza deformarsi.

Se il mezzo è dispersivo, anche una relazione semplice come:

$\omega =c'k+{\text{cost}}$

Il termine costante non modifica $v_{g}$, ma cambia $v_{f}=\omega /k$, rendendo diverse le due velocità:

$v_{f}\neq v_{g}$

I picchi si muovono con $v_{f}$, l’inviluppo con $v_{g}$ come si vede nelle figure a fianco.

Consideriamo ora un pacchetto d’onda centrato attorno a $k_{0}$ e alla pulsazione $\omega _{0}$, con uno spettro stretto. In un intervallo ristretto la relazione di dispersione può essere approssimata linearmente:

$\omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\left({\frac {d\omega }{dk}}\right)_{k_{0}}=\omega _{0}+(k-k_{0})v_{g}$

Sostituendo questa approssimazione nell’espressione del pacchetto:

$E(x,t)=e^{j(k_{0}x-\omega _{0}t)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)\,e^{j(k-k_{0})(x-v_{g}t)}$

Questa espressione contiene due fattori distinti:

1. Termine di fase:

$e^{j(k_{0}x-\omega _{0}t)}$

Descrive l’oscillazione interna del pacchetto: i picchi si muovono con la velocità di fase.

$v_{f}=\omega _{0}/k_{0}$.

2. Termine di inviluppo

$\int dk\,A(k)\,e^{j(k-k_{0})(x-v_{g}t)}$

Dipende solo dalla combinazione $(x-v_{g}t)$ e quindi si muove con la velocità di gruppo.

In conclusione la velocità di fase riguarda la struttura oscillatoria interna dell’onda, mentre la velocità di gruppo riguarda l’inviluppo e quindi il trasporto di informazione ed energia. La distinzione tra le due velocità è una conseguenza diretta della relazione di dispersione $\omega (k)$: quando la pulsazione non cresce linearmente con il numero d’onda, le diverse componenti spettrali accumulano fasi differenti durante la propagazione, e il pacchetto d’onda si deforma.

Passaggio da un mezzo ad un altro

Un'onda elettromagnetica che colpisce l'interfaccia tra due mezzi si divide in due: una parte viene riflessa e una parte viene rifratta.

Quando un’onda piana monocromatica passa da un mezzo con indice di rifrazione $n_{1}$ a un secondo mezzo con indice $n_{2}$, essa genera in generale due onde: una riflessa e una rifratta. La figura mostra un’onda incidente PO che raggiunge l’interfaccia nel punto O. Una parte dell’energia viene riflessa lungo OQ, mentre la parte trasmessa si propaga nel secondo mezzo lungo OS.

Gli angoli che l’onda incidente, riflessa e rifratta formano con la normale all’interfaccia sono indicati rispettivamente con $\theta _{i}$, $\theta _{r}$ e $\theta _{t}$. Le condizioni al contorno delle equazioni di Maxwell determinano l’ampiezza dei campi riflessi e trasmessi, e portano ai coefficienti di Fresnel, diversi per le polarizzazioni $S$ (perpendicolare) e $P$ (parallela).

Riflessione

Riflessione da una superficie: gli angoli $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ corrispondono a $\theta _{i}$ e $\theta _{r}$.

Per una superficie piana, la riflessione obbedisce alla legge:

$\theta _{i}=\theta _{r}$

La continuità delle componenti tangenziali dei campi ${\vec {E}}$ e ${\vec {B}}$ porta alle espressioni dei coefficienti di riflessione per le due polarizzazioni fondamentali.

Legge di Snell

La rifrazione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione diverso.

La continuità della fase del campo elettrico lungo l’interfaccia porta alla relazione:

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$

che determina l’angolo di rifrazione $\theta _{2}$ quando un raggio incide con angolo $\theta _{1}$. La legge di Snell rimane valida anche quando $n$ è complesso: in tal caso $\theta _{2}$ diventa complesso e la componente trasmessa è attenuata nel mezzo.

Quando un raggio passa da un mezzo con indice di rifrazione maggiore $n_{1}$ a uno con indice minore $n_{2}$, la legge di Snell:

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$

impone che la componente trasmessa esista solo se:

$\sin \theta _{2}\leq 1$

Da questa condizione si ricava l’angolo critico:

$\sin \theta _{c}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Per angoli di incidenza $\theta _{1}>\theta _{c}$ la soluzione della legge di Snell non è più reale: $\theta _{2}$ diventa complesso.

Questo non significa che l’onda sparisca, ma che nel secondo mezzo la componente trasmessa non è più propagativa: diventa una onda evanescente, la cui ampiezza decresce esponenzialmente con la distanza dalla superficie.

Coefficienti di Fresnel

I campi elettrici delle tre onde coinvolte possono essere scritti come:

• onda incidente: $E_{\mathrm {i} }$
• onda riflessa: $E_{\mathrm {r} }$
• onda trasmessa: $E_{\mathrm {t} }$

I coefficienti:

$R={\frac {E_{\mathrm {r} }}{E_{\mathrm {i} }}}$

$T={\frac {E_{\mathrm {t} }}{E_{\mathrm {i} }}}$

misurano la frazione dell’ampiezza riflessa e trasmessa.

Applicando le condizioni al contorno si ottengono i coefficienti di Fresnel ($\theta _{1}$ è l'angolo di incidenza, mentre $\theta _{2}$ è l'angolo dell’onda trasmessa):

Polarizzazione $S$ (campo elettrico ⟂ al piano di incidenza)

• Riflessione:

$R_{S}={\frac {n_{1}\cos \theta _{1}-n_{2}\cos \theta _{2}}{n_{1}\cos \theta _{1}+n_{2}\cos \theta _{2}}}$

• Trasmissione:

$T_{S}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{1}}{n_{1}\cos \theta _{1}+n_{2}\cos \theta _{2}}}$

Polarizzazione $P$ (campo elettrico nel piano di incidenza)

$R_{P}={\frac {n_{2}\cos \theta _{1}-n_{1}\cos \theta _{2}}{n_{2}\cos \theta _{1}+n_{1}\cos \theta _{2}}}$

$T_{P}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{1}}{n_{2}\cos \theta _{1}+n_{1}\cos \theta _{2}}}$

Angolo di Brewster e angolo critico

Se $n$ è complesso, anche $R$ e $T$ lo diventano: la parte immaginaria descrive l’assorbimento nel mezzo.

Angolo di Brewster

Per la polarizzazione $P$ esiste un angolo per cui il coefficiente di riflessione si annulla:

$R_{P}=0$

Da questa condizione si ricava l’angolo di Brewster:

$\tan \theta _{B}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

A tale angolo l’onda riflessa è completamente polarizzata.

Dimostrazione dell'angolo di Brewster

Partiamo dal coefficiente di riflessione per la polarizzazione P:

$R_{P}={\frac {\,n_{2}\cos \theta _{1}-n_{1}\cos \theta _{2}\,}{\,n_{2}\cos \theta _{1}+n_{1}\cos \theta _{2}\,}}$

L’angolo di Brewster è definito dalla condizione:

$R_{P}=0$

Perché una frazione sia zero, il numeratore deve essere zero cioè:

$n_{2}\cos \theta _{1}=n_{1}\cos \theta _{2}\ {\text{(1)}}$

Ora usiamo la legge di Snell:

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\ {\text{(2)}}$

Dividiamo membro a membro le equazioni (1) e (2):

${\frac {n_{2}\cos \theta _{1}}{n_{1}\sin \theta _{1}}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{2}}{n_{2}\sin \theta _{2}}}$

Quindi:

${\frac {n_{2}}{n_{1}}}\cot \theta _{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cot \theta _{2}\ {\text{(3)}}$

Dalla (2):

$\sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}$

e quindi:

$\cot \theta _{2}={\frac {\cos \theta _{2}}{\sin \theta _{2}}}$

Sostituendo nella (3) e semplificando, si ottiene:

$\tan \theta _{1}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Questo è l’angolo di Brewster:

$\tan \theta _{B}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Incidenza normale

Per $\theta _{1}=0$ non vi è distinzione tra polarizzazione $S$ e $P$. Le formule si semplificano:

• Riflessione:

$R={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}$

• Trasmissione:

$T={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}$

In questo caso l’onda riflessa si propaga nella stessa direzione dell’onda incidente, e l’interfaccia si comporta come una semplice discontinuità di impedenza ottica.

Conclusione

La propagazione delle onde elettromagnetiche nei dielettrici è determinata dall’interazione tra il campo elettrico e le cariche legate del materiale. Questa interazione induce una polarizzazione ${\vec {P}}$ che modifica la velocità di fase, la lunghezza d’onda e, alle alte frequenze, introduce dispersione e assorbimento. L’indice di rifrazione $n$, reale o complesso, riassume in modo compatto queste proprietà macroscopiche del mezzo.

Il modello microscopico basato su dipoli legati spiega la dipendenza della permittività $\varepsilon (\omega )$ dalla frequenza e la presenza di una regione di risonanza in cui l’assorbimento cresce e la velocità dell’onda diminuisce. La distinzione tra velocità di fase e velocità di gruppo chiarisce come si propagano rispettivamente la fase dell’onda e l’informazione, e mostra come un pacchetto d’onda si deformi in un mezzo dispersivo.

Quando l’onda incontra un’interfaccia tra due dielettrici, le condizioni al contorno delle equazioni di Maxwell determinano riflessione e rifrazione. La legge di Snell stabilisce la direzione del raggio trasmesso, mentre i coefficienti di Fresnel descrivono l’ampiezza dei campi riflessi e trasmessi per le polarizzazioni $S$ e $P$. Fenomeni come l’angolo critico, l’onda evanescente e l’angolo di Brewster emergono naturalmente da queste condizioni e mostrano come la struttura microscopica del mezzo influenzi la propagazione delle onde elettromagnetiche in tutto lo spettro.

In sintesi, la descrizione della propagazione nei dielettrici combina aspetti macroscopici (indice di rifrazione, dispersione, assorbimento) e microscopici (dipoli legati, risonanza), fornendo il quadro fisico necessario per comprendere il comportamento delle onde elettromagnetiche nei materiali e per introdurre la trattazione dell’ottica geometrica.

L’intero quadro mostra come la struttura microscopica del mezzo influenzi la propagazione delle onde elettromagnetiche in tutto lo spettro, dai regimi a bassa frequenza fino alle frequenze ottiche.