Fisica classica/Campi elettromagnetici nei conduttori

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Campi elettromagnetici nei conduttori

La propagazione delle onde elettromagnetiche nei conduttori presenta caratteristiche profondamente diverse rispetto ai dielettrici. Mentre nei dielettrici il campo elettrico agisce su dipoli legati, che possono oscillare attorno alla loro posizione di equilibrio, nei conduttori il campo interagisce con elettroni liberi, capaci di muoversi attraverso il reticolo e di generare correnti che dissipano energia. Questa distinzione microscopica è alla base di tutti i fenomeni che caratterizzano i metalli: attenuazione rapida delle onde, riflessione quasi totale, profondità di penetrazione ridotta e comportamento ideale del conduttore perfetto. Per comprendere questi fenomeni è necessario partire dal modello microscopico del moto degli elettroni liberi, che conduce alla legge di Ohm e alla definizione della conducibilità $\sigma$. Quando il campo elettrico varia nel tempo, la risposta del conduttore diventa complessa: la conducibilità dipende dalla frequenza e si introduce una permittività complessa $ϵ(\omega )$, che determina un indice di rifrazione complesso $\tilde{n}$. Questo indice descrive simultaneamente la propagazione e l’attenuazione dell’onda nel metallo. L’onda elettromagnetica che penetra in un conduttore viene rapidamente attenuata con un coefficiente $\alpha$ che definisce la profondità di penetrazione $\delta$. Nei metalli buoni, $\delta$ è estremamente piccola e l’onda vive solo negli strati superficiali: questo fenomeno, noto come effetto pelle, è cruciale per le applicazioni ad alta frequenza. La forte attenuazione interna implica che l’onda riflessa dalla superficie del conduttore ha ampiezza quasi uguale a quella incidente, e nel limite ideale del conduttore perfetto il campo elettrico tangenziale sulla superficie si annulla. Il capitolo sviluppa questi concetti in modo progressivo: dal modello microscopico degli elettroni liberi alla legge di Ohm, dalla permittività complessa alla propagazione attenuata, dalla profondità di penetrazione alla riflessione e alle condizioni al contorno del conduttore perfetto. Questo percorso permette di comprendere come la struttura microscopica dei conduttori determini il loro comportamento elettromagnetico.

Modello microscopico del conduttore

Un conduttore è un materiale in cui alcuni elettroni non sono legati agli atomi, ma possono muoversi liberamente all’interno del reticolo. Questi elettroni liberi costituiscono il cosiddetto gas elettronico, responsabile della conducibilità elettrica. A differenza dei dielettrici, dove le cariche sono vincolate e possono solo oscillare attorno alla loro posizione di equilibrio, nei conduttori gli elettroni possono acquisire una velocità media sotto l’azione di un campo elettrico. Consideriamo un elettrone di massa $m$ e carica $-e$ immerso nel reticolo. L’elettrone subisce sia la forza del campo elettrico esterno $\overrightarrow{E}$ che gli urti con gli ioni del reticolo, che producono un effetto di smorzamento. Un modello semplice, ma efficace, è l’equazione del moto con termine di smorzamento proporzionale alla velocità:

$m\dot{\overrightarrow{v}}+m\gamma \overrightarrow{v}=-e\overrightarrow{E}$

dove $\gamma$ è la frequenza di collisione media, legata al tempo di rilassamento:

$\tau =\frac{1}{\gamma }$

In regime stazionario ($\dot{\overrightarrow{v}}=0$) si ottiene una velocità media:

$\overrightarrow{v}=-\frac{e}{m\gamma }\overrightarrow{E}=-\frac{e\tau }{m}\overrightarrow{E}$

La densità di corrente è:

$\overrightarrow{J}=-Ne\overrightarrow{v}$

dove $N$ è la densità di elettroni liberi. Sostituendo l’espressione della velocità nella espressione della densità di corrente:

$\overrightarrow{J}=\left(\frac{N{e}^2\tau }{m}\right)\overrightarrow{E}$

Quindi il valore della conducibilità elettrica è:

$\sigma =\frac{N{e}^2\tau }{m}$

come conseguenza della legge di Ohm microscopica:

$\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$

Questo modello, noto come modello di Drude, descrive in modo semplice la risposta dei conduttori a campi elettrici lenti. Mostra che la conducibilità dipende dalla densità degli elettroni liberi, dalla loro carica, dalla massa e dal tempo medio tra due collisioni. Quando il campo elettrico varia nel tempo, l’equazione del moto deve essere risolta dinamicamente. Per un campo armonico:

$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0{e}^{j\omega t}$

la soluzione per la velocità è:

$\overrightarrow{v}=-\frac{e}{m(\gamma -j\omega )}\overrightarrow{E}$

e la densità di corrente diventa:

$\overrightarrow{J}=\sigma (\omega )\overrightarrow{E}$

con una conducibilità complessa:

$\sigma (\omega )=\frac{N{e}^2}{m(\gamma -j\omega )}$

La conducibilità complessa permette di introdurre la permittività complessa del conduttore, che sarà trattata nella sezione successiva. Essa determina la profondità di penetrazione dell’onda elettromagnetica, l’attenuazione e il comportamento dei metalli alle diverse frequenze.

Permittività complessa nei conduttori

Nei conduttori la risposta del materiale a un campo elettrico non è dovuta alla deformazione di dipoli legati (come nei dielettrici), ma al moto degli elettroni liberi. Questo moto genera una densità di corrente $\overrightarrow{J}$ che contribuisce alla risposta del mezzo e modifica la permittività effettiva. Partiamo dalla relazione microscopica ottenuta nella sezione precedente. Per un campo armonico:

$\overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_0{e}^{j\omega t}$

la densità di corrente è:

$\overrightarrow{J}=\sigma (\omega )\overrightarrow{E}$

con una conducibilità complessa:

$\sigma (\omega )=\frac{N{e}^2}{m(\gamma -j\omega )}$

Nelle equazioni di Maxwell la corrente di conduzione compare nel termine:

$\overrightarrow{J}=\sigma (\omega )\overrightarrow{E}$

mentre la corrente di spostamento è:

${\overrightarrow{J}}_d=j\omega {ϵ}_0\overrightarrow{E}$

La risposta totale del mezzo è quindi descritta da una permittività complessa $ϵ(\omega )$ tale che:

$\overrightarrow{J}+{\overrightarrow{J}}_d=j\omega ϵ(\omega )\overrightarrow{E}$

Sostituendo $\overrightarrow{J}=\sigma (\omega )\overrightarrow{E}$ si ottiene:

$j\omega ϵ(\omega )\overrightarrow{E}=\sigma (\omega )\overrightarrow{E}+j\omega {ϵ}_0\overrightarrow{E}$

da cui:

$ϵ(\omega )={ϵ}_0(1+\frac{\sigma (\omega )}{j\omega {ϵ}_0})$

Sostituendo l’espressione di $\sigma (\omega )$:

$ϵ(\omega )={ϵ}_0(1-\frac{N{e}^2}{m{ϵ}_0}\frac{1}{\omega (\omega +j\gamma )})$

Si introduce la frequenza di plasma:

${\omega }_p^2=\frac{N{e}^2}{m{ϵ}_0}$

e la permittività complessa assume la forma compatta:

$ϵ(\omega )={ϵ}_0(1-\frac{{\omega }_p^2}{\omega (\omega +j\gamma )})$

Questa espressione è fondamentale per comprendere il comportamento dei conduttori:

• a basse frequenze ($\omega \ll \gamma$) il termine dissipativo domina e il campo penetra poco nel metallo;
• a frequenze intermedie ($\omega \approx \gamma$) la permittività ha una parte immaginaria grande di conseguenza si ha un forte assorbimento;
• a frequenze molto alte ($\omega \gg {\omega }_p$) il metallo diventa trasparente, perché gli elettroni non riescono più a seguire il campo.

La permittività complessa permette di definire un indice di rifrazione complesso:

$\tilde{n}=n-j\kappa =\sqrt{\frac{ϵ(\omega )}{{ϵ}_0}}$

che descrive contemporaneamente sia la propagazione ($n$) che l’attenuazione ($\kappa$) dell’onda nel conduttore. Questi risultati sono alla base della descrizione dell’onda elettromagnetica nei metalli, della profondità di penetrazione (skin depth) e della riflessione quasi totale dei conduttori alle frequenze inferiori alla frequenza di plasma.

Equazioni di Maxwell nel conduttore

Per descrivere i campi elettromagnetici nei conduttori è necessario inserire esplicitamente la corrente di conduzione nelle equazioni di Maxwell. In un mezzo lineare, omogeneo e isotropo, con permeabilità $\mu$, permittività $ϵ$ e conducibilità $\sigma$, le equazioni assumono la forma:

• Legge di Gauss per il campo elettrico $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}=\rho$ con $\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}$.
• Legge di Gauss per il campo magnetico $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}=0$ con $\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$.
• Legge di Faraday $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$
• Legge di Ampère–Maxwell $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}=\overrightarrow{J}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}$

Nel conduttore la densità di corrente è:

$\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$

e la corrente totale è la somma di conduzione e spostamento:

${\overrightarrow{J}}_{\text{tot}}=\sigma \overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}=\sigma \overrightarrow{E}+ϵ\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

Equazione d’onda con termine dissipativo

Combinando le equazioni di Maxwell si ottiene l’equazione d’onda per il campo elettrico in un conduttore:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}-\mu \sigma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=0$

Rispetto al caso dei dielettrici (dove $\sigma =0$), compare un termine di smorzamento:

$\mu \sigma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

che descrive la dissipazione di energia dovuta alle correnti di conduzione. Un’equazione analoga vale per il campo magnetico:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{H}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}-\mu \sigma \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=0$

Interpretazione fisica

• Il termine $\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$ descrive la propagazione dell’onda, come nei dielettrici.
• Il termine $\mu \sigma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$ introduce una dissipazione che attenua l’onda nel tempo e nello spazio.
• La presenza di $\sigma$ fa sì che l’onda non si propaghi liberamente nel conduttore, ma venga rapidamente attenuata con profondità di penetrazione $\delta$.

Nel dominio armonico, sostituendo $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})e^{j\omega t}$, l’equazione d’onda diventa:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}+k^2\overrightarrow{E}=0$

con:

$k^2={\omega }^2\mu ϵ+j\omega \mu \sigma$

che mostra come la conducibilità modifichi il numero d’onda rendendolo complesso e introduca attenuazione nella propagazione. Questa forma è il punto di partenza per la descrizione dell’onda attenuata nel conduttore, della skin depth e della riflessione alla superficie dei metalli.