Fisica classica/Campi elettrici

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Campo

In fisica, un campo è una grandezza fisica alla quale, in ogni punto dello spazio (e spesso anche del tempo), è associato un valore. Un campo può essere:

• scalare, se in ogni punto è definito un numero;
• vettoriale, se in ogni punto è definito un vettore;
• tensoriale, se in ogni punto è definito un tensore.

I campi sono strumenti fondamentali della fisica moderna: permettono di descrivere fenomeni estesi nello spazio senza dover ricorrere a interazioni a distanza tra oggetti puntuali.

Esempio di campo scalare: la temperatura

Un esempio semplice di campo scalare è la temperatura. In ogni punto dello spazio possiamo associare un numero reale che rappresenta la temperatura locale. In coordinate cartesiane, questo si esprime come:

$T(x,y,z)$

Dove $T$ è un numero (uno scalare) nel punto $(x,y,z)$.

Esempio di campo vettoriale: la velocità di un fluido

Esempio di campo di velocità all'interno di un fluido.

Un esempio di campo vettoriale è il campo di velocità di un fluido che scorre in una tubazione. In ogni punto dello spazio, la velocità del fluido è rappresentata da un vettore che indica direzione e intensità del moto:

${\vec {v}}(x,y,z)\$

dove ${\vec {v}}$ è un vettore tridimensionale.

Definizione di campo elettrico

Consideriamo una distribuzione di cariche elettriche nello spazio e poniamo in un punto ${\vec {r}}$ una carica di prova $q_{0}$, scelta così piccola da non perturbare in modo apprezzabile la distribuzione di carica che vogliamo studiare. Su questa carica agirà una forza elettrica ${\vec {F}}({\vec {r}})$, determinata dalla legge di Coulomb.

L’idea fondamentale è associare a ogni punto dello spazio un vettore che descriva l’azione elettrica indipendentemente dalla carica di prova utilizzata. Definiamo quindi il campo elettrico:

${\vec {E}}({\vec {r}})=\lim _{q_{0}\rightarrow 0}{\frac {{\vec {F}}({\vec {r}})}{q_{0}}}\$

Il simbolo di limite non va interpretato nel senso matematico rigoroso di carica che tende a zero, poiché la carica è quantizzata e non può essere resa arbitrariamente piccola. Il significato fisico è che $q_{0}$ deve essere sufficientemente piccola rispetto alle cariche sorgenti, in modo da non alterare il campo che vogliamo misurare.

Il concetto di campo nasce con Faraday e viene formalizzato da Maxwell.

Natura conservativa della forza elettrica

La forza elettrostatica è una forza centrale a simmetria sferica e, come tutte le forze centrali, è una forza conservativa. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza elettrica tra due punti dipende solo dagli estremi del percorso, non dal cammino seguito.

Poiché il campo elettrico è definito come forza per unità di carica, la sua conservatività si traduce nel fatto che il campo elettrostatico può essere descritto mediante un campo scalare:

$V({\vec {r}})$

chiamato potenziale elettrico, definito a meno di una costante arbitraria. La relazione tra campo e potenziale verrà introdotta più avanti.

Dimensioni fisiche del campo elettrico e ruolo dei campi nella fisica Il campo elettrico ha le dimensioni di una forza divisa una carica. Nel Sistema Internazionale la sua unità di misura è:

• il Newton per Coulomb $N/C\$,
• oppure, in modo del tutto equivalente, il Volt per metro $V/m\$.

L’unità di misura Volt (V) verrà introdotta più avanti, quando discuteremo del potenziale elettrico.

Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza divisa una carica. L'unità di misura è nel Sistema Internazionale il Newton per Coulomb ($N/C\$) o più propriamente equivalentemente il Volt per metro ($V/m\$). Il Volt (simbolo V) verrà introdotto nel seguito.

Perché introdurre il concetto di campo

Dal punto di vista fisico, le forze tra oggetti distanti non sono pensate come un’azione a distanza istantanea. L’interazione è invece mediata da un campo che riempie lo spazio.

• nell’azione a distanza non esiste un tempo caratteristico di propagazione;
• un campo, invece, si propaga con una velocità propria.

Per il campo elettrico nel vuoto, la velocità di propagazione è la velocità della luce, estremamente elevata rispetto alle velocità tipiche del mondo macroscopico. Per questo, nei fenomeni statici o quasi statici, il campo appare come se si stabilisse istantaneamente.

Tuttavia, nei fenomeni variabili nel tempo, la velocità della luce diventa essenziale per comprendere la struttura dell’elettromagnetismo, come vedremo più avanti.

Perché il campo semplifica l’elettrostatica

Oltre al suo ruolo concettuale, il campo elettrico è uno strumento matematico potentissimo. La presenza di cariche di segno opposto rende complicato descrivere direttamente le forze tra molte cariche. Il campo permette invece di:

• descrivere l’effetto complessivo di una distribuzione di carica,
• calcolare la forza su una carica di prova semplicemente come:

${\vec {F}}=q_{0}{\vec {E}}$

• trattare distribuzioni continue di carica tramite somme o integrali, sfruttando il principio di sovrapposizione.

In questo modo, l’elettrostatica diventa molto più semplice e sistematica.

Campo Elettrico generato da una carica puntiforme

Consideriamo il caso di una carica puntiforme $q\$ posta nell'origine delle coordinate ed un carica $q_{o}\$ posta nel punto $P\$ a distanza $r\$ dall'origine.

Con la legge di Coulomb possiamo scrivere:

${\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{0}q}{r^{2}}}{\hat {u_{n}}}$

dove ${\hat {u_{n}}}\$ è il versore del raggio. In questo semplice caso, dalla definizione data di campo elettrico segue che:

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {u_{n}}}$

Se la carica $q\$ fosse stata non nell'origine, ma nel punto $P'\$ di coordinate $r'\$ semplicemente l'espressione del campo cambierebbe in:

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r'}})\$

Avendo indicato con ${\hat {u_{n}}}={\frac {{\vec {r}}-{\vec {r'}}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}\$ il versore che identifica la distanza tra ${\vec {r'}}\$ ed ${\vec {r}}\$.

Rappresentazione mediante linee di campo

Linee di flusso prodotto da una carica positiva nello spazio

Linee di flusso entranti per il campo elettrico prodotto da una carica negativa nello spazio

Per rappresentare i campi elettrici spesso si usa una utile rappresentazione grafica mediante le cosiddette linee del campo. In tale rappresentazione la tangente alla linea determina la direzione del campo. Quindi esce dalle cariche positive che sono quindi sorgenti del campo (come mostrato nella figura a sinistra) ed entra nelle cariche negative che si considerano dei pozzi (come mostrato nella figura a destra). La densità delle linee è una misura dell'intensità del campo stesso. Quindi nell'esempio mostrato vicino alle sorgenti o pozzi del campo vi un maggior numero di linee per unità di superficie, rispetto alle zone lontane dove il campo si attenua. La rappresentazione è utile per mostrare graficamente il campo elettrico e sarà usata nel seguito.

Espressione del campo in coordinate cartesiane

La rappresentazione in coordinate cartesiane permette di calcolare in maniera analitica il problema. Viene fatto il calcolo esplicito per mostrare l'utilità della formula compatta appena indicata.

Sia $P=(x_{0},y_{0},z_{0})\$ il punto in cui risiede la carica che genera il campo elettrico. Il punto dove calcoliamo un campo ha coordinate$P=(x,y,z)\$.

Il versore ${\hat {u_{n}}}$ ha componenti: ${\hat {u_{n}}}=\left({\frac {x-x_{0}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}},{\frac {y-y_{0}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}},{\frac {z-z_{0}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}\right)$. Una volta ottenute le componenti del versore possiamo scomporre il campo in componenti lungo gli assi:

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q(x-x_{0})}{\left\{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

$E_{y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q(y-y_{0})}{\left\{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

$E_{z}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q(z-z_{0})}{\left\{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

Questa è l'espressione esplicita del campo elettrostatico generato dalla carica $q\$ posta nel punto di coordinate $r'\$ nel punto di coordinate $r\$.

Se invece di avere una singola carica avessimo più cariche il campo elettrico è semplicemente pari alla somma dei campi generati dalle singole cariche. Tale proprietà è dovuta al principio di sovrapposizione delle forze elettriche.

Distribuzione discreta di carica

Campo elettrico prodotto da due cariche negative

Nel caso di n cariche disposte nello spazio il principio di sovrapposizione si traduce dal punto di vista matematico, nell'espressione:

${\vec {E}}({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{i}}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r_{i}}})$

Dove indichiamo con $q_{i}$ la i-esima carica della distribuzione con posizione ${\vec {r_{i}}}=(x_{i},y_{i},z_{i})\$

In modo del tutto analogo scriviamo le componenti del campo:

$E_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{i}(x-x_{i})}{\left\{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

$E_{y}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{i}(y-y_{i})}{\left\{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

$E_{z}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {q_{i}(z-z_{i})}{\left\{(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

Un semplice dipolo

Due cariche puntiformi di pari valore, ma di segno opposto, sono poste lungo l'asse x (come in figura) in posizione simmetrica rispetto all'origine a distanza d tra di loro. Calcolare l'intensità del campo elettrico in un punto generico sull'asse delle y (linea verticale della figura).

Le coordinate del punto in cui si vuole calcolare il campo sono: ${\vec {r}}=(0,y,0)\$, la carica $Q\$ è in ${\vec {r}}_{1}(d,0,0)\$, la carica $-Q\$ è in ${\vec {r}}_{2}=(-d,0,0)\$. Segue la distanza delle due cariche dal punto P vale:

$A=|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}|=|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{2}|={\sqrt {y^{2}+d^{2}}}\$

Quindi le tre componenti campo elettrico generato

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}A^{3}}}[Q(-d)+(-Q)(d)]=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}A^{3}}}2Qd\$

$E_{y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}A^{3}}}(Qy-Qy)=0\$

$E_{z}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}A^{3}}}[(Q)0+(-Q)0]=0\$

$E_{x}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {2Qd}{(y^{2}+d^{2})^{3/2}}}\$

per $y\ll d$ (cioè al centro tra le due cariche) si ha che:

$E_{x}\approx -{\frac {2Q}{4\pi \varepsilon _{o}d^{2}}}\$

mentre per $y\gg d$ (cioè a grande distanza dal dipolo) :

$E_{x}\approx -{\frac {2Qd}{4\pi \varepsilon _{o}y^{3}}}\$

quindi il campo diminuisce con il cubo della distanza dal dipolo (le linee del campo sono indicate nella figura).

Esercizi utili

Campo generato da quattro cariche eguali sui vertici di un quadrato, Il campo di un quadrupolo ed anche il campo elettrico di otto cariche elettriche poste sui vertici di un cubo.

Distribuzione continua di carica

Fino ad adesso abbiamo trattato casi in cui riuscivamo a contare le particelle cariche. Ma nelle esperienze pratiche si deve tenere conto che il numero di particelle è molto elevato e si ha a che fare con distribuzioni di cariche che possono essere meglio identificate come un continuo.

Le distribuzioni continue possono essere su fili (lineari), su superfici (caso comune nei conduttori) o in genere in volumi (caso comune negli isolanti).

Distribuzione lineare

Il caso più semplice è quello lineare.

Consideriamo un filo carico come in figura di lunghezza $L\$, il generico elemento infinitesimo $d\ell \$ avrà una carica infinitesima $dq\$. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza fisica la densità lineare di carica, definita come :

$\lambda (\ell )={\frac {dq}{d\ell }}$

Che nel caso generale è una funzione del punto della linea dove è calcolata. Tale elemento che si trova nella posizione dello spazio ${\vec {r_{\ell }}}\$ dista da un generico punto dello spazio identificato dal vettore ${\vec {r}}\$: $|{\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}}|\$.

Quindi genera un campo infinitesimo:

${\overrightarrow {dE({\vec {r}})}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {dq}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {\lambda (\ell )d\ell }{|{\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}})\$

Di conseguenza tutta la linea genera un campo:

${\overrightarrow {E({\vec {r}})}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{L}{\frac {\lambda (\ell )}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r_{\ell }}})d\ell \$

Gli esercizi suggeriti sono: sbarretta isolata, due sbarrette allineate, due sbarrette perpendicolari e un anello carico.

Distribuzione superficiale

Il secondo caso generale è quello di una superficie $S\$ e di un suo generico elemento infinitesimo $dS\$ avrà una carica infinitesima $dq\$. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza fisica la densità superficiale di carica, definita come :

$\sigma ={\frac {dq}{dS}}$

Che nel caso generale è una funzione del punto della superficie dove è calcolata. Tale elemento che si trova nella posizione dello spazio ${\vec {r_{S}}}\$ dista da un generico punto dello spazio identificato dal vettore ${\vec {r}}\$: $|{\vec {r}}-{\vec {r_{S}}}|\$. Di conseguenza con un ragionamento simile a quello fatto per una linea, il campo generato varrà:

${\overrightarrow {E({\vec {r}})}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{S}{\frac {\sigma _{S'}}{|{\vec {r}}-{\vec {r_{S'}}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r_{S'}}})dS'\$

L'integrale è un integrale di superficie.

La distribuzione superficiale viene esaminata in un caso: un disco isolante.

Distribuzione volumetrica

Il caso più complesso è quando la carica è distribuita su un volume $T\$ e di un suo generico elemento infinitesimo $d\tau \$ avrà una carica infinitesima $dq\$. Possiamo quindi introdurre una nuova grandezza fisica la densità volumetrica di carica, definita come :

$\rho ={\frac {dq}{d\tau }}$

E identifichiamo la posizione dello spazio in cui si trova con il vettore ${\vec {r'}}\$.

Supponiamo di voler misurare il campo in un generico punto dello spazio identificato dal vettore ${\vec {r}}\$. Abbiamo che il campo totale generato dalla distribuzione di carica sarà (con ragionamenti analoghi):

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\int _{T}{\frac {\rho }{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r'}})d\tau '$

Analogamente alla distribuzione discreta possiamo ottenere le componenti del campo:

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\iiint _{\tau }{\frac {\rho (x',y',z')(x-x')dx'dy'dz'}{\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

$E_{y}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\iiint _{\tau }{\frac {\rho (x',y',z')(y-y')dx'dy'dz'}{\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

$E_{z}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{o}}}\iiint _{\tau }{\frac {\rho (x',y',z')(z-z')dx'dy'dz'}{\left\{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}$

La distribuzione volumetrica è difficile da affrontare in maniera analitica, ma, in molti casi, la legge di Gauss che viene descritta nel capitolo seguente è di grande aiuto.

Argomento seguente: La legge di Gauss