Fisica classica/Conduttori

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Introduzione ai Conduttori in Elettrostatica

Tutta la trattazione fisica sviluppata finora ha escluso la presenza della materia. L'aria, con buona approssimazione, è equiparabile al vuoto per quanto riguarda i fenomeni elettrostatici; pertanto, le leggi studiate si applicano efficacemente al mezzo in cui viviamo.

La presenza della materia, tuttavia, modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici. Esiste una grandezza fisica, chiamata resistività elettrica, il cui valore varia di oltre 20 ordini di grandezza passando da un conduttore ideale (come i metalli) a un isolante ideale (detto anche dielettrico). In questo contesto, limiteremo la nostra analisi al caso del conduttore ideale.

Naturalmente, come spesso accade in natura, la distinzione tra conduttori e isolanti non è netta. Un caso emblematico è l'acqua: allo stato naturale (ricca di sali disciolti) è un discreto conduttore, ma una volta privata dei suoi ioni attraverso la deionizzazione si comporta come un buon isolante. Al contrario, i metalli e le loro leghe sono eccellenti conduttori e rispondono perfettamente alle leggi che stiamo per descrivere.

Definizione Microscopica di Conduttore

Si definisce conduttore un corpo al cui interno (e sulla cui superficie) sono presenti cariche elettriche libere di muoversi su distanze macroscopiche.

Sebbene tutti i corpi siano costituiti da particelle cariche (nuclei atomici positivi ed elettroni negativi), nella maggior parte dei materiali queste particelle occupano posizioni fisse all'interno della struttura atomica o molecolare.

Nei metalli, invece, la struttura microscopica vede gli elettroni più esterni (gli elettroni di valenza) slegati dal singolo nucleo e liberi di muoversi all'interno del reticolo cristallino. Questo crea un numero elevatissimo di elettroni di conduzione, il cui unico vincolo è rappresentato dalla superficie esterna del materiale stesso.

Il Conduttore in un Campo Elettrico Esterno

Se introduciamo un conduttore in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico esterno (detto campo inducente), ogni carica libera sperimenta una forza elettrica e inizia a spostarsi. Questo movimento macroscopico di cariche prosegue fino a quando il sistema non raggiunge una condizione di equilibrio elettrostatico.

In questa situazione di equilibrio si verificano due fenomeni fondamentali:

• Distribuzione superficiale delle cariche: Tutte le cariche nette si dispongono esclusivamente sulla superficie esterna del conduttore. Questo avviene sia se il conduttore possiede una propria carica netta, sia se è elettricamente neutro ma immerso in un campo esterno.
• Induzione elettrostatica: Il ridistribuirsi delle cariche sulla superficie genera un campo elettrico indotto. All'interno del conduttore, questo campo indotto è point-by-point uguale e opposto al campo esterno.

Di conseguenza, all'equilibrio, il campo elettrico totale all'interno di un conduttore è sempre nullo.

Campo elettrico all'interno e sulla superficie di un conduttore

All'equilibrio elettrostatico – ovvero quando le cariche elettriche hanno esaurito i loro movimenti macroscopici e occupano posizioni fisse nello spazio – il campo elettrico ${\vec {E}}$ all'interno di un conduttore è rigorosamente nullo.

Se infatti il campo interno non fosse nullo, gli elettroni di conduzione (essendo cariche libere) sperimenterebbero una forza elettrica definita dalla legge ${\vec {F}}=q{\vec {E}}\$.Sot$to l'azione di questa forza, essi si metterebbero in moto, generando una corrente elettrica. Questo comportamento entrerebbe in aperta contraddizione con l'ipotesi di partenza di staticità del sistema. Pertanto, all'interno deve valere:

$E_{interno}=0$

Con un ragionamento analogo, si dimostra che il campo elettrico nelle immediate vicinanze esterne di un conduttore deve essere sempre perpendicolare alla sua superficie in ogni punto.

Se il campo elettrico avesse una componente tangenziale alla superficie, gli elettroni liberi presenti su di essa subirebbero una forza che li costringerebbe a spostarsi lungo la superficie stessa, violando nuovamente la condizione di equilibrio statico. Le uniche forze ammissibili sono quelle perpendicolari alla superficie, poiché gli elettroni sono vincolati a non abbandonare il conduttore e non possono quindi muoversi in quella direzione.

Teorema di Coulomb

Dimostrazione del teorema di Coulomb mediante l'applicazione del teorema di Gauss a una superficie cilindrica infinitesima che attraversa la superficie del conduttore.

Il teorema di Coulomb mette in relazione il campo elettrico nelle immediate vicinanze della superficie di un conduttore all'equilibrio con la densità superficiale di carica $\sigma$ presente in quel punto. Questo teorema costituisce una diretta applicazione della legge di Gauss.

Si consideri una porzione della superficie del conduttore e si racchiuda un elemento infinitesimo di tale superficie mediante una superficie gaussiana cilindrica (detta anche "pastiglia di Gauss"). Il cilindro ha basi infinitesime di area $dS$ parallele alla superficie del conduttore (una posta all'interno del materiale e una immediatamente all'esterno) e un'altezza anch'essa infinitesima.

Il flusso del campo elettrico ${\vec {E}}$ attraverso la superficie totale del cilindro si scompone nella somma dei flussi attraverso le tre superfici che lo compongono: la base interna, la superficie laterale e la base esterna.

• Attraverso la base interna: il flusso è nullo poiché, come dimostrato in precedenza, il campo elettrico all'interno di un conduttore in equilibrio elettrostatico è identicamente nullo ($E_{\text{interno}}=0$).
• Attraverso la superficie laterale: il flusso è nullo in quanto l'altezza del cilindro è infinitesima e il campo elettrico nelle immediate vicinanze esterne del conduttore possiede solo la componente normale alla superficie; essendo parallelo alla superficie laterale del cilindro, il prodotto scalare tra il campo e il vettore area laterale è nullo.
• Attraverso la base esterna: il campo elettrico è perpendicolare alla base e uscente (se la carica è positiva), pertanto il flusso vale $E_{n}\cdot dS$, dove $E_{n}$ è la componente normale del campo.

Applicando il teorema di Gauss, il flusso totale del campo elettrico attraverso il cilindro è pari alla carica totale netta racchiusa al suo interno divisa per la costante dielettrica del vuoto $\epsilon _{0}$. Poiché la carica racchiusa si trova solo sulla superficie del conduttore ed è pari a $dq=\sigma \,dS$, si ottiene:

$E_{n}\,dS={\frac {\sigma \,dS}{\epsilon _{0}}}$

Semplificando l'elemento di superficie $dS$, si ricava l'espressione del teorema di Coulomb:

$E_{n}={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

Considerazioni microscopiche sulla carica superficiale

Nei comuni conduttori metallici, il numero di elettroni di conduzione per unità di volume è estremamente elevato, tipicamente dell'ordine di $10^{28}{\text{ m}}^{-3}$. Questa straordinaria densità numerica fa sì che sia sufficiente uno spostamento microscopico infinitesimo delle cariche (dell'ordine dei femtometri, dove $1{\text{ fm}}=10^{-15}{\text{ m}}$) per generare campi elettrici intensissimi sulla superficie, in grado di schermare completamente il campo esterno.

Di conseguenza, lo strato di conduttore effettivamente interessato dalla ridistribuzione di carica è talmente sottile da poter essere considerato, dal punto di vista macroscopico, privo di spessore. Per questa ragione, nella fisica dei conduttori si adotta sistematicamente l'approssimazione di densità superficiale di carica per descriverne le proprietà elettriche.

Un esempio di strato carico di un conduttore chiarisce come in realtà, essendo molto elevata la densità volumica degli elettroni liberi in un metallo conduttore, lo spostamento dell'insieme degli elettroni è inferiore alla dimensione del nucleo.

Induzione elettrostatica

Cariche superficiali indotte su oggetti metallici da parte di una carica esterna vicina. Il campo elettrostatico (linee con frecce) di una carica positiva (+) provoca la separazione delle cariche mobili nel metallo. Le cariche negative (blu) vengono attratte e si dispongono sulla superficie affacciata alla carica esterna. Poiché la carica totale del conduttore è nulla, sulle superfici più lontane si crea un eccesso di cariche positive (rosse). Le cariche indotte superficialmente cancellano esattamente il campo prodotto dalla carica esterna all'interno dei metalli, garantendo che all'interno dei conduttori all'equilibrio il campo risultante sia ovunque nullo.

Il fenomeno dell'induzione elettrostatica consiste nella ridistribuzione delle cariche libere sulla superficie di un conduttore, causata dalla presenza di un campo elettrico esterno. Tale ridistribuzione avviene in accordo con la proprietà fondamentale per cui, in condizioni elettrostatiche, il campo elettrico totale all'interno del materiale conduttore deve essere identicamente nullo.

In particolare, se si posiziona un corpo carico nelle vicinanze di un conduttore (anche elettricamente neutro), le cariche libere di quest'ultimo iniziano a muoversi sotto l'azione della forza elettrica esterna. Sulla superficie del conduttore direttamente affacciata al corpo inducente si accumuleranno cariche di segno opposto rispetto a quelle del corpo esterno (cariche attratte), configurando uno schermo elettrostatico che neutralizza il campo all'interno del mezzo.

Per il principio di conservazione della carica elettrica e a causa della neutralità globale del conduttore isolato, l'addensamento di cariche su una porzione di superficie comporta necessariamente l'apparizione di una carica di segno opposto – e di valore assoluto esattamente identico – sulla superficie geometricamente più lontana dal corpo inducente (cariche respinte).

L'intensità dell'induzione elettrostatica dipende fortemente dalla distanza tra il conduttore e le sorgenti di campo esterne. Si possono analizzare i seguenti scenari:

• Conduttore isolato e lontano da cariche esterne: se si considera ad esempio una sfera conduttrice isolata dotata di una carica netta positiva, quest'ultima si distribuirà in modo perfettamente uniforme sulla sua superficie per ragioni di simmetria.
• Conduttore in prossimità di cariche di segno opposto: se la stessa sfera viene avvicinata a un oggetto carico negativamente, le cariche positive della sfera tenderanno ad addensarsi maggiormente sulla porzione di superficie rivolta verso l'oggetto esterno.
• Conduttore in prossimità di cariche dello stesso segno: se la sfera viene avvicinata a un corpo carico positivamente, le cariche della sfera dello stesso segno subiranno una repulsione, andandosi a concentrare nella zona più distante dall'oggetto inducente.

Nella maggior parte delle geometrie reali, la determinazione analitica dell'esatta funzione della densità di carica indotta $\sigma$ rappresenta un problema matematico di notevole complessità (legato alla risoluzione dell'equazione di Poisson con specifiche condizioni al contorno). Tuttavia, per alcune configurazioni geometriche regolari ed altamente simmetriche, si ricorre a tecniche matematiche speciali come il metodo della carica immagine (trattato in dettaglio nel seguito).

Effetto punta

La Torre Eiffel colpita da un fulmine durante un temporale il 3 giugno 1902: uno dei primi esempi fotografici di effetto punta applicato alle strutture umane.

L'effetto punta è un fenomeno elettrostatico che si osserva nei conduttori carichi e consiste nella formazione di un campo elettrico significativamente più intenso in prossimità delle zone in cui la superficie del conduttore presenta un raggio di curvatura minore. Di conseguenza, le regioni appuntite sono sede di campi elettrici locali estremamente elevati. A causa di questo effetto, le scariche atmosferiche (i fulmini) colpiscono in modo preferenziale le strutture aguzze o prominenti, come gli alberi, le vette delle montagne, le guglie e i parafulmini.

Per comprendere analiticamente l'origine di questo effetto, si consideri un modello semplificato costituito da due sfere conduttrici di raggio $R_{1}$ e $R_{2}$, con $R_{1}<R_{2}$.

Se le due sfere sono connesse elettricamente tramite un filo conduttore sottile, esse costituiscono un unico corpo equipotenziale. Per linearità di trattazione, si assuma che le due sfere siano poste a una distanza reciproca sufficientemente grande da poter trascurare gli effetti dell'induzione mutua (questa ipotesi, sebbene non strettamente necessaria ai fini del risultato generale, semplifica notevolmente il calcolo).

Se si deposita una carica totale $Q$ su questo sistema, essa si distribuirà tra le due sfere in modo che sulla prima vi sia una carica $Q_{1}$ e sulla seconda una carica $Q_{2}$, nel rispetto del principio di conservazione della carica:

$Q_{1}+Q_{2}=Q$

(avendo trascurato la frazione di carica accumulata sul filo di collegamento).

Essendo le due sfere in contatto elettrico all'equilibrio, esse devono trovarsi allo stesso potenziale elettrico rispetto all'infinito ($V_{1}=V_{2}$). Uguagliando le espressioni del potenziale per le due sfere isolate, si ottiene:

${\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{1}}}={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R_{2}}}$

Da cui si ricava la relazione tra le cariche:

$Q_{1}=Q_{2}{\frac {R_{1}}{R_{2}}}$

Le rispettive densità superficiali di carica, supponendo una distribuzione uniforme su ciascuna sfera, sono definite come:

$\sigma _{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi R_{1}^{2}}}\qquad {\text{e}}\qquad \sigma _{2}={\frac {Q_{2}}{4\pi R_{2}^{2}}}$

Sostituendo la relazione tra le cariche nel rapporto tra le due densità superficiali, si giunge a:

${\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{2}}}={\frac {Q_{1}}{4\pi R_{1}^{2}}}\cdot {\frac {4\pi R_{2}^{2}}{Q_{2}}}=\left({\frac {Q_{2}R_{1}}{R_{2}}}\right){\frac {R_{2}^{2}}{Q_{2}R_{1}^{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

La densità superficiali di carica risulta quindi inversamente proporzionale al raggio della sfera:

$\sigma \propto {\frac {1}{R}}$

Questo risultato dimostra che la sfera con raggio minore (che modella la "punta") presenta una densità di carica localizzata nettamente superiore rispetto alla sfera più grande. Poiché per il teorema di Coulomb l'intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze della superficie è direttamente proporzionale alla densità superficiale di carica ($E={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}$), si deduce che minore è il raggio di curvatura della superficie, maggiore sarà l'intensità del campo elettrico generato in quel punto.

Il campo all'interno di un conduttore cavo

Una situazione fisicamente impossibile dal punto di vista dell'elettrostatica: la presenza di un campo elettrico in una cavità priva di cariche nette.

Consideriamo un conduttore cavo all'equilibrio elettrostatico che possiede, ad esempio, una carica netta positiva sulla sua superficie esterna. Come visto in precedenza, tale carica si distribuisce lungo la superficie esterna concentrandosi maggiormente nelle zone a minore raggio di curvatura. Analizziamo ora il comportamento della superficie interna che delimita la cavità. Si vuole dimostrare che, se la cavità è vuota (ovvero non contiene cariche elettriche al suo interno), sulla superficie interna non può essere presente alcuna carica elettrica.

La dimostrazione si effettua tramite un ragionamento per assurdo.

Si ipotizzi, per assurdo, che sulla superficie interna si formino due zone cariche: una regione $A$ con carica positiva e una regione $B$ con carica negativa. Per il principio di conservazione della carica, queste due cariche separate devono essere necessariamente uguali in modulo e opposte in segno. L'applicazione della legge di Gauss a una superficie interna al conduttore che racchiuda interamente la cavità non permette di escludere questa configurazione: il flusso totale del campo elettrico sarebbe comunque nullo, poiché la carica totale netta racchiusa rimarrebbe pari a zero.

Tuttavia, si consideri la circuitazione del campo elettrico lungo la linea chiusa $L$ indicata in figura:

$\oint _{L}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}$

Una gabbia di Faraday sottoposta a una tensione di 110.000 V: la vistosa scarica elettrica si propaga esclusivamente all'esterno del conduttore cavo.

La linea chiusa $L$ può essere idealmente suddivisa in due tratti: un percorso che attraversa lo spessore del conduttore metallico e un percorso che attraversa lo spazio vuoto della cavità, congiungendo il punto $A$ al punto $B$.

• Nel tratto interno al metallo, il campo elettrico è identicamente nullo (${\vec {E}}=0$), pertanto il contributo di questo percorso all'integrale di linea è nullo.
• Nel tratto che attraversa la cavità dal punto $A$ al punto $B$, l'integrale di linea deve essere necessariamente diverso da zero. Infatti, muovendosi dalla zona positiva $A$ alla zona negativa $B$, si segue la direzione delle linee di campo (che nascono dalle cariche positive e convergono su quelle negative), ottenendo un prodotto scalare ${\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}>0$.

Di conseguenza, l'integrale di linea lungo l'intero percorso chiuso $L$ risulterà strettamente maggiore di zero:

$\oint _{L}{\vec {E}}\cdot d{\vec {l}}\neq 0$

Questo risultato entra in aperta contraddizione con la natura conservativa del campo elettrostatico, la cui circuitazione lungo un qualsiasi cammino chiuso deve essere rigorosamente nulla. L'ipotesi iniziale della presenza di cariche indotte di segno opposto sulla superficie interna porta a una conseguenza assurda e va pertanto rifiutata. Se la cavità è vuota, la densità di carica sulla superficie interna è ovunque nulla e il campo elettrico nella cavità è zero.

Cavità contenente cariche elettriche

È fondamentale puntualizzare che la validità della dimostrazione precedente risiede nell'ipotesi che la cavità sia priva di cariche isolate al suo interno. Se all'interno della cavità viene posizionata una carica fissa (ad esempio sostenuta da un supporto isolante), nello spazio vuoto si genererà un campo elettrico.

In questo scenario, per il fenomeno dell'induzione elettrostatica, sulla superficie interna del conduttore si accumulerà una carica esattamente uguale e opposta a quella posta nella cavità. Questo avviene affinché il campo elettrico risultante nello spessore del metallo resti nullo. Al contempo, per la conservazione della carica globale, sulla superficie esterna del conduttore apparirà una carica pari a quella presente nella cavità. Ciononostante, le cariche esterne o i campi elettrici esterni non sono in alcun modo in grado di influenzare l'ambiente interno alla cavità, e viceversa.

La gabbia di Faraday

Molto prima che questo fenomeno ricevesse una formalizzazione matematica rigorosa, Michael Faraday ne dimostrò l'esistenza attraverso una serie di celebri esperimenti su conduttori cavi. La capacità di un contenitore metallico di isolare perfettamente l'ambiente interno da qualunque campo elettrico o scarica elettrica presente all'esterno viene sfruttata nelle cosiddette gabbie di Faraday, dispositivi fondamentali per la schermatura elettrostatica di apparecchiature elettroniche sensibili e per la sicurezza industriale.

Capacità elettrica

Rappresentazione generica di un condensatore costituito da due conduttori isolati di forma arbitraria con cariche uguali e opposte.

Un condensatore è un dispositivo formato da due conduttori isolati, $a$ e $b$, di forma geometrica arbitraria (chiamati armature del condensatore). Si supponga che sulle due armature vengano depositate cariche elettriche uguali in modulo e opposte in segno, rispettivamente $+Q$ e $-Q$. Nel caso più elementare, i due conduttori si assumono immersi nel vuoto.

Si definisca $V$ la differenza di potenziale (d.d.p.) esistente tra i due conduttori. In virtù del principio di sovrapposizione degli effetti, se si moltiplica per un fattore $n$ la carica presente su ciascun conduttore, anche il campo elettrico risultante e, di conseguenza, la d.d.p. aumenteranno dello stesso fattore.

Ciò implica che, una volta fissate le caratteristiche geometriche e spaziali del sistema, la differenza di potenziale $V$ è direttamente proporzionale alla carica $Q$ (considerata in valore assoluto) presente sulle armature. È quindi possibile definire la costante di proporzionalità tra la carica e la d.d.p. come capacità elettrica $C$ del condensatore:

$C={\frac {Q}{V}}$

La capacità di un condensatore dipende esclusivamente dalla forma geometrica, dalle dimensioni e dalla posizione relativa dei conduttori, mentre non dipende in alcun modo dal materiale di cui essi sono costituiti, né dal valore della carica depositata.

Tipologie differenti di condensatori commerciali utilizzati nei circuiti elettronici.

Nel Sistema Internazionale (SI), le dimensioni fisiche della capacità sono date dal rapporto $[{\text{Carica}}]/[{\text{Differenza di potenziale}}]$; l'unità di misura è il coulomb al volt (${\text{C}}/{\text{V}}$), che prende il nome di farad (simbolo F).

Una capacità dell'ordine di un farad è estremamente elevata e difficile da realizzare in dimensioni ridotte; per questa ragione, nelle applicazioni pratiche ed elettroniche si utilizzano prevalentemente i sottomultipli di questa unità:

• il millifarad: $1{\text{ mF}}=10^{-3}{\text{ F}}$
• il microfarad: $1\ \mu {\text{F}}=10^{-6}{\text{ F}}$
• il nanofarad: $1{\text{ nF}}=10^{-9}{\text{ F}}$
• il picofarad: $1{\text{ pF}}=10^{-12}{\text{ F}}$

I condensatori costituiscono componenti circuitali fondamentali per immagazzinare energia potenziale elettrica e cariche, e trovano impiego in un numero vastissimo di applicazioni tecnologiche.

Il fenomeno dell'induzione completa

I condensatori utilizzati nella pratica ingegneristica sono progettati per operare in condizioni di induzione completa tra le armature. Nel seguito si presupporrà sempre verificata tale condizione. Ciò significa che la geometria delle due armature è tale per cui le linee di forza del campo elettrico, generate dalle cariche $+Q$ e $-Q$, si originano su un'armatura e si estinguono interamente sull'altra, rimanendo confinate esclusivamente nello spazio compreso tra di esse.

Questa condizione si realizza rigorosamente quando:

1. Le due armature sono poste a una distanza reciproca molto piccola rispetto alle loro dimensioni lineari.
2. Un conduttore è completamente cavo e racchiude interamente al suo interno il secondo conduttore.
3. Si considera un singolo conduttore isolato, immaginando la seconda armatura posta a distanza infinita.

Capacità di un conduttore sferico isolato

In quest'ultimo caso, il concetto di capacità può essere esteso a un singolo conduttore isolato, al quale viene fornita una carica $Q$ e il cui potenziale $V$ viene calcolato assumendo come riferimento lo zero all'infinito.

A titolo di esempio, si consideri una sfera conduttrice isolata di raggio $R$ posta nel vuoto e dotata di una carica $Q$. Il campo elettrico generato nello spazio circostante possiede simmetria radiale e, assunto il centro della sfera come origine delle coordinate, assume i seguenti valori:

$E_{r}={\begin{cases}0&{\text{per }}r<R\\{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}&{\text{per }}r>R\end{cases}}$

La differenza di potenziale $V$ della sfera rispetto all'infinito si calcola mediante l'integrale di linea del campo elettrico:

$V=\int _{R}^{\infty }{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}\,dr={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[-{\frac {1}{r}}\right]_{R}^{\infty }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{R}}$

Applicando la definizione di capacità, si ricava:

$C={\frac {Q}{V}}=4\pi \varepsilon _{0}R$

Come si evince dalla relazione ottenuta, un conduttore singolo e isolato possiede una capacità elettrica intrinsecamente molto piccola a causa dell'ordine di grandezza della costante dielettrica del vuoto $\varepsilon _{0}$. Se, ad esempio, si considerasse come conduttore sferico l'intero pianeta Terra (avente un raggio medio $R\approx 6370{\text{ km}}$), la sua capacità elettrica complessiva sarebbe di appena circa $709\ \mu {\text{F}}$.

Condensatore piano

Un condensatore piano ideale caratterizzato da una distanza $d$ intercorrente tra le due armature parallele.

Il condensatore piano rappresenta la configurazione geometrica più elementare e fondamentale di un condensatore. In questo caso, le due armature sono costituite da due superfici piane e parallele di area $S$, separate da una distanza $d$ che si assume significativamente più piccola rispetto alle dimensioni lineari laterali delle superfici stesse.

Se si deposita una carica $+Q$ sull'armatura superiore e una carica $-Q$ su quella inferiore, la condizione di minima distanza ($d\ll {\sqrt {S}}$) garantisce l'instaurarsi di un fenomeno di induzione elettrostatica completa. Di conseguenza, le cariche elettriche si distribuiscono con ottima approssimazione in modo perfettamente uniforme ed esclusivo sulle facce interne delle due armature, affacciate l'una verso l'altra.

Questa distribuzione simmetrica comporta due importanti conseguenze sul campo elettrico risultante:

• Il campo elettrico nello spazio esterno al condensatore è praticamente nullo ($E_{\text{esterno}}\approx 0$).
• Il campo elettrico nello spazio compreso tra le armature è uniforme, ortogonale alle superfici e diretto dall'armatura positiva a quella negativa (trascurando gli effetti di bordo ai margini del dispositivo).

In virtù del teorema di Coulomb, il modulo del campo elettrico all'interno del dielettrico (assunto provvisoriamente essere il vuoto) vale:

$E={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}={\frac {Q}{S\,\varepsilon _{0}}}$

La differenza di potenziale $V$ tra le due armature si ricava integrando il campo elettrico lungo un cammino rettilineo ortogonale che congiunge un'armatura all'altra. Essendo il campo $E$ uniforme e costante lungo il percorso, l'integrale si riduce alla relazione lineare:

$V=E\cdot d={\frac {Q\cdot d}{S\,\varepsilon _{0}}}$

Applicando la definizione generale di capacità elettrica ($C={\frac {Q}{V}}$), si ottiene l'espressione della capacità per un condensatore a facce piane e parallele:

$C=\varepsilon _{0}{\frac {S}{d}}$

Come si evince analizzando la formula finale, la capacità di un condensatore piano è direttamente proporzionale all'area $S$ delle armature e inversamente proporzionale alla loro distanza di separazione $d$, confermando che tale grandezza dipende unicamente da parametri geometrici e strutturali.

Unità di misura della costante dielettrica del vuoto

Dalla relazione precedente per un condensatore a facce piane e parallele possiamo scrivere che $\varepsilon _{o}={\frac {C\ d}{S}}\$ Poiché la capacità elettrica si misura in farad (F), la distanza in metri (m) e la superficie in metri quadrati (m²), la costante dielettrica del vuoto ha come unità di misura ha le dimensioni di una capacità elettrica diviso una lunghezza per questa ragione in genere si preferisce definirla come:

$\varepsilon _{o}=8,854\cdot 10^{-12}\ F/m\$

Condensatore sferico

Un condensatore sferico.

Immaginiamo di avere due sfere concentriche di raggio esterno $R_{1}\$ ed interno $R_{2}\$ come mostrato in figura. Immaginiamo di mettere una carica $Q\$ nella armatura interna e una $-Q\$, in quella esterna. Il campo tra le armature sarà semplicemente pari a:

${\vec {E}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{3}}}{\vec {r}}\qquad R_{1}<r<R_{2}\$

Quindi la differenza di potenziale tra le due armature vale:

$\Delta V=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{3}}}{\vec {r}}\cdot {\vec {dl}}=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}dr={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}\left[-{\frac {1}{r}}\right]_{R_{1}}^{R_{2}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{o}}}{\frac {R_{2}-R_{1}}{R_{1}R_{2}}}\$

Da cui si ricava:

$C={\frac {Q}{\Delta V}}=4\pi \varepsilon _{o}{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\$

$R_{2}=R_{1}+d\$ se $d\ll R_{1}\$ in questo caso $R_{1}R_{2}\approx R_{1}^{2}\$:

$C\approx 4\pi \varepsilon _{o}{\frac {R_{1}^{2}}{d}}=\varepsilon _{o}{\frac {S}{d}}\$

Dove $S=4\pi R_{1}^{2}\$ è la superficie dell'armatura interna. Si ritrova una espressione simile a quella di un condensatore a facce piane e parallele.

Nell'altro caso estremo in $R_{2}\to \infty \$, il condensatore si riduce a una sfera conduttrice di raggio $R_{1}\$ e si ritrova la formula della sfera isolata

$C\approx 4\pi \varepsilon _{o}{\frac {R_{1}R_{2}}{R_{2}}}=4\pi \varepsilon _{o}R_{1}\$

Condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico.

Immaginiamo di avere un conduttore cilindrico di raggio $R_{1}\$ e con lo stesso un secondo conduttore cilindrico di raggio interno $R_{2}\$. Se la distanza tra le armature è piccola si ha un campo radiale che non dipende dalla distanza dagli estremi, chiamata $l\$ la lunghezza del condensatore, il campo elettrico è radiale e vale:

${\vec {E}}={\frac {Q}{2\pi l\varepsilon _{o}r^{2}}}{\vec {r}}\qquad R_{1}<r<R_{2}\$

Dunque:

$\Delta V=\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {Q}{2\pi l\varepsilon _{o}}}\int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {dr}{r}}={\frac {Q}{2\pi l\varepsilon _{o}}}\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}\$

Da cui si ricava:

$C={\frac {Q}{\Delta V}}=2\pi \varepsilon _{o}l/\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}\$

Nel caso dei condensatori cilindrici è utile definire la capacità per unità di lunghezza $C_{l}\$ come:

$C_{l}=2\pi \varepsilon _{o}{\frac {1}{\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}\$

Anche nei condensatori cilindrici, che sono in pratica i condensatori più comuni, se la distanza tra le armature $d\$ è molto minore del raggio interno $R_{1}\$ si ha una formula simile al condensatore a facce piane e parallele. Infatti riscrivendo la formula precedente come:

$C=2\pi \varepsilon _{o}l/(\ln {1+d/R_{1}})\$

Se $d\ll R_{1}\$ si ha dallo sviluppo di Taylor del logaritmo:

$\ln(1+x)\approx x\qquad per\ x\ll 1\$

Quindi:

$C\approx 2\pi {\frac {\varepsilon _{o}l}{x}}=2\pi {\frac {\varepsilon _{o}lR_{1}}{d}}\$

Ma $2\pi R_{1}l=S\$ è la superficie interna del cilindro. Quindi anche in questo caso:

$C\approx \varepsilon _{o}{\frac {S}{d}}\$

Altri esempi

Alcuni esempi chiariscono quanto detto: caso di tre gusci sferici concentrici, una goccia d'acqua: un liquido conduttore.

Condensatori in parallelo

La figura seguente mostra $n\$ condensatori in parallelo. Calcoliamo la capacità equivalente.

Equivalente significa che possiamo a tutti gli effetti sostituire agli $n\$ condensatori un condensatore $C_{e}\$ indistinguibile ai fini delle proprietà elettriche degli $n\$ condensatori. La differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore sarà la stessa $V\$ (in quanto le varie armature costituiscono un unico conduttore semplicemente connesso), come mostrato in figura, mentre le cariche sulle armature dei singoli condensatori saranno dipendenti dalla capacità del condensatore stesso:

$Q_{i}=C_{i}V\qquad con\ i=1,n$

La carica totale del sistema vale: $Q=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}=V\sum _{i=1}^{n}C_{i}=VC_{e}\$

quindi, per $n\$ condensatori in parallelo:

$C_{e}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}\$

Condensatori in serie

La figura mostra $n\$ condensatori posti in serie. Calcoliamo la capacità equivalente di tale sistema.

Immaginando di avere posto una carica $+Q\$ e $-Q\$ sulle armature estreme dei condensatori. A causa dell'induzione elettrostatica sulle armature opposte di ogni condensatore si deve formare una carica eguale e contraria.

Ma poiché la carica totale nel contatto tra la II armatura del condensatore 1 e la I del condensatore 2 deve essere nulla (in caso contrario si violerebbe il principio di conservazione della carica) sulla I armatura del condensatore 2 si deve avere una carica $+Q\$ e di seguito nella stessa maniera per i vari elementi della serie (applicando sia l'induzione elettrostatica sia la conservazione della carica). In questo caso la stessa carica (in modulo) si ha su tutte le armature dei condensatori, mentre la d.d.p. ai capi dei singoli condensatori è diversa:

$V_{i}={\frac {Q}{C_{i}}}\qquad con\ i=1,n\$

La differenza di potenziale ai capi della serie di elementi è data dalla somma matematica delle d.d.p.:

$V=\sum _{i=1}^{n}V_{i}=Q\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{C_{i}}}={\frac {Q}{C_{e}}}\$

Quindi:

$C_{e}=1/{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{C_{i}}}}\$

Quindi la capacità equivalente nel collegamento in serie è sempre minore della più piccola delle capacità della serie. In particolare se sono due condensatori eguali in serie la capacità equivalente vale la metà della capacità di ognuno dei condensatori della serie.

Due esempi: condensatori in cui vengono connesse le armature opposte e condensatore con una lastra metallica possono aiutare nella comprensione di quanto detto.

Energia immagazzinata nel campo elettrico

Calcoliamo il lavoro necessario a caricare un condensatore di capacità $C\$ con una carica $+Q\$ su una armatura e $-Q\$ sulla altra. Supponiamo che a un certo istante $t\$ la carica sulla prima armatura sia $0<q'<Q\$ di conseguenza la d.d.p. tra le armature sarà:

$V'={\frac {q'}{C}}\$

Se vogliamo aumentare la carica di $dq'\$ dovremo fare un lavoro infinitesimo (da un punto di vista termodinamico aumenta l'energia interna del sistema), pari a:

$dW=V'dq'={\frac {q'}{C}}dq'\$

Quindi se si calcola il lavoro totale per caricare il condensatore da scarico fino alla carica $Q\$:

$W=\int dW=\int _{0}^{Q}{\frac {q'}{C}}dq'={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}\$

Facendo uso del fatto che $Q=CV\$ si può anche scrivere come:

$W={\frac {1}{2}}CV^{2}\$

In realtà l'energia accumulata è contenuta nel campo elettrico tra le armature. La densità di energia del campo elettrico, si ricava dal caso del condensatore piano; infatti in tale caso, il campo elettrico ha il medesimo valore in tutti i punti compresi tra le armature, se si trascurano gli effetti dei bordi. Ricordando quanto visto per il condensatore piano nel vuoto:

$|E|={\frac {Q}{S\varepsilon _{o}}}\$

Si può scrivere:

$Q=|E|S\varepsilon _{o}\$

ma anche:

$C=\varepsilon _{o}{\frac {S}{d}}\$

Sostituendo queste ultime espressioni nella equazione del lavoro totale compiuto:

$W={\frac {1}{2}}{\frac {E^{2}S^{2}\varepsilon _{o}^{2}}{\varepsilon _{o}S}}d={\frac {1}{2}}E^{2}Sd\varepsilon _{o}\$

Ma $Sd\$ è il volume di spazio compreso tra le armature, l'energia elettrica per unità di volume, $u_{E}\$, vale:

$u_{E}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{o}E^{2}\$

Tale valore coincide con l'espressione dell'energia per unità di volume calcolato in maniera più generale nella parte precedente.

Metodo della carica immagine

Il metodo della carica immagine è un metodo di risoluzione di problemi di elettrostatica nei conduttori. La validità di tale teorema è un corollario del teorema di unicità, che stabilisce che il potenziale elettrico in un volume è unicamente determinato se il valore del potenziale è specificato in tutto il contorno quindi ponendo sorgenti fittizie che producono lo stesso potenziale nel contorno si possono determinare grandezze di interesse.

Una carica di fronte a un piano conduttore a massa

Sistema reale

Sistema e la sua immagine

L'esempio più semplice dell'applicazione del metodo è quello di una carica puntiforme q, posizionata nel punto $(0,a,0)$ sopra un piano infinito conduttore messo a terra (cioè: $V=0$) nel piano xz. Per semplificare il problema, rimpiazziamo il piano equipotenziale con una carica –q, posta in $(0,-a,0)$. Questa disposizione produrrà lo stesso campo elettrico a ogni punto per cui $y>0$ (cioè sopra il piano conduttore) e soddisfa la condizioni al contorno sul potenziale lungo il piano in quanto il potenziale elettrico sul piano è nullo (come è nullo nei punti equidistanti dalle due cariche costituenti un dipolo). Questa situazione è equivalente alla situazione iniziale, ma determinare la forza sulla carica q, il campo elettrico in tutti i punti dello spazio sopra il piano conduttore e le relative differenze di potenziale diventa un problema di sue sole cariche.

Il potenziale in ogni punto dello spazio, dovuto a queste due cariche puntiformi +q in +a e -q in -a sull'asse y è dato da:

$V\left(x,y,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {x^{2}+z^{2}+\left(y-a\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {x^{2}+z^{2}+\left(y+a\right)^{2}}}}\right)\,$

La componente del campo elettrico normale alla superficie del piano conduttore vale sulla superficie del piano:

$E_{y}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}{\Bigg |}_{y=0}={\frac {-qa}{2\pi \varepsilon _{0}\left(x^{2}+z^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}$

è facile verificare come le componenti tangenziali alla superficie siano nulle per $y=0\$. Quindi la densità indotta sul piano vale (dal teorema di Colomb):

$\sigma =\varepsilon _{0}E_{y}={\frac {-qa}{2\pi \left(x^{2}+z^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}$

Quindi la carica totale indotta sul piano conduttore sarà l'integrale della densità di carica sull'intero piano:

$Q_{t}=\int _{S}\sigma dS$

Posso definire sul piano conduttore la distanza dall'asse congiungente le due cariche come: $r={\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$, l'elemento di superficie con densità eguale di carica sarà $dS=2\pi rdr$ quindi l'integrale di superficie diventa un integrale di una sola variabile:

$Q_{t}=-qa\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}rdr$

Facendo un cambio di variabile $s^{2}=r^{2}+a^{2}$:

$Q_{t}=-qa\int _{a}^{\infty }{\frac {ds}{s^{2}}}=-qa\left[-{\frac {1}{s}}\right]_{a}^{\infty }=-q$

Cioè la carica indotta sulla superfice del piano è esattamente eguale ed opposta alla carica inducente.

Infine la forza con cui il piano conduttore attrae la carica vale:

$F={\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}(2a)^{2}}}={\frac {q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}a^{2}}}$

Poiché il campo elettrico nel vuoto soddisfa il principio di sovrapposizione delle forze, per un piano conduttore sotto un insieme di cariche puntiformi può ripetersi il ragionamento per ogni carica individualmente.

Una carica di fronte a una sfera conduttrice a massa

Una carica di fronte a una sfera conduttrice.

Studiamo il problema di una carica puntiforme q a distanza a dal centro di una sfera conduttrice di raggio R posta a massa (quindi con potenziale nullo). La carica indurrà sulla superficie del conduttore una carica indotta tale da annullare il potenziale nel volume della sfera, e quindi anche sulla sua superficie.

Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quello di una carica d fronte a una sfera conduttrice a massa.

In realtà due cariche puntiformi q e q' se di segno opposto generano un potenziale elettrico (assunto nullo il potenziale all'infinito) che si annulla lungo una sfera, con una opportuna scelta quindi della carica q' e della sua posizione spaziale si crea un sistema immagine che riproduce all'esterno della sfera conduttrice lo stesso problema fisico.

Facendo riferimento alla figura immagine, bisogna imporre che il potenziale sulla superficie della sfera sia nullo cioè che:

$V_{S}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {R^{2}\sin ^{2}\theta +(a-R\cos \theta )^{2}}}}+{\frac {q'}{\sqrt {R^{2}\sin ^{2}\theta +(b-R\cos \theta )^{2}}}}\right]=0$

quindi deve essere:

$\left[{\frac {q}{\sqrt {R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta }}}+{\frac {q'}{\sqrt {R^{2}+b^{2}-2bR\cos \theta }}}\right]=0$

Necessariamente la carica di q è opposta a quella di q. Fatta questa considerazione possiamo fare il quadrato delle due espressioni e trasformare l'equazione in:

$q^{2}(R^{2}+b^{2}-2bR\cos \theta )=q'^{2}(R^{2}+a^{2}-2aR\cos \theta )$

Per essere nulla per qualsiasi angolo $\theta$ occorre che:

$q^{2}2bR\cos \theta =q'^{2}2aR\cos \theta$

e quindi il valore della carica immagine è (tenendo conto del segno):

$q'=-q{\frac {R}{a}}$

Ma anche:

$q^{2}(R^{2}+b^{2})=q'^{2}(R^{2}+a^{2})=q^{2}{\frac {R^{2}}{a^{2}}}(R^{2}+a^{2})$

$a^{2}(R^{2}+b^{2})-R^{2}(R^{2}+a^{2})=0$

$a^{2}b^{2}-R^{4}=0$

La soluzione cercata è:

$R^{2}=ab$

$b={\frac {R^{2}}{a}}$

Quindi a questo punto è facile determinare il campo elettrico nel vari punti dello spazio, e in particolare la forza attrattiva esercitata dalla sfera conduttrice:

$F={\frac {qq'}{4\pi \varepsilon _{0}(a-b)^{2}}}={\frac {q^{2}R}{4\pi \varepsilon _{0}a^{3}(1-R^{2}/a^{2})^{2}}}$

Distribuzione di carica che genera un campo equivalente a quello di una carica d fronte a una sfera conduttrice isolata.

Una carica di fronte a una sfera conduttrice isolata

Nel caso di una sfera conduttrice a massa da tale collegamento delle cariche vengono indotte sulla superficie della sfera per rendere il suo potenziale nullo. Se la sfera conduttrice è isolata, chiaramente la carica totale immagine deve essere invece nulla, di conseguenza per il teorema di Gauss il flusso del campo elettrico sulla sfera gaussiana costituita della superficie della sfera conduttrice deve essere nullo. Quindi per creare il sistema immagine assieme alla carica q' ci deve essere all'interno della sfera R una carica -q'. Che però deve produrre un potenziale elettrico (rispetto all'infinito) eguale in tutti i punti della superficie quindi la carica -q' è posta al centro. Quindi il sistema immagine è composto di tre cariche puntiformi poste come indicato in figura. La carica q' è quella calcolata nel caso precedente. In questo caso interessa ll potenziale rispetto all'infinito è dovuto alla sola carica -q' posta al centro e vale:

$V_{S}=-{\frac {q'}{4\pi \varepsilon _{0}R}}={\frac {qR}{4\pi \varepsilon _{0}aR}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}a}}$

Il contributo di q e q' al potenziale della sfera è in totale nullo, come nel caso della sfera a massa.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II, 3ª ed., Liguori, 1999, ISBN 978-88-207-1633-2.

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