Fisica classica/Gravitazione

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Esperimento di Cavendish

La legge di gravitazione universale afferma che ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale mediante una forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti. L'intensità di tale forza è proporzionale al prodotto delle loro masse ed è inversamente proporzionale al quadrato della distanza che li separa.

Isaac Newton mostrò inoltre che un corpo dotato di simmetria sferica esercita all'esterno la stessa attrazione gravitazionale che avrebbe se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro, risultato noto come teorema del guscio sferico.

La legge della gravitazione universale fu formulata sulla base delle osservazioni astronomiche e del moto dei corpi celesti. Tuttavia, una verifica diretta dell'attrazione gravitazionale tra masse in laboratorio fu ottenuta soltanto nel 1798 grazie al celebre esperimento di Cavendish, oltre un secolo dopo la pubblicazione dei Principia di Newton. L'esperimento consentì anche una delle prime determinazioni della densità media della Terra e, indirettamente, della costante di gravitazione universale.

Sebbene la gravitazione newtoniana sia stata generalizzata dalla teoria della relatività generale di Albert Einstein, essa continua a descrivere con grande accuratezza la maggior parte dei fenomeni gravitazionali osservabili nella vita quotidiana, nel Sistema Solare e nell'ingegneria spaziale. La teoria di Newton può infatti essere considerata il limite della relatività generale nel caso di campi gravitazionali deboli e velocità molto inferiori a quella della luce. Differenze significative emergono solo in situazioni estreme, come nel moto di Mercurio, nelle vicinanze delle stelle di neutroni o dei buchi neri.

La legge di Gravitazione Universale

Ogni punto materiale attrae ogni altro punto materiale con una forza lungo la congiungente di entrambi i punti. La forza è proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra di essi.

$\mathbf {F} _{12}=-G{m_{1}m_{2} \over {\vert \mathbf {r} _{12}\vert }^{2}}\,\mathbf {\hat {r}} _{12}$

dove:

• F₁₂ è la forza tra le masse;
• G è la costante gravitazionale(6,67430×10⁻¹¹ N · m²kg^-2);
• m₁ è la prima massa;
• m₂ è la seconda massa;
• |r₁₂| = |r₂ − r₁| è la distanza tra i due punti materiali.
• $\mathbf {\hat {r}} _{12}={\frac {\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}{\vert \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\vert }}$ è il versore tra i due punti.

Le leggi di Keplero

Le leggi di Keplero derivate dalle precise osservazioni di Tycho Brahe sono le seguenti:

Prima Legge di Keplero

I pianeti si muovono attorno al Sole descrivendo orbite ellittiche, delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto dell'orbita più vicino al Sole è detto perielio, mentre quello più lontano è detto afelio.

Dimostrazione

Grafico del potenziale efficace kepleriano in funzione del raggio. Per valori di eccentricità minori di uno, il potenziale presenta due punti di inversione in corrispondenza dei valori $r_{\text{min}}$ e $r_{\text{max}}$. Pertanto l'orbita nello spazio delle coordinate è limitata alla corona circolare delimitata dalle circonferenze di tali raggi. In particolare, la traiettoria è tangente a ciascuna circonferenza in punti distanti tra loro $\pi$: si tratta pertanto di ellissi. Per $r=r_{*}$, in corrispondenza del minimo del potenziale, l'eccentricità è nulla, nello spazio delle fasi l'orbita si riduce al punto ellittico e la traiettoria del corpo è circolare.

Poiché il potenziale gravitazionale dipende soltanto dalla distanza dal centro di forza, il problema rientra nella classe dei moti in campo centrale e il moto si svolge su un piano. L'uso della conservazione del momento angolare $L=mr^{2}{\dot {\theta }}$ permette di eliminare la dipendenza temporale e determinare direttamente la geometria della traiettoria $r(\theta )$.

L'equazione dell'energia totale del sistema in coordinate polari è data da:

$E={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {k}{r}}$

Per risolvere l'equazione in modo elegante, introduciamo la variabile ausiliaria di Binet $u={\frac {1}{r}}$. Sfruttando la regola della catena, la derivata temporale della coordinata radiale diventa:

${\dot {r}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}{\dot {\theta }}=-{\frac {L}{m}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}$

Sostituendo ${\dot {r}}$ e $u$ nell'espressione dell'energia si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine per la forma dell'orbita:

$E={\frac {L^{2}}{2m}}\left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{2m}}u^{2}-ku$

Esplicitando rispetto alla derivata ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}$ e separando le variabili, l'integrale geometrico si riduce a una forma standard immediata:

$\theta =\int {\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {{\frac {2mE}{L^{2}}}+{\frac {2mk}{L^{2}}}u-u^{2}}}}$

Completando il quadrato sotto radice e scegliendo l'origine degli angoli ($\theta =0$) in corrispondenza del pericentro, l'integrazione fornisce direttamente:

$u(\theta )={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}\cos \theta \right)$

Tornando alla variabile originale $r={\frac {1}{u}}$, definiamo il semilato retto $p$ e l'eccentricità $e$ come:

$p={\frac {L^{2}}{mk}},\qquad e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}$

Si giunge così all'equazione polare di una generica sezione conica con un fuoco nell'origine:

$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$

Proprietà geometriche dell'orbita

L'equazione descrive un'orbita chiusa (un'ellisse) se e solo se $e<1$. Dalla definizione di $e$, questa condizione è soddisfatta solo quando l'energia totale è negativa ($E<0$), ovvero per gli stati legati del sistema.

A partire dai parametri fisici, è possibile ricavare le espressioni geometriche dei semiassi dell'ellisse:

• Semiasse maggiore ($a$): si ottiene come media aritmetica tra la distanza del perielio ($\theta =0$) e dell'afelio ($\theta =\pi$):

$a={\frac {r_{\text{min}}+r_{\text{max}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{1+e}}+{\frac {p}{1-e}}\right)={\frac {p}{1-e^{2}}}={\frac {k}{2|E|}}$

• Semiasse minore ($b$): dalla relazione geometrica dell'ellisse $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$, sostituendo i valori fisici si ottiene:

$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {L}{\sqrt {2m|E|}}}$

Si conclude che le traiettorie nello spazio associate a energie negative sono ellissi di cui il centro di forza occupa uno dei fuochi. Questo dimostra rigorosamente la prima legge di Keplero.

Classificazione geometrica delle orbite ed energia totale

L'energia meccanica totale $E$ di un corpo di massa $m$ immerso nel campo gravitazionale generato da una massa sorgente $M$ è data dalla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale:

$E=E_{c}+E_{p}={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}$

Facendo riferimento al grafico del potenziale efficace, i diversi valori dell'energia totale $E$ determinano i punti di inversione del moto e, di conseguenza, la natura geometrica della traiettoria (sezione conica):

• $E<0$ (Stati legati): L'energia cinetica del corpo non è sufficiente a vincere l'attrazione gravitazionale e l'energia potenziale prevale. Il corpo non può allontanarsi oltre una distanza massima ($r_{\text{max}}$, l'afelio). La traiettoria è una curva chiusa e nello specifico corrisponde a un'ellisse (o a una circonferenza nel caso particolare in cui l'eccentricità sia nulla), come cinematicamente descritto dalla prima legge di Keplero.

• $E=0$ (Orbita parabolica): Rappresenta il caso limite di transizione. Il corpo possiede l'energia minima sufficiente per sfuggire all'attrazione del corpo centrale e portarsi a distanza infinita. Raggiunta una distanza infinitamente grande, la sua energia potenziale si annulla e, di conseguenza, si azzera anche la sua energia cinetica ($v\to 0$ per $r\to \infty$). Geometricamente, la traiettoria aperta associata a questo valore critico è una parabola. Imponendo la condizione $E=0$, si ricava l'espressione per la velocità di fuga ($v_{\text{fuga}}$), ovvero la velocità minima che un corpo deve possedere per liberarsi dal campo partendo da una distanza $r$:

${\frac {1}{2}}mv_{\text{fuga}}^{2}-G{\frac {Mm}{r}}=0\implies v_{\text{fuga}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$

• $E>0$ (Stati liberi): Il corpo possiede un eccesso di energia cinetica rispetto al legame gravitazionale. Non solo è in grado di allontanarsi indefinitamente dalla sorgente, ma una volta giunto a distanza infinita ($E_{p}=0$) manterrà una velocità residua non nulla, detta velocità all'infinito ($v_{\infty }={\sqrt {2E/m}}$). La traiettoria risultante è una curva aperta ed è descritta matematicamente da un'iperbole. Questo è il caso tipico delle sonde interplanetarie in fase di allontanamento dal sistema solare o delle comete non periodiche che transitano una sola volta in prossimità del Sole per poi perdersi nello spazio profondo.

Seconda Legge di Keplero

Il raggio vettore che congiunge il Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. La velocità con cui viene spazzata tale superficie è detta velocità areolare ed è costante lungo tutta l'orbita.

Dimostrazione

Introduciamo un sistema di coordinate polari $(r,\theta )$ nel piano del moto, con l'origine posizionata nel centro di forza (il Sole). In questo sistema, il vettore posizione del pianeta è espresso semplicemente da $\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}}$, mentre il vettore velocità è dato da:

$\mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }}$

dove $\mathbf {\hat {r}}$ e $\mathbf {\hat {\theta }}$ sono i versori radiale e trasversale.

Il momento angolare del pianeta di massa $m$ rispetto all'origine è definito dal prodotto vettoriale:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}$

Sostituendo le espressioni in coordinate polari e sfruttando la linearità del prodotto vettoriale (ricordando che $\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {r}} =0$ e $\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\hat {\theta }} =\mathbf {\hat {k}}$, dove $\mathbf {\hat {k}}$ è il versore normale al piano del moto), si ottiene:

$\mathbf {L} =r\mathbf {\hat {r}} \times m({\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {\theta }} )=mr^{2}{\dot {\theta }}\mathbf {\hat {k}}$

Poiché la forza gravitazionale è una forza centrale (diretta sempre lungo la congiungente tra i due corpi), il momento della forza esterna è nullo. Per il teorema del momento angolare, $\mathbf {L}$ è una costante del moto (sia in modulo che in direzione). Di conseguenza, la quantità scalare:

$L=mr^{2}{\dot {\theta }}={\text{costante}}$

L'area infinitesima $\mathrm {\Delta } A$ spazzata dal raggio vettore nell'intervallo $\Delta t$ può essere approssimata a quella di un triangolo di base $\Delta S=v\Delta t$ e altezza $r$. Le tre aree evidenziate sono eguali.

Consideriamo ora la geometria della traiettoria. In un intervallo di tempo infinitesimo $\mathrm {d} t$, il raggio vettore si sposta di un angolo $\mathrm {d} \theta ={\dot {\theta }}\mathrm {d} t$. L'area infinitesima $\mathrm {d} S$ spazzata dal segmento può essere approssimata a quella di un triangolo avente per altezza il raggio $r$ e per base l'arco di circonferenza infinitesimo $r\,\mathrm {d} \theta$:

$\mathrm {d} S={\frac {1}{2}}(r)(r\,\mathrm {d} \theta )={\frac {1}{2}}r^{2}\mathrm {d} \theta$

Dividendo per l'intervallo di tempo $\mathrm {d} t$, si ottiene l'espressione della velocità areolare, che indichiamo con $C$:

$C={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}$

Esprimendo questa quantità in funzione del modulo del momento angolare $L$, ricaviamo l'equazione fondamentale:

$C={\frac {L}{2m}}$

Poiché sia $L$ che $m$ sono costanti del moto, anche la velocità areolare $C$ deve essere rigorosamente costante. Questo dimostra la seconda legge di Keplero.

Si nota come la validità di questa legge sia del tutto indipendente dall'espressione specifica del potenziale (legge dell'inverso del quadrato); essa riflette unicamente la natura centrale della forza e la conseguente conservazione del momento angolare.

Terza Legge di Keplero

Il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita:

$T^{2}=Ka^{3}$

Dimostrazione

Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in Unità Astronomiche) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values (NASA).

Dalla seconda legge di Keplero sappiamo che la velocità areolare $C={\frac {L}{2m}}$ è costante. Il periodo di rivoluzione $T$ è il tempo impiegato dal raggio vettore per spazzare l'intera area dell'ellisse. Essendo l'area di un'ellisse pari a $S=\pi ab$ (dove $a$ e $b$ sono rispettivamente il semiasse maggiore e minore), il periodo può essere espresso come:

$T={\frac {S}{C}}={\frac {\pi ab}{\frac {L}{2m}}}={\frac {2m\pi ab}{L}}$

Per evitare il calcolo con potenze frazionarie, eleviamo entrambi i membri al quadrato:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}m^{2}a^{2}b^{2}}{L^{2}}}$

Dalle dimostrazioni precedenti, recuperiamo le relazioni geometriche che legano i semiassi $a$ e $b$ all'energia totale $E$ (con $E<0$ per un'orbita chiusa) e al momento angolare $L$:

$a={\frac {k}{2|E|}},\qquad b={\frac {L}{\sqrt {2m|E|}}}$

Dalla formula del semiasse minore, possiamo isolare il termine $b^{2}$:

$b^{2}={\frac {L^{2}}{2m|E|}}$

Sostituendo questa espressione per $b^{2}$ nell'equazione del periodo quadrato, notiamo una semplificazione immediata del momento angolare $L$:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}m^{2}a^{2}}{L^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{2m|E|}}\right)={\frac {2\pi ^{2}ma^{2}}{|E|}}$

Infine, esprimiamo l'energia totale in funzione del semiasse maggiore sfruttando la relazione $|E|={\frac {k}{2a}}$. Sostituendo quest'ultima uguaglianza otteniamo:

$T^{2}={\frac {2\pi ^{2}ma^{2}}{\frac {k}{2a}}}=\left({\frac {4\pi ^{2}m}{k}}\right)a^{3}$

Definendo la costante di proporzionalità kepleriana come $K={\frac {4\pi ^{2}m}{k}}$, si giunge alla formulazione finale:

$T^{2}=Ka^{3}$

La terza legge di Keplero è così dimostrata.

Se consideriamo l'espressione esplicita della costante gravitazionale nell'approssimazione in cui la massa del pianeta $m$ sia trascurabile rispetto a quella del Sole $M$, si ha $k=GMm$. Sostituendo questo valore, la costante $K$ diventa:

$K={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}$

Si nota come tale costante dipenda esclusivamente dalla massa del corpo centrale (il Sole) e dalla costante di gravitazione universale, rimanendo identica per tutti i pianeti del sistema solare.

Campo gravitazionale

Il campo gravitazionale è un campo vettoriale che descrive l'effetto nello spazio generato dalla presenza di una o più masse. Formalmente, è definito come la forza gravitazionale esercitata per unità di massa su un corpo di prova posto in un dato punto dello spazio; dal punto di vista dimensionale, esso coincide con l'accelerazione di gravità in quel punto.

L'introduzione del concetto di campo è particolarmente utile quando si analizzano sistemi in cui sono coinvolti più di due oggetti (si pensi, ad esempio, alla traiettoria di un razzo in viaggio tra la Terra e la Luna). Nel caso elementare di due soli corpi (dove il corpo 1 di massa $M$ genera il campo e il corpo 2, di massa $m$, subisce la forza), indicando con $\mathbf {r}$ il vettore posizione rispetto al centro del corpo generatore, il campo gravitazionale $\mathbf {g} (\mathbf {r} )$ si definisce come:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{\frac {M}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

Grazie a questa definizione, la forza totale agente sulla massa di prova può essere riscritta semplicemente come:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} )$

La formulazione data evidenzia come il campo dipenda esclusivamente dalle proprietà della massa sorgente $M$ e dalla geometria dello spazio. Nel Sistema Internazionale, le unità di misura del campo gravitazionale sono quelle di un'accelerazione, ovvero metri al secondo quadrato (${\text{m/s}}^{2}$).

La $m$ nella legge di Newton è la massa inerziale (la resistenza al moto), mentre la $m$ nella legge di gravitazione è la massa gravitazionale. Il fatto che tutti i corpi cadono con la stessa $\mathbf {g}$ indipendentemente dalla massa significa che:

$m_{\text{inerziale}}\equiv m_{\text{gravitazionale}}$

Questo è il Principio di Equivalenza Debole, che storicamente ha aperto la strada ad Einstein per la Relatività Generale.

Proprietà e potenziale gravitazionale

Il campo gravitazionale è un campo conservativo. Ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza di gravità per spostare una massa da una configurazione a un'altra dipende unicamente dalle posizioni iniziale e finale, ed è del tutto indipendente dal percorso seguito.

Come conseguenza della conservatività, è possibile definire una funzione scalare $V(\mathbf {r} )$, detta potenziale gravitazionale, tale che il campo sia esprimibile come l'opposto del suo gradiente:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )$

Se la sorgente è una massa puntiforme o un corpo a simmetria sferica (la cui densità dipende unicamente dalla distanza $r$ dal centro), il campo all'esterno di essa assume una forma radialmente simmetrica. In questo scenario, il potenziale gravitazionale all'esterno della superficie sferica assume l'espressione:

$V(r)=-{\frac {GM_{1}}{r}}$

Applicazione della Legge di Gauss

Sfruttando la simmetria radiale, il calcolo del campo gravitazionale può essere enormemente semplificato applicando il teorema del flusso per il campo gravitazionale (equivalente alla legge di Gauss in elettrostatica):

$\oint _{A}\mathbf {g} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{int}}$

dove $A$ rappresenta una superficie chiusa immaginaria (superficie gaussiana) e $M_{\text{int}}$ è la massa totale racchiusa all'interno di tale superficie.

Si deve a Newton il Teorema del guscio sferico che consente di semplificare lo studio della gravitazione in presenza di corpi con simmetria sferica. Attraverso questo formalismo, è possibile ricavare l'andamento del modulo del campo gravitazionale $|\mathbf {g} (r)|$ per due configurazioni sferiche notevoli di raggio $R$ e massa totale $M$:

• Guscio sferico cavo (sfera vuota):

Il campo all'interno della cavità è nullo, poiché la massa interna è zero, mentre all'esterno il guscio si comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel centro (teorema dei gusci sferici).

$|\mathbf {g} (r)|={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\mbox{se }}r\geq R\end{cases}}$

• Sfera piena uniforme (densità costante):

All'interno della sfera la massa racchiusa cresce con il cubo del raggio ($r^{3}$), portando a un campo che cresce linearmente dal centro verso la superficie. All'esterno, l'andamento riprende la classica legge dell'inverso del quadrato.

$|\mathbf {g} (r)|={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\mbox{se }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\mbox{se }}r\geq R\end{cases}}$

Lavoro della forza gravitazionale ed energia potenziale

Per dimostrare formalmente la conservatività della forza gravitazionale, calcoliamo il lavoro infinitesimo $\mathrm {d} W$ compiuto dalla forza quando una massa di prova $m$ subisce uno spostamento infinitesimo $\mathrm {d} \mathbf {s}$ nel campo generato da una massa sorgente $M$:

$\mathrm {d} W=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\left(-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$

Poiché il prodotto scalare $\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$ rappresenta esattamente la proiezione dello spostamento lungo la direzione radiale (ovvero la variazione del raggio $\mathrm {d} r$), l'espressione si semplifica in:

$\mathrm {d} W=-G{\frac {Mm}{r^{2}}}\mathrm {d} r$

Dalla definizione di campo conservativo, il lavoro infinitesimo è pari all'opposto del differenziale dell'energia potenziale ($\mathrm {d} W=-\mathrm {d} E_{p}$). Integrando l'espressione tra una distanza generica $r$ e l'infinito, otteniamo l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale:

$E_{p}(r)=-G{\frac {Mm}{r}}$

Significato fisico e convenzioni

Nello studio della gravitazione si adotta la convenzione di porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita ($\lim _{r\to \infty }E_{p}=0$), punto in cui si annulla anche la forza stessa.

Di conseguenza, per qualsiasi distanza finita $r$, l'energia potenziale assume valori negativi. Questo andamento ha un preciso significato fisico:

• Quando i due corpi si avvicinano (il raggio $r$ diminuisce), la forza gravitazionale compie un lavoro positivo ($\mathrm {d} W>0$).
• Per il teorema dell'energia cinetica, questo lavoro si traduce in un aumento dell'energia cinetica del sistema (e quindi della velocità dei corpi).
• Specularmente, l'energia potenziale $E_{p}$ diminuisce, diventando "più negativa" e scendendo in quella che viene definita una buca di potenziale.

Legame con il potenziale scalare

Esattamente come fatto per la forza e il campo, possiamo isolare il contributo della massa di prova $m_{2}$ dividendo l'energia potenziale per quest'ultima. Definiamo così il potenziale gravitazionale $V(r)$ generato dalla massa $M$:

$V(r)={\frac {E_{p}}{m}}=-G{\frac {M}{r}}$

L'operazione di gradiente applicata a questa funzione scalare ci riconduce alla descrizione vettoriale del campo:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(r)$

Questa elegante relazione matematica conferma, in perfetta coerenza con i principi della meccanica razionale, che il campo gravitazionale è un campo conservativo interamente descrivibile a partire da una funzione potenziale scalare.