Fisica classica/Magnetismo della materia

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Le equazioni studiate finora descrivono il campo magnetico nel vuoto. La presenza della materia, nella maggior parte dei casi, modifica solo debolmente il campo di induzione magnetica. Fanno eccezione alcune sostanze particolari, come i materiali ferromagnetici e i superconduttori, nei quali gli effetti magnetici risultano molto intensi.

Un’osservazione sperimentale significativa si ottiene considerando campi magnetici non uniformi, caratterizzati cioè da forti gradienti spaziali. In tali condizioni alcune sostanze, dette paramagnetiche, vengono attratte verso le regioni in cui il campo magnetico è più intenso. Questo comportamento è particolarmente evidente nei materiali ferromagnetici, che rappresentano un caso estremo di paramagnetismo. Altre sostanze, dette diamagnetiche, vengono invece respinte dalle regioni in cui il campo è maggiore. I superconduttori mostrano una repulsione molto intensa del campo magnetico e vengono perciò spesso descritti come diamagneti perfetti.

Questo comportamento differisce profondamente da quanto avviene in elettrostatica. In presenza di un campo elettrico non uniforme, infatti, qualunque sostanza — sia essa conduttrice o isolante — tende generalmente a spostarsi verso le regioni in cui il campo elettrico è più intenso.

L’origine del paramagnetismo può essere compresa osservando che una spira percorsa da corrente possiede un momento di dipolo magnetico ${\vec {m}}$. Se tale dipolo è immerso in un campo di induzione magnetica esterno, esso tende ad orientarsi parallelamente alle linee del campo, analogamente a quanto avviene per un dipolo elettrico in un campo elettrico. Tuttavia esiste una differenza fondamentale tra i due casi. Nel dipolo elettrico il campo generato dal dipolo si oppone parzialmente al campo esterno, riducendone l’intensità all’interno del materiale. Nel caso magnetico, invece, il dipolo allineato produce un campo che si somma a quello esterno, rafforzandolo.

Il comportamento paramagnetico — e in misura ancora maggiore quello ferromagnetico — si spiega con l’esistenza di momenti magnetici microscopici associati agli atomi e alle molecole. Tali momenti derivano sia dal moto orbitale degli elettroni attorno al nucleo sia dal loro momento angolare intrinseco, detto spin.

La spiegazione del diamagnetismo è più delicata e coinvolge la cosiddetta precessione di Larmor Anche negli atomi privi di momento magnetico permanente, gli elettroni in moto orbitale generano piccoli momenti magnetici. Quando un atomo viene immerso in un campo magnetico esterno, tali momenti subiscono una precessione attorno alla direzione del campo applicato.

La precessione è un moto caratteristico dei sistemi rotanti: oltre alla rotazione attorno a un asse, anche l’asse stesso ruota lentamente nello spazio. Un esempio classico è il moto di una trottola.

Nel caso degli elettroni, la precessione genera un ulteriore momento magnetico indotto che, secondo la legge di Lenz, si oppone al campo magnetico esterno. Il risultato complessivo è quindi una debole diminuzione del campo all’interno della sostanza: questo fenomeno prende il nome di diamagnetismo.

Il diamagnetismo è presente, almeno in misura molto piccola, in tutta la materia. Poiché esso dipende principalmente dal numero di elettroni e non dalla temperatura, mentre gli effetti paramagnetici diminuiscono all’aumentare della temperatura a causa dell’agitazione termica, a temperature sufficientemente elevate tutte le sostanze tendono a manifestare prevalentemente un comportamento diamagnetico.

Il vettore magnetizzazione

L’effetto di un campo di induzione magnetica sulla materia è quello di indurre o orientare dei momenti magnetici elementari ${\vec {m}}_{i}\$. Considerando un elemento di volume $d\tau \$ sufficientemente piccolo, ma contenente ancora un numero molto elevato di dipoli magnetici, si può definire, in analogia con il vettore di polarizzazione elettrica, il campo vettoriale macroscopico:

${\vec {M}}=\lim _{d\tau \to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{N}{\vec {m}}_{i}}{d\tau }}\$

Il limite va inteso in senso fisico e non puramente matematico: il volume $d\tau \$ deve infatti essere abbastanza piccolo da consentire una descrizione locale del materiale, ma sufficientemente grande da contenere molti dipoli magnetici elementari, così da rendere significativa una media statistica.

Il vettore ${\vec {M}}\$ prende il nome di vettore magnetizzazione e rappresenta il momento magnetico per unità di volume della materia.

Nel vuoto si ha:

${\vec {M}}=0\$

Nei materiali paramagnetici e diamagnetici, per campi non troppo intensi, la magnetizzazione risulta generalmente proporzionale al campo magnetico applicato. Nei materiali paramagnetici il verso di ${\vec {M}}\$ coincide con quello di ${\vec {B}}\$, mentre nei materiali diamagnetici esso è opposto.

Analogia tra polarizzazione elettrica in un campo elettrico uniforme e magnetizzazione in un campo di induzione magnetica uniforme

Poiché il momento magnetico ha le dimensioni di una corrente per una superficie, il vettore magnetizzazione ha le dimensioni di una corrente per unità di lunghezza. Le sue dimensioni coincidono quindi con quelle del vettore ${\vec {H}}\$, che verrà introdotto in seguito.

Dal punto di vista fisico, la magnetizzazione della materia equivale alla presenza di correnti microscopiche dette correnti di magnetizzazione. Se ${\vec {M}}\$ è uniforme nel materiale, le correnti interne si compensano reciprocamente e l’unico effetto netto si manifesta sulla superficie del corpo magnetizzato, analogamente a quanto accade per le cariche di polarizzazione nei dielettrici uniformemente polarizzati. La figura a fianco dovrebbe dare una idea dell'analogia.

Per comprendere questo risultato, consideriamo una sottile fetta cilindrica di spessore $dl\$ e sezione $A\$, uniformemente magnetizzata. Indichiamo con ${\hat {n}}\$ il versore normale alla superficie della fetta. Il momento magnetico associato alla fetta vale:

${\vec {m}}=Adl{\vec {M}}\$

Lo stesso momento magnetico può essere prodotto da una corrente equivalente che percorra il contorno della fetta. Indicando con $dI_{c}\$ tale corrente, si ha:

$dI_{c}A=Adl{\vec {M}}\cdot {\hat {n}}\$

da cui:

$dI_{c}=dl{\vec {M}}\cdot {\hat {n}}\$

La corrente di magnetizzazione superficiale per unità di lunghezza risulta quindi:

${\vec {J}}_{ml}={\vec {M}}\times {\hat {n}}\$

Il vettore ${\vec {J}}_{ml}\$ rappresenta una densità superficiale di corrente e scorre tangenzialmente alla superficie del materiale magnetizzato.

Se la magnetizzazione non è uniforme, le correnti di magnetizzazione non si limitano più alla superficie, ma compaiono anche all’interno del materiale. In tal caso si definisce la densità volumica di corrente di magnetizzazione:

${\vec {J}}_{mv}={\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}\$

Questa relazione mostra che le correnti interne di magnetizzazione sono associate alla non uniformità spaziale del vettore ${\vec {M}}\$.

Le dimensioni di ${\vec {J}}_{mv}\$ sono quelle di una densità di corrente, cioè corrente per unità di superficie, mentre ${\vec {J}}_{ml}\$ ha dimensioni di corrente per unità di lunghezza.

Equazioni della magnetostatica in presenza di materia

Consideriamo un mezzo materiale magnetizzato descritto come continuo. In corrispondenza della superficie di separazione tra due mezzi differenti, i vettori ${\vec {B}}\$ e ${\vec {M}}\$ possono presentare discontinuità; in tali regioni occorre quindi utilizzare le condizioni al contorno. All’interno di un mezzo continuo e omogeneo, invece, è possibile formulare le equazioni locali della magnetostatica.

La seconda equazione di Maxwell mantiene la stessa forma valida nel vuoto:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0\$

Essa esprime il fatto sperimentale che non esistono cariche magnetiche isolate e che le linee del campo di induzione magnetica sono sempre chiuse.

La legge di Ampère in forma differenziale, invece, deve tenere conto sia delle correnti impresse sia delle correnti di magnetizzazione. Indicando con ${\vec {J}}_{i}\$ la densità di corrente impressa, dovuta al moto macroscopico di cariche elettriche, e con ${\vec {J}}_{mv}\$ la densità volumica di corrente di magnetizzazione, si ha:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}_{i}+{\vec {J}}_{mv})\$

Poiché:

${\vec {J}}_{mv}={\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}\$

segue:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}_{i}+\mu _{0}{\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}\$

e quindi:

${\vec {\nabla }}\times \left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}\right)={\vec {J}}_{i}\$

Si introduce allora il vettore:

${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}\$

detto campo magnetico oppure campo magnetizzante.

La legge di Ampère assume così la forma:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}_{i}\$

Il vettore ${\vec {H}}\$ dipende esclusivamente dalle correnti impresse e non direttamente dalle correnti di magnetizzazione. Esso svolge quindi, nel magnetismo della materia, un ruolo analogo a quello del vettore spostamento elettrico ${\vec {D}}\$ nei dielettrici.

Nei materiali isotropi e lineari, cioè nei mezzi paramagnetici e diamagnetici per campi non troppo intensi, si osserva sperimentalmente una proporzionalità tra ${\vec {B}}\$ e ${\vec {H}}\$. Si introduce allora la permeabilità magnetica relativa $\mu _{r}\$, definita dalla relazione:

${\vec {B}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}\$

Nel caso di un solenoide ideale molto lungo, avente $n\$ spire per unità di lunghezza e percorso da corrente $I\$, il modulo del campo di induzione magnetica all’interno del materiale vale:

$|{\vec {B}}|=\mu _{0}\mu _{r}nI\$

Per la maggior parte delle sostanze la permeabilità relativa differisce molto poco da 1. I materiali per cui:

$\mu _{r}>1\$

sono detti paramagnetici, mentre quelli per cui:

$\mu _{r}<1\$

sono detti diamagnetici.

A differenza dei campi elettrici, che possono essere fortemente schermati dalla materia, i campi magnetici vengono generalmente modificati solo debolmente dai materiali ordinari.

Dalle definizioni precedenti si ricava inoltre la relazione tra magnetizzazione e campo magnetico:

${\vec {M}}=(\mu _{r}-1){\vec {H}}\$

Si definisce quindi la suscettività magnetica:

$\chi _{m}=\mu _{r}-1\$

così che:

${\vec {M}}=\chi _{m}{\vec {H}}\$

La suscettività magnetica misura la capacità del materiale di magnetizzarsi in presenza di un campo magnetico applicato.

Dalla legge di Ampère segue infine che il campo ${\vec {H}}\$ all’interno di un solenoide ideale molto lungo dipende soltanto dalla corrente libera circolante e dalla geometria del solenoide, indipendentemente dal materiale contenuto al suo interno:

$|{\vec {H}}|=nI\$

mentre il campo di induzione magnetica ${\vec {B}}\$ dipende anche dalle proprietà magnetiche del mezzo attraverso la permeabilità magnetica relativa $\mu _{r}\$.

Passaggio da un mezzo ad un altro

Quando il mezzo materiale non è continuo, i vettori ${\vec {B}}\$ e ${\vec {H}}\$ possono presentare discontinuità sulla superficie di separazione tra due materiali differenti. In tali condizioni le equazioni differenziali della magnetostatica non sono direttamente applicabili sull’interfaccia, mentre restano sempre valide le corrispondenti formulazioni integrali.

La prima equazione integrale della magnetostatica è:

$\int _{S\ chiusa}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=0\$

Essa esprime il fatto che il flusso totale del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo.

Per studiare il comportamento di ${\vec {B}}\$ all’interfaccia tra due mezzi, consideriamo una superficie gaussiana cilindrica infinitesima che attraversi la superficie di separazione. Le due basi del cilindro sono parallele all’interfaccia e appartengono rispettivamente ai due mezzi; l’altezza del cilindro è infinitesima rispetto alle dimensioni lineari delle basi.

Nel limite in cui il cilindro diventa infinitesimo, il contributo al flusso attraverso la superficie laterale può essere trascurato rispetto a quello attraverso le basi. Poiché il flusso totale deve essere nullo, segue che i flussi attraverso le due basi devono compensarsi:

$B_{n1}=B_{n2}\$

dove $B_{n1}\$ e $B_{n2}\$ rappresentano le componenti normali del campo di induzione magnetica nei due mezzi.

La componente normale di ${\vec {B}}\$ risulta quindi continua attraverso la superficie di separazione, in analogia con quanto avviene per il vettore spostamento elettrico ${\vec {D}}\$ nei dielettrici in assenza di cariche superficiali libere.

La seconda equazione integrale della magnetostatica riguarda invece il vettore campo magnetico ${\vec {H}}\$:

$\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=\sum I_{i}\$

dove $I_{i}\$ rappresentano esclusivamente le correnti impresse concatenate con il cammino chiuso $\ell \$.

Consideriamo ora un percorso rettangolare infinitesimo che attraversi la superficie di separazione tra i due mezzi. Due lati del rettangolo sono paralleli all’interfaccia, mentre gli altri due sono perpendicolari ad essa. Se non sono presenti correnti superficiali impresse sull’interfaccia, si ha:

$\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=0\$

Nel limite infinitesimo, i contributi dei lati perpendicolari alla superficie diventano trascurabili. Affinché l’integrale circuitale sia nullo, è necessario che le componenti tangenziali di ${\vec {H}}\$ nei due mezzi coincidano:

$H_{t1}=H_{t2}\$

Si conclude quindi che, in assenza di correnti superficiali impresse:

• la componente normale di ${\vec {B}}\$ è continua attraverso l’interfaccia;
• la componente tangenziale di ${\vec {H}}\$ è continua attraverso l’interfaccia.

Queste relazioni costituiscono le principali condizioni al contorno della magnetostatica in presenza di materia.

I materiali ferromagnetici

Materiali ferromagnetici cristallini e corrispondenti temperature di Curie in K

Materiale	temp. Curie (K)
Co	1388
Fe	1043
FeOFe2O3*	858
NiOFe2O3*	858
CuOFe2O3*	728
MgOFe2O3*	713
MnBi	630
Ni	627
MnSb	587
MnOFe2O3*	573
Y3Fe5O12*	560
CrO2	386
MnAs	318

Le sostanze ferromagnetiche presentano proprietà magnetiche profondamente differenti rispetto ai materiali diamagnetici e paramagnetici. Le definizioni dei vettori ${\vec {B}}\$, ${\vec {H}}\$ e ${\vec {M}}\$ restano valide anche in questi materiali, così come rimane valida la relazione:

${\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {H}}+{\vec {M}})\$

Tuttavia, nei materiali ferromagnetici il legame tra tali grandezze è molto più complesso. In generale i vettori ${\vec {B}}\$, ${\vec {H}}\$ e ${\vec {M}}\$ non sono semplicemente proporzionali e possono anche non risultare paralleli tra loro.

Le equazioni di Maxwell e le condizioni al contorno della magnetostatica mantengono comunque la loro validità formale. Nei ferromagneti la suscettività magnetica non è costante, ma dipende dal valore locale del campo magnetico e dalla storia precedente del materiale. Essa può assumere valori enormi, anche dell’ordine di:

$\chi _{m}\sim 10^{6}\$

per alcune leghe ferromagnetiche.

Sono materiali ferromagnetici il ferro, il cobalto, il nichel, numerosi metalli di transizione e molte loro leghe e composti intermetallici.

L’ordinamento ferromagnetico esiste soltanto al di sotto di una temperatura caratteristica detta temperatura di Curie. Al di sopra di tale temperatura l’agitazione termica distrugge l’allineamento spontaneo dei momenti magnetici microscopici e il materiale perde il comportamento ferromagnetico, assumendo generalmente proprietà paramagnetiche.

La temperatura di Curie dipende dal materiale e raramente supera qualche migliaio di kelvin, come mostrato nella tabella precedente.

I materiali ferromagnetici non presentano una relazione lineare tra magnetizzazione e campo magnetico applicato. Il loro comportamento è descritto dal cosiddetto ciclo di isteresi, che rappresenta una delle proprietà fondamentali del ferromagnetismo.

Curva di isteresi di un tipico materiale ferromagnetico.

Nel ciclo di isteresi si riporta generalmente sull’asse orizzontale il campo magnetizzante applicato ${\vec {H}}\$ e sull’asse verticale l’induzione magnetica ${\vec {B}}\$ oppure la magnetizzazione ${\vec {M}}\$.

Supponiamo di partire da un campione inizialmente smagnetizzato e a temperatura superiore alla temperatura di Curie. Raffreddando il materiale e applicando un campo magnetico esterno crescente, si osserva inizialmente una regione quasi lineare in cui:

${\vec {B}}\propto {\vec {H}}\$

Se il campo viene annullato in questa regione, il materiale ritorna praticamente nello stato iniziale.

Aumentando ulteriormente il campo, la magnetizzazione cresce rapidamente fino a raggiungere una situazione di quasi completo allineamento dei dipoli magnetici microscopici. Si parla allora di saturazione magnetica. In questa regione la curva tende a diventare quasi orizzontale.

Quando il campo applicato viene riportato a zero, il materiale conserva una magnetizzazione residua. Il valore corrispondente dell’induzione magnetica prende il nome di induzione residua:

$B_{r}\$

Per annullare tale magnetizzazione residua è necessario applicare un campo magnetico opposto, detto campo coercitivo:

$H_{c}\$

Se il campo inverso continua ad aumentare, il materiale raggiunge una nuova saturazione con verso opposto, completando così il ciclo di isteresi.

Possibili cicli di isteresi di materiali ferromagnetici.

La presenza dell’isteresi mostra che la magnetizzazione non dipende soltanto dal valore istantaneo del campo applicato, ma anche dalla storia magnetica del materiale.

Questo comportamento è analogo, dal punto di vista qualitativo, ai fenomeni di isteresi meccanica osservati nella deformazione plastica dei materiali.

I materiali ferromagnetici hanno un’enorme importanza tecnologica.

I magneti permanenti sono costituiti da materiali con un ciclo di isteresi molto ampio: una volta magnetizzati, risultano difficili da smagnetizzare mediante campi esterni.

Le memorie magnetiche, come gli hard disk, sfruttano invece l’inversione locale della magnetizzazione per immagazzinare informazioni. In questi dispositivi il ciclo di isteresi deve essere sufficientemente ampio da garantire stabilità ai dati, ma non troppo grande, in modo da permettere la scrittura delle informazioni mediante campi magnetici relativamente modesti.

Esistono infine i cosiddetti materiali ferromagnetici dolci, caratterizzati da un ciclo di isteresi molto stretto. In essi piccole variazioni del campo magnetizzante producono grandi variazioni dell’induzione magnetica. Tali materiali vengono utilizzati negli elettromagneti, nei nuclei dei trasformatori e in numerosi dispositivi elettrici ed elettronici.

I circuiti magnetici

Visualizzazione delle linee del campo di ${\vec {H}}\$ e ${\vec {B}}\$ di una sbarretta magnetizzata con ${\vec {M}}\$ uniforme nel suo interno.

Nei magneti permanenti la magnetizzazione esiste indipendentemente dal campo magnetico ${\vec {H}}\$ esterno. Cioè una volta magnetizzato in qualche maniera rimane una Magnetizzazione residua. L'esempio in figura chiarisce quanto sia complicato il comportamento di un semplice magnete cioè una barretta di materiale ferromagnetico magnetizzato in maniera permanente.

Immaginiamo di avere un magnete permanente con forma di sbarretta e in figura è mostrata la sezione. La magnetizzazione supposta uniforme è disegnata in blu. Le linee del campo di ${\vec {B}}\$ (in rosso) sono continue, formano spire chiuse che circondano il magnete e sono simili a quelle prodotte da un solenoide equivalente disegnato sul bordo. Mentre le linee del campo di ${\vec {H}}\$ (in verde) hanno il comportamento simile al campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico (agli estremi del magnete) si invertono di direzione passando per le basi del magnete e sono discontinue. Notiamo che mentre i campi ${\vec {H}}\$ e ${\vec {B}}\$ sono paralleli nel vuoto, all'interno del magnete sono antiparalleli, infatti deve essere verificata da una parte la condizione che non essendoci correnti impresse:

$\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=0\$

Per questa ragione la direzione di ${\vec {H}}\$ cambia andando da fuori a dentro il magnete dalle basi. In ogni caso il campo ${\vec {B}}\$ ha un comportamento molto simile a quello di un solenoide di stessa lunghezza e stesso momento di dipolo.

Sulle basi vale la condizione di continuità:

$B_{n,ferromagnete}=B_{n,vuoto}\$

Anello ferromagnetico.

In realtà è più facile studiare un più semplice circuito magnetico come quello rappresentato in figura: un toro o se si vuole un anello pieno di materiale ferromagnetico su cui sono avvolte N spire e in cui scorre una corrente $I\$ costante. Chiamiamo $\ell \$ la lunghezza media del perimetro del toro ed $S\$ la sua sezione. La prima osservazione che in questo caso le direzioni di ${\vec {H}}\$ e ${\vec {B}}\$ sono dovunque le stesse e entrambi i campi sono confinati all'interno del ferromagnete. Possiamo considerare una linea chiusa all'interno dell'anello (rappresentata dalle linee rosse in figura) facendo la circuitazione del campo magnetico su tale si ha che:

$\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=NI\$

ma anche per una qualsiasi superficie chiusa che tagli l'anello:

$\int _{Schiusa}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=0\$

Poiché il flusso sulla superficie esterna di tale superficie è nullo, si ha che il flusso magnetico è eguale in tutte le sezioni dell'anello. Il comportamento del flusso magnetico è analogo al comportamento della corrente elettrica nei rami dei circuiti. Infatti se l'anello non fosse a sezione costante, mentre il campo sarebbe più intenso nelle strozzature, il flusso di B conserverebbe lo stesso valore. Quindi possiamo esplicitare la circuitazione di ${\vec {H}}\$:

$NI=\oint _{\ell }{\vec {H}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=\oint _{\ell }{\frac {\vec {B}}{\mu _{o}\mu _{r}}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=\Phi \oint _{\ell }{\frac {d\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}=\$

La $\mu _{r}\$ rappresenta la costante di proporzionalità tra i due vettori ${\vec {H}}\$ e ${\vec {B}}\$, non è in genere una costante in quanto dipende a causa della istericità della relazione tra ${\vec {H}}\$ e ${\vec {B}}\$ anche dalla storia del materiale: ma in ogni caso all'interno ${\vec {H}}\$ e ${\vec {B}}\$ sono paralleli e quindi i vettori sono proporzionali. In ogni caso per i materiali ferromagnetici $\mu _{r}\$ è molto maggiore dell'unità. In questo caso specifico:

$NI=\Phi {\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}\$

La costante di proporzionalità tra flusso e NI è detta riluttanza, molto simile alla resistenza elettrica:

$\mathbb {R} ={\frac {\ell }{\mu _{o}\mu _{r}S}}\$

Notiamo che se la sezione non fosse costante avremmo sempre una relazione di proporzionalità tra flusso e NI ma le riluttanza sarebbe:

$\mathbb {R} =\oint _{\ell }{\frac {d\ell }{\mu _{o}\mu _{r}(l)S(l)}}\$

Tale legge che afferma la proporzionalità tra flusso e NI è simile alla legge di Ohm generalizzata e viene detta legge di Hopkinson. In tale legge $NI\$ è l'equivalente ad un generatore di f.e.m., mentre $\Phi \$ è l'equivalente della corrente nella legge di Ohm generalizzata.

Elettromagnete con un traferro e circuito elettrico equivalente.

La riluttanza ha le stesse proprietà della resistenza per cui riluttanze in serie si ha che la riluttanza equivalente vale:

$\mathbb {R} _{S}=\sum \mathbb {R} _{i}\$

Mentre per quelle in parallelo:

${\frac {1}{\mathbb {R} _{p}}}={\frac {1}{\sum \mathbb {R} _{i}}}\$

Anche l'aria se limitata allo spazio di un traferro (G), piccola interruzione in aria del circuito magnetico, come mostrato nella figura accanto ha la sua riluttanza (molto elevata) ma pari a:

$\mathbb {R} _{G}={\frac {d}{\mu _{o}S}}\$

Quindi aprire uno piccolo taglio in un circuito magnetico corrisponde ad aumentare di molto la riluttanza, riducendo grandemente il campo magnetico prodotto. Nella figura accanto è mostrato anche il circuito equivalente elettrico del circuito magnetico. Essendoci due traferri ciascuno è indicato con il suo $\mathbb {R} _{G}\$, mentre la riluttanza totale del circuito ferromagnetico vale $\mathbb {R} _{c}\$, mentre è stato indicato con $F\$ il generatore di f.e.m. equivalente: NI.

La riluttanza ha le dimensioni di un inverso di una induttanza (che viene introdotta in seguito) e infatti si misura in $H^{-1}\$. Ma se conosciamo la riluttanza di un circuito magnetico in cui sono avvolte N spire il legame tra induttanza e riluttanza è:

$L={\frac {N^{2}}{\mathbb {R} _{G}}}\$

Diamagnetismo

Si chiama diamagnetismo la proprietà di alcune sostanze di essere respinte dal campo magnetico. Il fatto che vengono respinte dipende dal fatto che la magnetizzazione ${\vec {M}}\$ che si crea all'interno del materiale si oppone al vettore campo magnetico ${\vec {H}}\$ applicato dall'esterno. In ogni caso suscettività, $\chi \$ è molto piccola, il massimo valore si ha nel Bismuto in cui $\chi _{Bi}=-0.00017\$.

Alcune sostanze diamagnetiche

Sostanza	Suscettività $\chi \$
Idrogeno	$-2.3\cdot 10^{-9}\$
Acqua	$-9.1\cdot 10^{-6}\$
Rame	$-9.7\cdot 10^{-6}\$
Piombo	$-1.6\cdot 10^{-5}\$
Mercurio	$-2.1\cdot 10^{-5}\$
Bismuto	$-1.7\cdot 10^{-4}\$

Moto di precessione di un elettrone. La freccia più grande indica il campo magnetico esterno, mentre il la freccia piccola è la normale al piano.

Una spiegazione classica, è che l'applicazione del campo ${\vec {B}}\$ fa sì che sugli elettroni del materiale, che si muovono da un punto di vista classico in orbite circolari intorno al nucleo, agisca un momento della forza che determina una precessione del piano (freccia piccola della figura) del loro moto di rotazione intorno alla direzione del campo (freccia grande della figura). Un elettrone in moto nella sua orbita equivale ad una corrente media di valore:

$I={\frac {e\omega _{o}}{2\pi }}\$

in verso contrario al moto (l'elettrone ha una carica negativa), avendo indicato con $\omega _{o}\$ la velocità angolare. Il momento di dipolo magnetico di questa spira di corrente è:

${\vec {m}}=-{\frac {e}{2\pi }}\pi r^{2}\omega _{o}{\hat {n}}=-{\frac {er^{2}}{2}}\omega _{o}{\hat {n}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {L}}\$

Dove ${\vec {L}}\$ è il momento angolare dell'elettrone. Il momento della forza che agisce su un momento di dipolo magnetico (si usa il simbolo ${\vec {\tau }}\$ per il momento della forza per evitare confusione) vale:

${\vec {\tau }}={\vec {m}}\times {\vec {B}}\$

Quindi applicando la seconda equazione cardinale della meccanica:

${\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {m}}\times {\vec {B}}={\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {B}}\times {\vec {L}}\$

Questa equazione descrive quello che si chiama un moto di precessione, che formalmente non differisce molto da quanto descritto dsl moto di un vettore in notazione vettoriale:

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Questa equazione descrive in effetti la rotazione di ${\vec {L}}\$ attorno a ${\vec {B}}\$ alla frequenza di Larmor:

$\omega _{L}={\frac {e}{2m_{e}}}|{\vec {B}}|\$

Per valori del campo possibili da raggiungere sulla terra si ha che $\omega _{L}\ll \omega _{o}\$. Il fenomeno della precessione è del tutto generale e quindi tutte le sostanze in qualche misura sono diamagnetiche. Normalmente gli atomi hanno orientamento casuale e quindi il loro momento magnetico è nullo. Se però si applica un campo esterno tutti gli elettroni orbitanti, indipendentemente dal loro momento magnetico, compiono lo stesso moto di precessione da cui deriva la magnetizzazione che riduce il campo all'interno del materiale. Il fenomeno non dipende dalla temperatura. Non esiste un equivalente elettrostatico al diamagnetismo. Per spiegare in maniera rigorosa il fenomeno bisogna fare ricorso alla meccanica quantistica.

Paramagnetismo

Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in maniera casuale.

Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in debole campo magnetico.

Alcune sostanze paramagnetiche

Sostanza	Suscettività $\chi \$
Ossigeno liquido	$3.46\cdot 10^{-3}\$
Palladio	$8\cdot 10^{-4}\$
Rame	$2.1\cdot 10^{-5}\$
Aria	$4\cdot 10^{-7}\$

Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in forte campo magnetico.

Il paramagnetismo è l'equivalente magnetostatico della polarizzazione per orientamento.

Poiché la differenza di energia tra un dipolo magnetico allineato o in direzione opposta ad un campo magnetico è pari a:

$\Delta E=2|{\vec {m}}||{\vec {B}}|\$

Tale energia anche se $|{\vec {m}}|\$ ha un valore, relativamente grande (molti magnetoni di Bohr), e $|{\vec {B}}|\$ è molto intenso (qualche Tesla) è di gran lunga inferiore alla energia dovuta alla agitazione termica $k_{B}T\$ (a temperatura ambiente). Via via che diminuisce la temperatura cresce il potere allineante dei campi esterni ed a temperature molto basse si può avere che un numero significativo di dipoli è orientato nella direzione del campo, quasi indipendentemente dalla sua intensità, si raggiunge cioè una specie di saturazione. Tale saturazione non si trova nelle sostanze dielettriche che anche se hanno un momento di dipolo elettrico intrinseco elevato, la differenza di energia tra un dipolo elettrico allineato o in direzione opposta ad un campo elettrico vale $\Delta E=2|{\vec {p}}||{\vec {E}}|\$ ed in genere molto inferiore a quella dei dipoli magnetici a temperatura ambiente, per cui i materiali dielettrici non presentano a bassa temperatura il fenomeno della saturazione.

In genere la suscettività magnetica è dell'ordine di 10⁻³ a 10⁻⁵ per la maggior parte delle sostanze paramagnetiche come appare dalla tabella, ma può essere anche 10⁻¹ per sostanze paramagnetiche sintetiche come i ferrofluidi.

Molti atomi hanno un numero dispari di elettroni e importanti asimmetrie nella struttura elettronica. Poiché ad un orbitale da un punto di vista classico corrisponde una corrente circolante e quindi un momento magnetico. Se un atomo ha un numero dispari di elettroni ha un momento magnetico orbitale. La cosa è più complicata in quanto oltre al momento orbitale, vi è momento magnetico intrinseco associato all'elettrone stesso dovuto alla quantizzazione del momento angolare (spin). Il momento magnetico degli atomi dovuto al momento angolare orbitale o allo spin degli elettroni sono trattati nella meccanica quantistica: ma vale la pena di accennare che il loro ordine di grandezza è dell'ordine del cosiddetto magnetone di Bohr

$\mu _{B}={\frac {eh}{4\pi m_{e}}}\approx 9.27\cdot 10^{-24}\ J/T\$

che è definito a partire da grandezze fondamentali (massa e carica dell'elettrone, costante di Planck). Il magnetone di Bohr dà l'ordine di grandezza dei momenti magnetici orbitali o intrinseci degli elettroni.

Quindi gli atomi, che non hanno mai un dipolo elettrico, possono avere un dipolo magnetico $n_{B}\mu _{B}\$, introducendo una grandezza adimensionale $n_{B}\$ che rappresenta il numero di magnetoni di Bohr dell'atomo considerato; un numero che si discosta di poco dall'unità, infatti $n_{B}\$ al massimo vale 10.5 per un metallo delle terre rare il Disprosio. Se non vi è nessun campo magnetico i singoli dipoli sono orientati casualmente e il momento totale del sistema macroscopico è nullo. Se è presente un campo magnetico esterno, i momenti di dipolo magnetico si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero come mostrato nella figura. Se l'intensità del campo magnetico è bassa la differenza di energia tra un dipolo orientato nella direzione del campo magnetico o nella direzione opposta $DU=2n_{B}\mu _{B}|B|\$ è molto più bassa alla energia media termica $k_{B}T\$. Il momento di dipolo medio dipende dall'intensità del campo, ma solo una piccola percentuale si orienta nella direzione del campo (come mostrato nella seconda figura). Ma aumentando il campo sempre più dipoli si allineeranno con il campo, ma il numero disposti casualmente continua a rimanere molto elevato. Il calcolo analitico va fatto considerando la distribuzione di Boltzmann, ed è un tipico calcolo di meccanica statistica con tale calcolo si dimostra che:

$\langle {\vec {m}}\rangle =n_{B}^{2}{\frac {\mu _{B}^{2}{\vec {B}}}{3k_{B}T}}\$

dove $k_{B}\$ è la costante di Boltzmann, $T\$ è la temperatura assoluta.

Ma mentre un dipolo elettrico orientandosi nel campo elettrico ne riduce l'intensità, un dipolo magnetico, non essendo costituito da due monopoli magnetici, aumenta l'intensità del campo magnetico per questo la suscettività magnetica dei materiali paramagnetici è maggiore di 1.

Poiché la magnetizzazione è proporzionale alla densità del materiale e al momento di dipolo magnetico medio dei singolo atomi segue che la suscettività magnetica della sostanze paramagnetiche è una funzione della temperatura:

$\chi ={\frac {C}{T}}\$

Questa legge viene detta di Curie. La costante $C=nn_{B}^{2}\mu _{B}^{2}/(3k_{B})\$ è detta costante di Curie, ( $n\$ è il numero di atomi paramagnetici per unità di volume).

Ma al contrario della polarizzabilità, la magnetizzazione di sostanze paramagnetiche può manifestare fenomeni di saturazione quando, come succede a bassa temperatura, $n_{B}\mu _{B}|B|\$ (energia necessaria ad allineare i dipoli magnetici) diventa dello stesso ordine di grandezza di $k_{B}T\$ (l'energia media termica). Cioè avviene un fenomeno simile a quanto mostrato nell'ultima figura. La Magnetizzazione raggiunge un valore di saturazione non è più linearmente dipendente dal campo magnetico. Questo effetto viene utilizzato per raggiungere temperature molto basse con criostati a demagnetizzazione adiabatica.

I superconduttori

I superconduttori, sono dei solidi che in genere funzionano a temperature molto basse, oltre ad avere una resistenza elettrica nulla, godono della proprietà di essere dei diamagneti perfetti cioè ${\vec {B}}=0\$ al loro interno (i superconduttori sono per il campo magnetico l'analogo dei conduttori per il campo elettrico): con essi si realizzano degli schermi magnetici perfetti (con una forte analogia con le gabbie di Faraday per quanto riguarda i campi elettrici). La spiegazione del loro comportamento è troppo complicata per descriverli in un corso di fisica classica.

Riepilogo proprietà elettriche e magnetiche

Riepilogo corrispondenze (differenze e analogie) elettrostatica e magnetostatica

Elettrostatica	Magnetostatica
Campo elettrico ${\vec {E}}\$	Induzione magnetica ${\vec {B}}\$
costante dielettrica del vuoto $\varepsilon _{o}\$	permeabilità del vuoto $\mu _{o}\$
Dipolo elettrico ${\vec {p}}\$	Dipolo magnetico ${\vec {m}}\$
Densità di carica volumetrica $\rho \$	Densità di corrente ${\vec {J}}\$
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{o}{\vec {J}}\$
${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0\$	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0\$
Densità di carica superficiale $\sigma \$	Densità di corrente per unità di lunghezza ${\vec {J}}_{l}\$
Campo elettrico in un condensatore a facce piane e parallele ${\vec {E}}={\frac {\sigma }{\varepsilon _{o}}}{\hat {n}}\$	Campo di induzione magnetica in un solenoide ideale ${\vec {B}}=\mu _{o}{\hat {r}}\times {\vec {J}}_{l}\$
costante dielettrica relativa: $\varepsilon _{r}\$	permeabilità relativa: $\mu _{r}\$
Polarizzazione: ${\vec {P}}\$	Magnetizzazione: ${\vec {M}}\$
Densità volumetrica di polarizzazione: $\rho _{pol}=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}\$,	Densità di corrente di magnetizzazione: ${\vec {J}}_{mv}={\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}$
Spostamento elettrico ${\vec {D}}\$; ${\vec {D}}=\varepsilon _{o}{\vec {E}}+{\vec {P}}\$	Campo magnetico: ${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{o}}}-{\vec {M}}\$
Suscettività elettrica $\chi =\varepsilon _{r}-1\$, ${\vec {P}}=\varepsilon _{o}\chi {\vec {E}}\$	Suscettività magnetica $\chi =\mu _{r}-1\$, ${\vec {M}}=\chi {\vec {H}}\$
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{lib}\$	${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}_{i}\$
Densità superficiale di polarizzazione $\sigma _{pol}\$	Densità lineare di corrente di magnetizzazione ${\vec {J}}_{ml}\$
passaggio tra due dielettrici $E_{t1}=E_{t2}\$, $D_{n1}=D_{n2}\$	passaggio tra due materiali magnetici $H_{t1}=H_{t2}\$, $B_{n1}=B_{n2}\$
Resistenza $R=\int _{L}{\frac {\rho (\ell )d\ell }{S(\ell )}}\$	Riluttanza $\mathbb {R} =\int _{L}{\frac {d\ell }{\mu _{o}\mu _{r}(\ell )S(\ell )}}\$
Legge di Ohm generalizzata $f.e.m=IR\$	Legge di Hopkins $NI=\Phi \mathbb {R} \$

Bibliografia

• Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.

Argomento seguente: Induzione e legge di Faraday