Fisica classica/Legge di Ampère

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Seconda equazione di Maxwell

L'assenza di Monopolo magnetico comporta che le linee del vettore induzione magnetica siano sempre linee chiuse. Di conseguenza, attraverso una qualsiasi superficie chiusa, il numero delle linee di campo entranti è eguale al numero delle linee uscenti. Il flusso totale del campo magnetico attraverso una superficie chiusa risulta quindi nullo. Q

Consideriamo una superficie chiusa S che delimita un volume T. Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso tale superficie è dato da:

$\Phi ({\vec {B}})=\oint _{S}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dS}}$

Poiché le linee del campo magnetico sono chiuse, si ha:

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=0$

Questa relazione costituisce la forma integrale della seconda equazione di Maxwell.

Applicando il teorema della divergenza è possibile trasformare l'integrale esteso alla superficie chiusa in un integrale esteso al volume racchiuso:

$\oint _{S}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dS}}=\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\ d\tau$

e quindi:

$\int _{T}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\ d\tau =0$

Poiché la scelta del volume T è completamente arbitraria, affinché tale relazione sia verificata per qualunque volume è necessario che l'integrando sia identicamente nullo in ogni punto dello spazio. Si ottiene quindi la forma differenziale della seconda equazione di Maxwell:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

Questa equazione esprime matematicamente il fatto che il campo magnetico non possiede sorgenti né pozzi: non esistono cariche magnetiche isolate dalle quali le linee di campo possano avere origine o termine.

È possibile ottenere lo stesso risultato anche sviluppando analiticamente la divergenza del campo magnetico generato da una distribuzione generica di corrente. Infatti, partendo dalla legge di Biot-Savart-Laplace:

${\vec {B}}={\frac {\mu _{\circ }}{4\pi }}I\oint _{L}{\frac {{\overrightarrow {ds}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}$

si può calcolare:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{\circ }}{4\pi }}I{\vec {\nabla }}\cdot \oint _{L}{\frac {{\overrightarrow {ds}}\times {\vec {r}}}{r^{3}}}$

Dopo opportuni passaggi matematici si trova che tale quantità è identicamente nulla, in accordo con la seconda equazione di Maxwell. Una dimostrazione dettagliata può essere trovata, ad esempio, nel testo di Mencuccini e Silvestrini.

Teorema di Ampère in forma integrale

Nel caso dell’elettrostatica la legge di Gauss ha permesso di collegare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa alla carica elettrica contenuta al suo interno. Tale legge risulta particolarmente utile sia dal punto di vista concettuale sia per il calcolo dei campi elettrici in situazioni dotate di elevata simmetria.

In magnetostatica esiste una relazione analoga, nota come teorema della circuitazione o legge di Ampère, che collega la circuitazione del campo magnetico alle correnti elettriche concatenate con una linea chiusa.

Consideriamo quindi un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente $I$. Sia $\ell$ una linea chiusa qualsiasi concatenata con il filo. Supponiamo inoltre che la corrente sia uscente dal piano del foglio.

Il campo magnetico generato dal filo ha linee di forza circolari concentriche attorno al filo stesso, con verso determinato dalla regola della mano destra. La sua intensità vale:

$B={\frac {\mu _{o}I}{2\pi r}}$

dove $r$ rappresenta la distanza dal filo.

Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I

Calcoliamo ora la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa $\ell$, come in figura:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}$

Poiché il vettore ${\vec {B}}$ è tangente alle circonferenze centrate sul filo, si può scrivere:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }{\frac {{\hat {t}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}}{r}}$

dove ${\hat {t}}$ rappresenta il versore tangente alle linee di campo magnetico.

Il prodotto scalare:

${\hat {t}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}$

rappresenta l’elemento infinitesimo di arco della circonferenza centrata sul filo. Pertanto:

${\frac {{\hat {t}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}}{r}}=d\theta$

dove $d\theta$ è l’angolo infinitesimo sotteso dall’elemento di percorso. Si ottiene quindi:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }d\theta$

Se la linea chiusa circonda una sola volta il filo percorso da corrente, l’angolo totale descritto vale $2\pi$; pertanto:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=\mu _{o}I$

Questa relazione mostra che la circuitazione del campo magnetico dipende unicamente dalla corrente concatenata con il circuito di integrazione, e non dalla forma della linea scelta.

Cammino di integrazione all'esterno di un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I

Se invece la linea chiusa non è concatenata con il filo,come nella figura a fianco, gli angoli percorsi lungo il cammino si compensano algebricamente. Si ha che l'integrale di linea lungo $l_{1}\$ è eguale ad un angolo eguale ed opposto a quello lungo $l_{2}\$. Cioè algebricamnete si ha :

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}=\int _{\ell _{1}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}+\int _{\ell _{2}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\left(\int _{\ell _{1}}d\theta +\int _{\ell _{2}}d\theta \right)=0\$

In termini più generali si può scrivere che:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }d\theta =N\mu _{o}I\$

Cammino di integrazione che si concatena 2 volte attorno ad un filo percorso da corrente

Dove $N\$ rappresenta il numero di volte per cui la linea $\ell \$ si concatena col filo percorso da corrente. Se la corrente non è concatenata ($N=0\$) la circuitazione di ${\overrightarrow {B}}\$ è nulla; se la linea è concatenata una volta solo allora si ha la prima equazione vista. Se la linea è concatenata come nell'esempio a fianco due volte $N=2\$ e così via. Osserviamo che la circuitazione non dipenda dalla forma della linea $\ell \$ scelta. Ma solo dal grado di concatenazione con il filo scelto; in particolare si ottiene lo stesso risultato anche integrando su una linea chiusa che giri intorno al filo molto vicino al filo stesso. Poiché razionalmente quando andiamo molto vicino al filo il campo ${\overrightarrow {B}}\$ prodotto dipende principalmente da una porzione molto piccola del filo e che localmente può essere rappresentata come rettilinea, ci aspettiamo, che la relazione valga in un caso generale, qualunque sia la forma del filo percorso da corrente $I\$. Se inoltre il campo ${\overrightarrow {B}}\$ viene generato da più circuiti tenendo conto della proprietà di additività del campo di induzione magnetica si ha che:

$\oint _{\ell }{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {d\ell }}={\frac {\mu _{o}I}{2\pi }}\oint _{\ell }d\theta =\mu _{o}\sum I_{i}\$

Dove $\sum I_{i}\$ è la somma delle varie correnti $I_{i}\$ ciascuna concatenata in maniera diversa con il circuito $i\$. Nella sommatoria le correnti vanno prese col segno positivo o negativo a seconda del loro verso.

La legge di Ampère rappresenta, per la magnetostatica, l’analogo della legge di Gauss dell’elettrostatica e costituisce una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico.

La legge di Ampère in forma differenziale

Consideriamo una linea chiusa l che delimita una superficie orientata S. Sia ${\vec {J}}$ la densità di corrente elettrica presente nella regione considerata. La corrente totale che attraversa la superficie vale:

$I=\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\overrightarrow {dS}}$

Dalla legge di Ampère in forma integrale si ha:

$\oint _{l}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dl}}=\mu _{o}\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\overrightarrow {dS}}$

Applicando al primo membro il Teorema di Stokes, la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa può essere trasformata in un integrale esteso alla superficie delimitata dalla linea stessa:

$\oint _{l}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {dl}}=\int _{S}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})\cdot {\overrightarrow {dS}}$

Si ottiene quindi:

$\int _{S}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})\cdot {\overrightarrow {dS}}=\mu _{o}\int _{S}{\vec {J}}\cdot {\overrightarrow {dS}}$

Poiché tale relazione deve valere qualunque sia la superficie di integrazione scelta, segue che gli integrandi devono coincidere punto per punto. Si ottiene pertanto:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{o}{\vec {J}}$

Questa relazione costituisce la forma differenziale della legge di Ampère.

Dal punto di vista fisico essa mostra che le correnti elettriche costituiscono la sorgente del rotore del campo magnetico. In altre parole, il campo magnetico tende a circolare attorno alle correnti elettriche che lo generano.

L’equazione precedente rappresenta una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico ed è nota come quarta equazione di James Clerk Maxwell nella sua forma magnetostatica.

È importante osservare che tale relazione vale rigorosamente soltanto nel caso di campi elettrici costanti nel tempo. Quando i campi elettrici variano temporalmente, l’equazione deve essere modificata introducendo il termine di corrente di spostamento introdotto da Maxwell. In tal caso la forma completa diventa:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{o}{\vec {J}}+\mu _{o}\epsilon _{o}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

dove il termine:

$\mu _{o}\epsilon _{o}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

rappresenta la corrente di spostamento. Tale contributo permette di descrivere correttamente i fenomeni elettromagnetici variabili nel tempo e conduce alla formulazione completa delle equazioni di Maxwell.

Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère

Campo di un filo di raggio non trascurabile

Un cilindro di raggio $R_{1}\$ percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r

Consideriamo un filo rettilineo di raggio $R_{1}\$ percorso da una corrente $I\$ come in figura.

A distanza $r>R_{1}\$ abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a:

$|B|={\frac {\mu _{\circ }I}{2\pi r}}\qquad r>R_{1}\$

Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio $r<R_{1}\$, la densità di corrente elettrica vale:

$|J|={\frac {I}{\pi R_{1}^{2}}}\$

Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che:

$|B|2\pi r=\mu _{o}|J|\pi r^{2}=\mu _{o}{\frac {I}{\pi R_{1}^{2}}}\pi r^{2}\qquad r<R_{1}\$

$|B|=\mu _{o}{\frac {Ir}{2\pi R_{1}^{2}}}\qquad r<R_{1}\$

Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al centro del filo.

Campo di un cavo coassiale

Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I

Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente $I\$ nel filo centrale di raggio $R_{1}\$ e da una corrente $-I\$ nel conduttore esterno di raggio $R_{2}\$ e spessore trascurabile.

Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente:

$|B|=\mu _{o}{\frac {Ir}{2\pi R_{1}^{2}}}\qquad r<R_{1}\$

A distanza $r>R_{1}\$ abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a:

$|B|={\frac {\mu _{\circ }I}{2\pi r}}\qquad R_{1}<r<R_{2}\$

ed infine:

$|B|=0\qquad r\geq R_{2}\$

In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di raggio $r>R_{2}\$ è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico, delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente il campo.

Campo di un solenoide ideale

Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale

Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio $R\$, dal numero di spire per unità di lunghezza $n\$. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile.

Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di ${\vec {B}}\$ attraverso tale cammino. Essendo ${\vec {B}}\$ normale ai lati $2\$ e $4\$ il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi:

$\oint _{l}{\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=|B|l_{1}\$

ma la corrente all'interno di tale circuito vale:

$nl_{1}I\$

Quindi:

$|B|=\mu _{o}nI\$

Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo di molte spire circolari. Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele dell'elettrostatica, in quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme.

Potenziale vettore

In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore ${\vec {A}}\$ come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico:

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria $f({\vec {r}})$, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:

${\vec {\nabla }}\times \left[{\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f\right]={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

In quanto per l'identità di Schwarz si ha che:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}f={\vec {i}}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial y}})+{\vec {j}}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}})+{\vec {k}}({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}})\equiv 0$

Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}{\vec {\nabla }}f={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+\nabla ^{2}f$

ed è possibile scegliere un'opportuna funzione $f$ in modo tale che:

$\nabla ^{2}f=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}$

Questa operazione che elimina gradi di libertà arbitrari viene chiamata trasformazione di gauge.

Fatta questa scelta la divergenza di ${\vec {A}}$ è nulla:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}+{\vec {\nabla }}f)=0$

La legge di Legge di Ampère in forma differenziale diventa:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=\mu _{o}{\vec {J}}\$

Ma sviluppando l'espressione di sinistra:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}=\mu _{o}{\vec {J}}\$

Per la trasformazione di gauge usata il primo termine è identicamente nullo e quindi la legge di Ampère diventa:

$\nabla ^{2}{\vec {A}}=-\mu _{o}{\vec {J}}\$

Nota  che l'espressione esplicita di $\nabla ^{2}{\vec {A}}\$ in coordinate cartesiane è:

$(\nabla ^{2}{\vec {A}})_{x}={\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial ^{2}y}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial ^{2}z}}$
$(\nabla ^{2}{\vec {A}})_{y}={\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial ^{2}y}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial ^{2}z}}$
$(\nabla ^{2}{\vec {A}})_{z}={\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial ^{2}y}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial ^{2}z}}$

Le tre componenti di ${\vec {A}}\$ rispettano l'equazione di Poisson

${\begin{cases}\nabla ^{2}A_{x}=-\mu _{0}J_{x}\\\nabla ^{2}A_{y}=-\mu _{0}J_{y}\\\nabla ^{2}A_{z}=-\mu _{0}J_{z}\end{cases}}$

La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V'}{\frac {{\vec {J}}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}dV'$

Avendo indicato con ${\vec {r}}\$ la posizione dello spazio dove si ha il potenziale vettore, e con ${\vec {r'}}\$ la posizione del generico elemento di volume percorso dalla densità di corrente ${\vec {J}}\$.

Se ho un conduttore filiforme $L'\$ il cui elemento infinitesimo ${\overrightarrow {dl'}}\$ è percorso una corrente I, si ha che:

${\vec {J}}dV'=IS{\overrightarrow {dl'}}$

Quindi l'integrale di volume si trasforma in un integrale di linea:

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\oint _{L'}{\frac {\overrightarrow {dl'}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}$.

Note

Argomento seguente: Magnetismo della Materia