Fisica classica/Proprietà generali delle onde

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Onde

Fin dagli inizi della civiltà si è osservato che nei mezzi continui possono propagarsi disturbi che variano sia nello spazio sia nel tempo: tali disturbi prendono il nome di onde. Le onde del mare costituiscono l’esempio più immediato e familiare. Un primo tentativo scientifico di interpretare fenomeni ondulatori è dovuto a Leonardo da Vinci, che studiò le onde prodotte dal vento sulle spighe di un campo di grano.

Perché un’onda possa propagarsi è in genere necessario un mezzo continuo e una forza di richiamo elastica: una deformazione locale mette in gioco una forza che tende a riportare il sistema nella configurazione di equilibrio e, nel farlo, trasmette la perturbazione alle regioni vicine del mezzo.

Una caratteristica fondamentale delle onde è che non trasportano materia, ma trasportano energia, quantità di moto e, in alcuni casi, anche momento angolare. La forza distruttiva delle onde del mare sulle barriere protettive è dovuta proprio al trasporto di quantità di moto, o, se si preferisce, alla pressione esercitata dall’onda.

Equazione delle onde

L’equazione differenziale che descrive la propagazione ondosa ha carattere universale ed è nota come equazione delle onde. Si tratta di una equazione alle derivate parziali che, nel caso unidimensionale, assume la forma:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Qui $u$ rappresenta l’allontanamento dalla posizione di equilibrio: può essere una grandezza scalare, vettoriale o persino tensoriale. Esempi tipici sono:

• per le onde del mare: la quota della superficie dell’acqua;
• per le onde nel grano: l’angolo di inclinazione della spiga;
• per il suono nei fluidi: la pressione locale (o la densità).

La velocità $v$ dipende dalle proprietà del mezzo: cresce al crescere della rigidezza elastica e diminuisce all’aumentare della densità. Questa relazione qualitativa è comune a tutti i fenomeni ondulatori meccanici.

Soluzione generale in una dimensione

Una onda progressiva periodica: Lunghezza λ, può essere misurata dalla distanza tra due punti in cui l'onda rimane eguale a se stessa. La forma sarebbe la stessa se l'asse orizzontale fosse il tempo in questo caso la distanza tra due punti in cui l'onda rimane eguale a se stessa sarebbe il periodo.

La soluzione generale dell’equazione delle onde in una dimensione fu ottenuta da d’Alembert:

$u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

dove $f$ e $g$ sono funzioni arbitrarie che rappresentano, rispettivamente, un onda che si muove in avanti (progressiva, la prima) e a quella che si muove all'indietro (regressiva, la seconda).

Estensione a tre dimensioni

In tre dimensioni l’equazione delle onde diventa:

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}$

La soluzione generale può essere espressa come:

$u({\vec {r}},t)=f({\vec {r}}-{\vec {v}}t)+g({\vec {r}}+{\vec {v}}t)$

dove $f$ e $g$ descrivono perturbazioni che si propagano rispettivamente nella direzione di ${\vec {v}}$ e in quella opposta.

Forme d'onda

forma d'onda sinusoidale, quadra, triangolare e a dente di sega.

La forma della funzione $f$ nella soluzione di d’Alembert dipende dal suo argomento $x-vt$. Se questo argomento rimane costante, anche il valore di $f$ rimane costante. Ciò accade quando $x$ aumenta alla stessa velocità con cui aumenta $vt$. In altre parole, la perturbazione descritta da $f$ si propaga lungo la direzione positiva dell’asse $x$ con velocità $v$, mentre la funzione $g$ rappresenta un’onda che si propaga con la stessa velocità nella direzione negativa.

Nel caso in cui $f$ sia una funzione periodica di periodo $\lambda$, cioè

$f(x+\lambda -vt)=f(x-vt)$,

la periodicità spaziale implica che, fissato un istante $t$, l’onda presenti una variazione periodica nello spazio con periodo $\lambda$, chiamato lunghezza d’onda.

La periodicità spaziale comporta anche una periodicità temporale. Infatti, se

$f(x-v(t+T))=f(x-vt)$,

allora deve valere la condizione:

$vT=\lambda$.

Osservando l’onda in un punto fisso dello spazio, si vede quindi che essa oscilla periodicamente nel tempo con periodo

$T=\lambda /v$.

Onde armoniche

Una qualunque onda periodica può essere espressa come combinazione di funzioni sinusoidali tramite la scomposizione armonica, nota anche come analisi di Fourier.

Per chiarire il concetto, consideriamo una soluzione unidimensionale di un’onda progressiva sinusoidale (come quella rappresentata in figura):

$f(x,t)=A\sin[k(x-vt)+\phi ]$

dove $A$ è l’ampiezza, $\phi$ la fase iniziale, $v$ la velocità di propagazione e $k$ il numero d’onda.

Lunghezza d’onda e numero d’onda

Si definisce lunghezza d’onda $\lambda$ la minima distanza tra due punti dello spazio in cui l’onda assume lo stesso valore (ad esempio tra due creste). La periodicità spaziale implica:

$k(x+\lambda )=kx+2\pi$

da cui segue:

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

La quantità $k$ è chiamata numero d’onda ed è legata alla periodicità spaziale dell’onda.

Periodo e frequenza

La forma dell’onda in funzione del tempo è analoga a quella in funzione dello spazio. Si definisce periodo $T$ il tempo minimo necessario affinché l’onda ritorni identica a se stessa in un punto fisso dello spazio:

$-kv(t+T)=-kvt-2\pi$

da cui:

$T={\frac {2\pi }{kv}}={\frac {\lambda }{v}}$

Nei fenomeni periodici si usa spesso l’inverso del periodo, la frequenza:

$\nu ={\frac {1}{T}}$

La relazione fondamentale tra periodicità spaziale e temporale è quindi:

$\lambda \nu =v$

Questa è la relazione di base per tutte le onde meccaniche e vale anche per le onde elettromagnetiche nel vuoto sostituendo $v$ con $c$.

Pulsazione e forma compatta dell’onda

Si introduce la pulsazione $\omega$ come:

$\omega =2\pi \nu$

La forma dell’onda può allora essere riscritta in modo più compatto:

$f(x,t)=A\sin(kx-kvt+\phi )=A\sin \left(kx-{\frac {2\pi }{\lambda }}vt+\phi \right)=A\sin(kx-\omega t+\phi )$

Questa è la rappresentazione armonica standard, utile per trattare fenomeni come interferenza, diffrazione e dispersione.

Caso tridimensionale: il vettore d’onda

In tre dimensioni il numero d’onda diventa il vettore d’onda ${\vec {k}}$, diretto nella direzione di propagazione e di modulo:

$|{\vec {k}}|=k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

La rappresentazione dell’onda armonica tridimensionale è:

$f({\vec {r}},t)=A\sin[{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t+\phi ]$

dove ${\vec {k}}\cdot {\vec {r}}$ rappresenta la fase spaziale lungo la direzione di propagazione.

Fronte d'onda

Il luogo dei punti in cui l’onda presenta la stessa ampiezza e la stessa fase è detto fronte d’onda. Nel caso tridimensionale, un fronte d’onda è una superficie appartenente a una famiglia di superfici; nel caso bidimensionale, è una curva appartenente a una famiglia di curve.

I fronti d'onda di onde piane sono dei piani paralleli

Le onde nei liquidi offrono un esempio intuitivo. Se lasciamo cadere un sasso in uno stagno, le onde generate formano una serie di cerchi concentrici attorno al punto di impatto: in questo caso il fronte d’onda è una circonferenza. Se invece l’increspatura è prodotta da un vento leggero che soffia in modo uniforme, si osservano onde piane, i cui fronti d’onda sono linee rette.

L’estensione al caso tridimensionale è immediata. In un mezzo tridimensionale:

• una sorgente puntiforme isotropa genera fronti d’onda sferici;
• una sorgente estesa isotropa genera fronti d’onda piani, come mostrato nella figura.

Le onde con fronti d’onda piani sono dette onde piane. Esse sono particolarmente semplici da studiare, poiché la loro dipendenza spaziale si riduce a una sola coordinata cartesiana: quella perpendicolare ai piani di fase. Quando abbiamo introdotto l’equazione delle onde nel caso unidimensionale, stavamo in realtà descrivendo proprio l’equazione caratteristica delle onde piane.

Onde sferiche e attenuazione

Una sorgente puntiforme che emette onde in modo isotropo genera fronti d’onda sferici. In questo caso la perturbazione dipende unicamente dalla distanza radiale $r$ dalla sorgente, e la soluzione dell’equazione delle onde assume la forma:

$f(r,t)={\frac {A}{r}}\sin(kr-\omega t+\phi )$

Il fattore $1/r$ non rappresenta una dissipazione del mezzo, ma è una conseguenza puramente geometrica: l’energia trasportata dall’onda si distribuisce su superfici sferiche di area $4\pi r^{2}$. Poiché l’energia totale si conserva, l’ampiezza dell’onda deve diminuire come $1/r$, mentre l’intensità decresce come $1/r^{2}$. Questa diminuzione dell’ampiezza è detta attenuazione geometrica.

In un mezzo reale possono essere presenti anche fenomeni dissipativi (viscosità, attrito, assorbimento), che producono un’ulteriore attenuazione esponenziale dell’ampiezza. Tuttavia, anche in un mezzo perfettamente elastico, l’attenuazione geometrica è inevitabile per le onde sferiche.

A grande distanza dalla sorgente, una piccola porzione del fronte d’onda sferico può essere approssimata da un fronte piano: in questo limite l’onda si comporta come un’onda piana e la sua ampiezza può essere considerata costante.

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