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Errore del parser (MathML, altrimenti SVG o PNG (consigliato per browser moderni e strumenti di accesso facilitato): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \documentclass[a4paper,10pt]{book} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[italian]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsfonts} \usepackage{pifont} \title{{\bfseries Formulario di Matematica}\\ v.6.0b} \author{Daniele Angella\thanks{daniele.angella@gmail.com}\\ Leonardo Ferro\thanks{leonardoferro@gmail.com}} %\date{08/01/2005} \newtheorem{definizione}{Definizione} \newtheorem{teorema}{Teorema} \newtheorem{lemma}{Lemma} \newtheorem{metodo}{Metodo} \newtheorem{metodo2}{Metodo} \newtheorem{criterio}{Criterio} \newtheorem{notazione}{Notazione} \newtheorem{proposizione}{Proposizione} \newtheorem{osservazione}{Osservazione} \newcommand{\symb}{\Pisymbol{psy}} \begin{document} \maketitle{} \section{Prefazione} \begin{quote} \textbf{Estragone.} Troviamo sempre qualcosa, vero, Didi, per darci l'impressione di esistere?\\ \textbf{Vladimiro} (\emph{spazientito})\textbf{.} Ma sì, ma sì, siamo dei maghi. Non ci lasciamo mai distogliere dalle nostre risoluzioni. [$\ldots$]\\ \vspace{5pt} \begin{flushright} S. Beckett, \emph{Aspettando Godot} \end{flushright} \end{quote} \vspace{8cm} Copyright \copyright 2005 Daniele Angella, Leonardo Ferro. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with the front-Cover Text being: ''Formulario di Matematica - Daniele Angella, Leonardo Ferro'' and and anything before this section, following the title itself. You can find a copy of the license on \begin{center}{\ttfamily http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html}.\end{center} \vspace{2cm} Questo documento è stato scritto con \LaTeX{} ed è disponibile sui siti \begin{center} {\ttfamily http://daniangella.interfree.it}; \end{center} \begin{center} {\ttfamily http://www.matematicamente.it}; \end{center} \begin{center} {\ttfamily http://edu.os3.it}. \end{center} Suggerimenti, commenti e correzioni sono ben accette. \part{Formulario} \chapter{Logica e Insiemistica} \section{Logica} \subsection{Definizioni} \begin{definizione}[Proposizione, Enunciato] Si dice \emph{proposizione} (o \emph{enunciato}) un'espressione del linguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valore di verità (vero=T=1=$\top$; falso=F=0=$\bot$). Una proposizone si dice \emph{complessa} se é composta da proposizioni \emph{semplici} collegate tra loro da \emph{connettivi logici}. \end{definizione} \begin{definizione}[Predicato] Si dice \emph{predicato} una frase contenente variabili che diventi una proposizione qualora si specifichi il valore delle variabili stesse. \end{definizione} \subsection{Connettivi Logici} \begin{itemize} \item {\bfseries non} $\neg$ (oppure: $\neg p\equiv\bar{p}$); unario; complementare; $\neg p$ ha valore vero sse $p$ ha valore falso;\\ \item {\bfseries e} $\wedge$; binario; intersezione; $p\wedge q$ ha valore vero sse $p$ e $q$ hanno entrambi valore vero;\\ \item {\bfseries o} $\vee$; binario; unione; $p\vee q$ ha valore vero se almeno uno tra $p$ e $q$ ha valore vero;\\ \item {\bfseries se ... allora, implica, condizione sufficiente affinchè q..., condizione necessaria affinchè p...} $\Longrightarrow$; binario; $p\Longrightarrow q$ ha valore vero se $p$ ha valore falso o se sia $p$ che $q$ hanno valore vero;\\ \item {\bfseries se e solo se (sse, iff), coimplica, condizione necessaria e sufficiente (cnes)} $\Longleftrightarrow$; binario; $p\Longleftrightarrow q$ ha valore vero se $p$ ha lo stesso valore di verità di $q$.\\ \subsection{Tabelle di Verità} %\ding{42} Tabella \ref{tab:Verita} a pag.\pageref{tab:Verita} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{cc|ccccc} $p$ & $q$ & $\neg p$ & $p\wedge q$ & $p\vee q$ & $p\Longrightarrow q$ & $p\Longleftrightarrow q$\\ \hline\\ $1$ & $1$ & $0$ & $1$ & $1$ & $1$ & $1$ \\ $1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ \\ $0$ & $1$ & $1$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ \\ $0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$ \end{tabular} \end{center} \caption{Tavole di Verità} \label{tab:Verita} \end{table} \subsection{Leggi logiche notevoli} \ding{42} Tabella \ref{tab:LeggiLogiche} a pag.\pageref{tab:LeggiLogiche} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{lr} $A\Rightarrow A$ & legge dell'identità\\ $A\Leftrightarrow \neg\neg A$ & legge della doppia negazione\\ $A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A$ & commutatività di $\wedge$\\ $(A\wedge B) \wedge C\Leftrightarrow A\wedge (B \wedge C)$ & associatività di $\wedge$\\ $A\vee B\Leftrightarrow B\vee A$ & commutatività di $\vee$\\ $(A\vee B) \vee C\Leftrightarrow A\vee (B \vee C)$ & associatività di $\vee$\\ $A\wedge A\Leftrightarrow A$ & idempotenza di $\wedge$\\ $A\vee A\Leftrightarrow A$ & idempotenza di $\vee$\\ $A\wedge B\Leftrightarrow A$ & eliminazione di $\wedge$\\ $A\Leftrightarrow A\vee B$ & introduzione di $\vee$\\ $A \wedge(B\vee C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ & distributività\\ $A \vee(B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)$ & distributività\\ $A\wedge(A\vee B)\Leftrightarrow A$ & legge di assorbimento\\ $A\vee(A\wedge B)\Leftrightarrow A$ & legge di assorbimento\\ $\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow\neg A\vee\neg B$ & legge di de Morgan\\ $\neg(A\vee B)\Leftrightarrow\neg A\wedge\neg B$ & legge di de Morgan\\ $\neg A \vee A \Leftrightarrow \top$ & legge del terzo escluso\\ $\neg (A \wedge \neg A)\Leftrightarrow \top$ & legge di non contraddizione\\ $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (B \vee \neg A)$ & definizione di implicazione\\ $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$ & legge di contrapposizione (contronominale)\\ $A\wedge \neg A\Rightarrow \bot$ & Lewis (ex falso quodlibet)\\ $A \Rightarrow (B\Rightarrow A)$ & affermazione del conseguente\\ $\neg A \Rightarrow (A\Rightarrow B)$ & negazione dell'antecedente\\ $((A\Rightarrow B)\wedge \neg B)\Rightarrow\neg A$ & legge di riduzione all'assurdo\\ $(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$ & riduzione all'assurdo debole\\ $(\neg A\Rightarrow A)\Rightarrow A$ & consequentia mirabilis\\ $((A\Rightarrow B)\Rightarrow A)\Rightarrow A$ & legge di Peirce\\ $((A\Rightarrow B)\vee (B\Rightarrow A))\Rightarrow \top$ & legge di Dummett\\ $A\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow B)$ & modus ponens\\ $(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow(B\Rightarrow(A\Rightarrow C))$ & scambio antecedenti\\ $((A\Rightarrow C)\wedge(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow (A\vee B\Rightarrow C)$ & distinzione di casi\\ $((A\Rightarrow B)\wedge(\neg A\Rightarrow B))\Rightarrow B$ & distinzione di casi\\ $(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow(A\Rightarrow C))$ & distributività di $\Rightarrow$\\ $((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))\Rightarrow (A\Rightarrow C)$ & transitività di $\Rightarrow$\\ $(A\Rightarrow (B\Rightarrow C))\Leftrightarrow ((A\wedge B)\Rightarrow C)$ & importazione/esportazione delle premesse \end{tabular} \end{center} \caption{Leggi Logiche Notevoli} \label{tab:LeggiLogiche} \end{table} \section{Insiemistica} \begin{definizione}[Insieme] $A=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}=\{x|\mathcal{P}(x)\}$. \end{definizione} \begin{definizione}[Intersezione]$A\cap B=\{x|x\in A \wedge x\in B\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Unione]$A\cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Differenza]$A\setminus B=\{x|x\in A \wedge \neg (x\in B)\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Differenza simmetrica] $A\Delta B=A\setminus B \cup B\setminus A$ \end{definizione} \begin{definizione}[Complementare]Detto $\mathcal{U}$ l'insieme universo, $A^c=cA=\bar{A}=\{x|x\in U\setminus A\}=\{x|\neg (x\in A)\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Insieme (potenza) delle parti] $\mathcal{P}(A)=2^A=\{E|E\subseteq A\}\\|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Coppie ordinate] $(x,y)=\langle x,y\rangle =\{\{x\},\{x,y\}\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Prodotto cartesiano] $A\times B=\{(x,y)|x\in A \wedge y\in B\}$\\ $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in A_i \forall i=\{1,2,\cdots, n\}\}$\\ \end{definizione} \begin{proposizione}[Leggi di de Morgan] $(E\cup F)^c=E^c\cap F^c\\(E\cap F)^c=E^c\cup F^c$ \end{proposizione} \chapter{Algebra Elementare} \section{Definizione di |R} La struttura $[\mathbb{R},+,\cdot]$ è un anello. Si definisce una relazione d'ordine totale $\leq$. I primi 4 assiomi definiscono $[\mathbb{R},+]$ come gruppo, $[\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot]$ come gruppo, inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue 4 forme.\\ $\mathbb{R}$ è quindi definito assiomaticamente da: \begin{description} \item [S1] la somma è associativa;\\ \item [S2] la somma è commutativa;\\ \item [S3] esiste l'elemento neutro della somma (zero, $0$);\\ \item [S4] ogni elemento ($x$) di $\mathbb{R}$ ha inverso (opposto, $-x$);\\ \item [P1] il prodotto è associativo;\\ \item [P2] il prodotto è commutativo;\\ \item [P3] esiste l'elemento neutro del prodotto (\emph{uno}, $1$);\\ \item [P4] ogni elemento ($x$) di $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ha elemento inverso (reciproco, $\frac{1}{x}=1/x=x^{-1}$);\\ \item [SP] il prodotto è distributivo rispetto alla somma;\\ \item [OS] $x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z \forall z\in\mathbb{R}$;\\ \item [OP] $x\leq y\Rightarrow x\dot z\leq y\dot z \forall z\in\mathbb{R}, z\geq 0$;\\ \item [Dedekind] siano $A$ e $B$ due insiemi separati, cioè tali che $\forall a\in A, \forall b\in B, a\leq b$; allora $\exists c\in\mathbb{R}:a\leq b\leq c$.\\ \end{description} \begin{definizione}[Retta reale estesa] Si definisce l'insieme $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ detto \emph{estensione dell'insieme dei reali}. \end{definizione} \section{Scomposizioni Notevoli} \subsection{Potenza di un polinomio} $$(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n\\k \end{array} \right) a^{n-k}b^k$$ \begin{tabbing} Casi particolari: \= $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$;\\ \>$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$;\\ \>$(a\pm b\pm c)^2=a^2\pm 2ab+b^2\pm 2bc+c^2\pm 2ca$. \end{tabbing} \subsection{Fattorizzazione} $$\mathcal{P}(x)=a_n\cdot\prod_{i=0}^n(x-x_i)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$$\\ $\mathcal{P}(x)=a(x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot\,\cdots\,\cdot(x-x_n)$\\ $\forall n\in \mathbb{N}: x^n-y^n=(x-y)\cdot(x^{n-1}+x^{n.2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})$\\ $\forall n=2k+1, k\in \mathbb{Z}: x^n+y^n=(x+y)\cdot(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1})$\\ \begin{tabbing} Casi particolari: \= $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$;\\ \>$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$. \end{tabbing} \subsection{Risoluzione di equazioni di secondo grado in una incognita} \begin{tabbing} $\mathcal{P}(x)=ax^2+bx+c $: \= $\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;\\ \> $\qquad x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-ac}}{a}\mbox{ con }\beta :=\frac{b}{2}$ \end{tabbing} \section{Radicali doppi} $\sqrt{\mathcal{A}\pm \sqrt{\mathcal{B}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{A}+\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}} \pm \sqrt{\frac{\mathcal{A}-\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}$ \section{Disequazioni irrazionali} \begin{itemize} \item $\sqrt{f(x)}\geq g(x)$ $$ \left\{ \begin{array}{l} g(x)\geq 0\\ f(x)\geq g^2(x) \end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{l} g(x)<0\\ f(x)\geq 0 \end{array} \right. $$\\ \item $\sqrt{f(x)}<g(x)$ $$ \left\{ \begin{array}{l} f(x)\geq 0\\ g(x)> 0\\ f(x)<g^2(x) \end{array} \right. $$ \end{itemize} \section{Potenze} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Logaritmo]$\forall y\geq 0, \forall n\in\mathbb{N}$, si definisce la radice $n$-esima di $y$ come:\\ $^n\sqrt{y}=y^{1/n}=sup\{x\in\mathbb{R}:x^n<y\}=inf\{x\in\mathbb{R}:x^n>y\}$ \end{definizione} \subsection{Proprietà} $ a^0=1\\ a^1=a\\ a^{m+n}=a^m\cdot a^n\\ a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\\ (a^m)^n=a^{m\cdot n}\\ a^m=e^{m\cdot\log a}\\ a^{\frac{1}{n}}=^n\sqrt{a}\\ a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ \section{Logaritmi} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Logaritmo] $\displaystyle a=\log_b c \Leftrightarrow b^a=c$ \end{definizione} \subsection{Proprietà} $ \log_a 1=0 \\ \log_a a=1 \\ \log_a (m\cdot n)=\log_a m+\log_a n \\ \log_a \frac{m}{n}=\log_a m-\log_a n \\ \log_a m^\alpha=\alpha\cdot \log_a m\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R} \\ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \\ \log_a b=\frac{1}{\log_b a} $ \section{Modulo o Valore Assoluto} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Modulo, Valore Assoluto] Si definisce \emph{modulo} p \emph{valore assoluto} la funzione:\\ $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+_0=[0,+\infty]$\\ $f(x)=|x|=\textsf{mod}(x)=\textsf{max}\{x,-x\}=\sqrt{x^2}$. \end{definizione} \subsection{Proprietà degli Spazi Metrici} \begin{description} \item [M1] $\forall a\in\mathbb{R}, |a|\geq 0$\\ \item [M2] $|a|=0 \Leftrightarrow a=0$\\ \item [M3, omogeneità] $\forall \lambda\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R}, |\lambda\cdot a|=| \lambda|\cdot |a| $\\ \item [M4, disuguaglianza triangolare] $\forall a,b\in\mathbb{R}, |a+b|\leq |a|+|b|$\\ \end{description} La \texttt{M4} in generale assume la forma:\\ $$| \sum^{n}_{i=1}a_i|\leq \sum^{n}_{i=1} |a_i| $$ Può essere scritta anche: $||a|-|b||\leq|a-b|$. \section{Altre funzioni} \subsection{Fattoriale, Semifattoriale} \begin{definizione}[Fattoriale]$$\forall n\in\mathbb{N}, n!=fatt(n)=\prod_{i=1}^{n}i=$$\\ $$=1\cdot 2\cdot\cdots\cdot (n-1)\cdot n$$\\ \'{E} definito ricorsivamente da:\\ $$\left\{ \begin{array}{l} 0!=1\\n!=n\cdot(n-1)! \end{array}\right.$$ \end{definizione} \begin{definizione}[Semifattoriale]$\forall k\in\mathbb{N}, (2k+1)!!=\prod_{i=0}^{k}(2i+1)$;\\ $$(2k)!!=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }k=0\\ \prod_{i=1}^{k} & \mbox{se }k>0 \end{array}\right.$$\\ Si definisce inoltre $(-1)!!=1$. \end{definizione} \subsection{Segno} \begin{definizione}[Segno] $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, \textsf{signum}(x)=\textsf{sign}(x)=\textsf{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}=$ $$\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }x>0\\ -1 & \mbox{ se } x<0 \end{array}\right.$$ \end{definizione} \subsection{Parte intera, parte decimale} \begin{definizione}[Parte Intera] $[x]\stackrel{def}{=}max\{k\in\mathbb{Z}:k\leq x\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Parte Decimale] $\{x\}\stackrel{def}{=}x-[x]$ \end{definizione} \subsection{Parte positiva, Parte negativa} \begin{definizione}[Parte positiva, $f^+$] $f^+=\textsf{max}\{f,0\}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Parte negativa, $f^-$] $f^-=\textsf{min}\{f,0\}$ \end{definizione} \begin{osservazione} $|f|=f^+-f^-$\\ $f=f^++f^-$\\ $\textsf{max}\{f,g\}=(f-g)^++g$\\ $\textsf{min}\{f,g\}=(f-g)^-+g$ \end{osservazione} \begin{osservazione} $\forall a,b\in\mathbb{R}:a<b,\\ b^+-a^+\leq b-a;\\ b^--a^-\leq b-a$ \end{osservazione} \subsection{Funzione di Dirichlet} \begin{definizione}[Funzione di Dirichlet] $$f(x)= \left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se } x\in\mathbb{Q}\\ 0 & \mbox{ se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{array}\right.$$ \end{definizione} \subsection{Funzioni iperboliche} \begin{definizione}[Seno iperbolico] $\sinh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\ $\sinh x=\textsf{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Coseno iperbolico] $\cosh:\mathbb{R}\rightarrow[1,+\infty)$\\ $\cosh x=\textsf{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ \end{definizione} \begin{osservazione} $\sinh^2 x-\cosh^2 x=1$. \end{osservazione} \begin{definizione}[Tangente iperbolica] $\tanh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\ $\tanh x=\textsf{th}x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Cotangente iperbolica] $\coth:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$\\ $\coth x=\textsf{cth}x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$ \end{definizione} \begin{definizione}[Arcoseno iperbolico, Settore Seno iperbolico] $\textsf{ash}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\ $\textsf{sett sinh} y=\textsf{ash}y=\log(y+\sqrt{y^2+1})$ \end{definizione} \begin{definizione}[Arcocoseno iperbolico, Settore Coseno iperbolico] $\textsf{ach}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\ $\textsf{sett cosh} y=\textsf{ach}y=\log(y+\sqrt{y^2-1})$ \end{definizione} \begin{definizione}[Arcotangente iperbolica, Settore Tangente iperbolica] $\textsf{ath}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\ $\textsf{sett tanh} x=\textsf{ath}y=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}$ \end{definizione} \subsection{Funzione Esponenziale, $e^x=\textsf{exp}(x)$} \begin{teorema}[Esistenza ed Unicità della funzione esponenziale] $\exists !$ la funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ che verifichi le proprietà:\\ \begin{enumerate} \item $\forall x_1, x_2 \in\mathbb{R}, f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$;\\ \item $f(1)=e$ (dove $e$ è il \emph{numero di Nepero}); \end{enumerate} ed è la \emph{funzione esponenziale} definita $\forall x\in\mathbb{R}$ da $f(x)=e^x=\textsf{exp}(x)$. \end{teorema} \begin{definizione} Si definisce $f(x)=a^x=e^{x\log a}$. \end{definizione} \section{Serie} \subsection{Serie Aritmetiche} $$a_n=a_1+(n-1)d$$\\ $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$ \subsection{Serie Geometriche} $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$\\ $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1$\\ Se $q=1$ si ha $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=n\cdot a_1$\\ $\displaystyle S_{k,n}=\sum_{i=k}^{n}a_i=q^k\cdot\frac{1-q^{n-k+1}}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1$ \subsection{Disuguaglianze Notevoli} \begin{itemize} \item $\forall x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], |\sin x|\leq |x|$\\ \item $\forall n\in\mathbb{N}, \forall a\geq -1, (1+a)^n\geq 1+a\cdot n $ ({\bfseries disuguaglianza di Bernoulli})\\ \item $\forall x\in \mathbb{R}, e^x\geq x+1$\\ \item $\forall x>-1, \log(x+1)\leq x$\\ \item $\forall a,b>0, p,q>1:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, a\cdot b\leq\frac{1}{p}\cdot a^p+\frac{1}{q}\cdot b^q $ ({\bfseries disuguaglianza di Young})\\ \end{itemize} \subsection{Sommatorie Classiche} $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$\\ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$\\ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$\\ $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \left ( \begin{array}{c} n\\i \end{array}\right ) =(1+1)^n=2^n$\\ $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \left ( \begin{array}{c} n\\i \end{array}\right ) =0 $ \chapter{Geometria} \section{Goniometria} \subsection{Relazione Fondamentale} $\sin ^2 x+\cos ^2 x=1$ \subsection{Tangente e Cotangente: Definizioni} \begin{definizione}[Tangente] $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\forall x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$\\ \end{definizione} \begin{definizione}[Cotangente 1] $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\forall x\neq k\pi$\\ \end{definizione} \begin{definizione}[Cotangente 2] $\cot x=\frac{1}{\tan x}\forall x\neq k \frac{\pi}{2}$ \end{definizione} \subsection{Secante e Cosecante: Definizioni} \begin{definizione}[Secante] $\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\\ \sec : \mathbb{R}\setminus\{\frac{pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} $ \end{definizione} \begin{definizione}[Cosecante] $\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\\ \csc : \mathbb{R}\setminus\{k\pi, k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} $ \end{definizione} \subsection{Formule di Addizione} $\sin ( \alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$\\ $\cos ( \alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$\\ $\tan ( \alpha \pm \beta)=\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$\\ $\cot ( \alpha \pm \beta)=\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \alpha \pm \cot \beta}$ \subsection{Formule di Duplicazione e di Triplicazione} $\sin (2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$\\ $\cos (2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$\\ $\tan (2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$\\ $\sin (3\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$\\ $\cos (3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$\\ $\tan (3\alpha)=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$\\ \subsection{Formule di Bisezione} $\sin (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$\\ $\cos (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$\\ $\tan (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ \subsection{Formule Parametriche} $t\stackrel{def}{=}\tan\frac{\alpha}{2}\longrightarrow\left\{ \begin{array}{ll} \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2} \end{array} \right.$ \subsection{Formule di Prostaferesi} $\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$\\ $\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$\\ $\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$\\ $\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$ \subsection{Formule di Werner} $\cos p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p+q)-\sin (q-p)]$\\ $\sin p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p-q)-\cos (p+q)]$\\ $\cos p \cdot\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$ %\subsection{Altre Formule} %$\sin\alpha=\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\ %$\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\ %$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}$\\ %$\cos\alpha=\frac{\cot\alpha}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}$\\ %$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$\\ %$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ \subsection{Formule di Conversione} \ding{42} Tabella \ref{tab:Conversione} a pag.\pageref{tab:Conversione} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} $\swarrow$ & Sin & Cos & Tan\\ \hline\\ %---- : $\sin\alpha$ & $\sin\alpha$ & $\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ & $\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\ %---- : $\cos\alpha$ & $\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}$ & $\cos\alpha$ & $\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\ %---- : $\tan\alpha$ & $\pm\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ & $\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}$ & $\tan\alpha$\\ %---- : $\cot\alpha$ & $\pm\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}$ & $\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}$ & $\frac{1}{\tan\alpha}$\\ %---- : $\sec\alpha$ & $\pm\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ & $\frac{1}{\cos\alpha}$ & $\pm\sqrt{1+\tan^2\alpha}$\\ %---- : $\csc\alpha$ & $\frac{1}{\sin\alpha}$ & $\pm\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}$ & $\pm\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}$\\ \end{tabular} \end{center} \caption{Formule di Conversione} \label{tab:Conversione} \end{table} \subsection{Archi Noti} \ding{42} Tabella \ref{tab:ArchiNoti} a pag.\pageref{tab:ArchiNoti} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{cc|cccc} Rad & Deg & Sin & Cos & Tan & Cot\\ \hline 0 & 0° & 0 & 1 & 0 & n.e.\\ $\frac{\pi}{12}$ & $15°$ & $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ & $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ & $2-\sqrt{3}$ & $2+\sqrt{3}$\\ $\frac{\pi}{8}$ & $22°30'$ & $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ & $\sqrt{2}-1$ & $\sqrt{2}+1$\\ $\frac{\pi}{6}$ & $30°$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $\sqrt{3}$\\ $\frac{\pi}{4}$ & $45°$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $1$ & $1$\\ $\frac{\pi}{3}$ & $60°$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$\\ $\frac{3}{8}\pi$ & $67°30'$ & $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ & $\sqrt{2}+1$ & $\sqrt{2}-1$\\ $\frac{5}{12}\pi$ & $75°$ & $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ & $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ & $2+\sqrt{3}$ & $2-\sqrt{3}$\\ $\frac{\pi}{2}$ & $90°$ & $1$ & $0$ & n.e. & $0$ \end{tabular} \end{center} \caption{Archi noti} \label{tab:ArchiNoti} \end{table} \subsection{Archi Associati} \ding{42} Tabella \ref{tab:ArchiAssociati} a pag.\pageref{tab:ArchiAssociati} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{c|cccc} Rad & Sin & Cos & Tan & Cot\\ \hline x & $\sin x $ & $\cos x$ & $\tan x$ & $\cot x$\\ $\pi -x $ & $\sin x $ & $- \cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\ $\pi +x $ & $-\sin x $ & $- \cos x$ & $\tan x$ & $\cot x$ \\ $ -x $ & $-\sin x $ & $\cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\ $2\pi -x $ & $-\sin x $ & $\cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\ $\frac{\pi}{2} -x $ & $\cos x $ & $\sin x$ & $\cot x$ & $\tan x$ \\ $\frac{\pi}{2} +x $ & $\cos x $ & $-\sin x$ & $-\cot x$ & $-\tan x$ \\ $\frac{3}{2} \pi -x $ & $-\cos x $ & $-\sin x$ & $\cot x$ & $\tan x$ \\ $\frac{3}{2} \pi +x $ & $-\cos x $ & $\sin x$ & $-\cot x$ & $-\tan x$ \end{tabular} \end{center} \caption{Archi associati} \label{tab:ArchiAssociati} \end{table} \section{Trigonometria} \subsection{Triangolo Qualsiasi} Area: $S= \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} b c \sin \alpha = \frac{1}{2} a c \sin \beta$\\ $S= \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+ \gamma)} = \frac{1}{2} b^2 \frac{\sin\alpha\sin\gamma}{\sin(\alpha +\gamma)} = \frac{1}{2} c^2 \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha +\beta)}$\\ \begin{teorema}[Formula di Erone] $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ \end{teorema} \begin{teorema}[Formula di Brahmagupta o di Erone] Dato un quadrilatero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) di lati $a,b,c,d$ e semiperimetro $p=\frac{a+b+c+d}{2}$, l'area vale $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} $; per $d=0$, in particolare, si ottiene la formula di Erone per il triangolo. \end{teorema} \begin{teorema}[delle Corde]: $\bar{AB} =2r \sin \alpha$ \end{teorema} \begin{teorema}[dei Seni]: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=2R=\frac{abc}{4S}$ \end{teorema} \begin{tabbing} Proiezioni: \= $a=b \cos \gamma+c \cos \beta$;\\ \>$b=a \cos \gamma+c \cos \alpha$;\\ \>$c=a \cos \beta+b \cos \alpha$.\\ \end{tabbing} \begin{teorema}[di Carnot o del Coseno]:\\ $ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $; \\ $ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta $; \\ $ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $. \end{teorema} \subsection{Triangolo Rettangolo} Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di un triangolo rettangolo e $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ sono le misure degli angoli opposti, sussistono le seguenti relazioni:\\ $b=a\sin\beta=a\cos\gamma$\\ $c=a\sin\gamma=a\cos\beta$\\ $b=c\tan\beta=c\cot\gamma$\\ $c=b\tan\gamma=b\cot\beta$ \section{Geometria Analitica} \subsection{Punto e Retta} \begin{tabbing} $r$: \=$y=mx+n$ (forma implicita)\\ \>$y=ax+by+c$ (forma esplicita);\qquad $m=-\frac{b}{a}$, $n=-\frac{c}{a}$\\ \end{tabbing} \begin{tabbing} \=$P_1(x_1, y_1)$\= $P_2(x_2, y_2)$\=$P_3(x_3, y_3)$\\ \end{tabbing} $r_{P_1}$: $(y-y_1)=m(x-x_1)$\\ $s \parallel r_{P_1}$:$y_1=m_{const} x_1+n$\\ $r_{P_1P_2}:\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$\\ $m_r=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$\\ $r\parallel s\leftrightarrow m_r=m_s$\\ $r\perp s\leftrightarrow m_r=-\frac{1}{m_s}$\\ $\bar{P_1P_2}=dist(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$\\ $dist(P_1,r)=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$\\ Punto medio di $P_1P_2= (\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$\\ Baricentro del triangolo $P_1P_2P_3= (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}; \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ \subsection{Coniche 1: Circonferenza} $$\gamma:x^2+y^2+ax+by+c=0$$\\ $C(x_0,y_0)\qquad r^2=x_0^2+y_0^2-c\geq 0$\\ $P(x',y')\in\gamma\leftrightarrow\overline(PC)=r$\\ $\gamma: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$\\ $\left\{\begin{array}{l} a=-2x_0\\b=-2y_0\\c=x_0^2+y_0^2-r^2 \end{array}\right.$ $\longrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} x_0=-\frac{a}{2}\\y_0=-\frac{b}{2}\\r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c} \end{array}\right.$ \subsection{Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'asse y} $$\mathcal{P} :y=ax^2+bx+c $$\\ $F(x_0,y_0);\qquad d:y=k$\\ $P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)$\\ $\left\langle\begin{array}{lcccc} y_0>k & \rightarrow & a>0 & \rightarrow & \smile\\ y_0<k & \rightarrow & a<0 & \rightarrow & \frown\\ \end{array}\right.$\\ $\left\{\begin{array}{l} a=\frac{1}{2y_0-2k}\\b=\frac{x_0}{k-y_0}\\c=\frac{x_0^2+y_0^2-k^2}{2y_0-2k} \end{array}\right.$ $\longrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} x_0=-\frac{b}{2a}\\y_0=\frac{1-\Delta}{4a}\\k=\frac{-1-\Delta}{4a} \end{array}\right.$\\ $F(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a})$\\ $d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})$\\ $F(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$\\ $a:x=-\frac{b}{2a}$\\ $\Delta=b^2-4ac$ \subsection{Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'asse x} $$\mathcal{P} :x=ay^2+by+c $$\\ $F(x_0,y_0);\qquad d:y=k$\\ $P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)$\\ $\left\langle\begin{array}{ccccc} x_0>k & \rightarrow & a>0 & \rightarrow & \subset\\ x_0<k & \rightarrow & a<0 & \rightarrow & \supset\\ \end{array}\right.$\\ $\left\{\begin{array}{l} a=\frac{1}{2x_0-2k}\\b=\frac{y_0}{k-x_0}\\c=\frac{x_0^2+y_0^2-k^2}{2x_0-2k} \end{array}\right.$ $\longrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} x_0=\frac{1-\Delta}{4a}\\y_0=-\frac{b}{2a}\\k=\frac{-1-\Delta}{4a} \end{array}\right.$\\ $F(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})$\\ $d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})$\\ $F(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})$\\ $a:y=-\frac{b}{2a}$\\ $\Delta=b^2-4ac$ \subsection{Coniche 3: Ellisse} $$\mathcal{E}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$\\ $c^2= \left\{\begin{array}{lcccccc} a^2-b^2 & \mbox{se} & a>b & \rightarrow & e=\frac{c}{a}<1 & \rightarrow & F_1(-c,0),\quad f_2(c,0)\\ b^2-a^2 & \mbox{se} & b>a & \rightarrow & e=\frac{c}{b}<1 & \rightarrow & F_1(0,-c),\quad f_2(0,c)\\ \end{array}\right.$\\ $\mathcal{E}\cap x\equiv\qquad A(-a,0)\quad B(a,0)$\\ $\mathcal{E}\cap y\equiv\qquad C(0,-b)\quad D(0,b)$\\ $P(x',y')\in\mathcal{E}\leftrightarrow\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$ \subsection{Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse x} $$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$\\ $c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0$\\ $\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$\\ $F_1(-c,0)\quad F_2(c,0); \qquad F_1,F_2\in x$\\ $P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\ $a_1: y=\frac{b}{a}x$\\ $a_2: y=-\frac{b}{a}x$\\ $e=\frac{c}{a}>1$ \subsection{Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse y} $$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$\\ $c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0$\\ $\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(0,-b)\quad V_2(0,b)$\\ $F_1(0,-c)\quad F_2(0,c); \qquad F_1,F_2\in y$\\ $P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\ $a_1: y=\frac{b}{a}x$\\ $a_2: y=-\frac{b}{a}x$\\ $e=\frac{c}{b}>1$ \subsection{Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse x} $$\mathcal{I}:x^2-y^2=a^2$$\\ $c=a\sqrt{2}\qquad a=b$\\ $\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$\\ $F_1(-a\sqrt{2},0)\quad F_2(a\sqrt{2},0); \qquad F_1,F_2\in x$\\ $P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\ $a_1: y=x$\\ $a_2: y=-x$\\ $e=\sqrt{2}$ \subsection{Coniche 4.2.2: Ip. eq. rif. assi simm. con fuochi sull'asse y} $$\mathcal{I}:x^2-y^2=-a^2$$\\ $c=a\sqrt{2}\qquad a=b$\\ $\mathcal{I}\cap y\equiv\qquad V_1(0,-a)\quad V_2(0,a)$\\ $F_1(0,-a\sqrt{2})\quad F_2(0,a\sqrt{2}); \qquad F_1,F_2\in y$\\ $P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\ $a_1: y=x$\\ $a_2: y=-x$\\ $e=\sqrt{2}$ \subsection{Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti} $$\mathcal{I}:xy=k$$\\ $\left\{\begin{array}{lcll} k>0 & \rightarrow & \mathcal{I}\cap b_{I,III}:y=x\equiv\qquad V_1(\sqrt{k},\sqrt{k})\quad V_2(-\sqrt{k},-\sqrt{k})\\ k>0 & \rightarrow & \mathcal{I}\cap b_{II,IV}:y=-x\equiv\qquad V_1(\sqrt{|k|},-\sqrt{|k|})\quad V_2(-\sqrt{|k|},\sqrt{|k|})\\ \end{array}\right.$\\ $leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\ $a_1: x=0$\\ $a_2: y=0$\\ $e=\sqrt{2}$ \subsection{Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Funzione omografica} $$\mathcal{I}:y=\frac{ax+b}{cx+d}$$\\ $$\exists\mathcal{I}\leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} c\neq 0\\ad-bc\neq 0 \end{array}\right.$$\\ $a_1: x=-\frac{d}{c}$\\ $a_2: y=\frac{a}{c}$\\ $e=\sqrt{2}$ \subsection{Coniche 5: Conica generica} $$\mathcal{C}:a_{11}x^2+a_{22}y^2+a{12}xy+a_{13}x+a_{23}y+a{33}=0$$\\ $$A= \left ( \begin{array}{ccc} a_{11} & \frac{1}{2}a_{21} & \frac{1}{2}a_{13}\\ \frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23}\\ \frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33} \end{array}\right ) $$\\ $$\overline{A}= \left( \begin{array}{cc} a_{11} & \frac{1}{2}a_{21}\\ \frac{1}{2}a_{12} & a_{22} \end{array} \right) \\ $$ $ \left\langle \begin{array}{lcl} |A|=0 & \longrightarrow & \mbox{Conica Degenere}\\ |A|\neq 0 & \longrightarrow & \mbox{Conica Non Degenere} \end{array} \right. $ \\ \\ %\ding{42} Tabella \ref{tab:Coniche} a pag.\pageref{tab:Coniche} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} & $ |\overline{A}|>0 $ & $ |\overline{A}|=0 $ & $ |\overline{A}|<0 $ \\ \hline $ |A|=0 $ & retta immaginaria & rette reali o immaginarie parallele & retta reale\\ $ |A|\neq 0 $ & ellisse & parabola & iperbole \end{tabular} \end{center} \caption{Conica Generica} \label{tab:Coniche} \end{table} \section{Trasformazioni: Affinità\footnote{prof.ssa Letizia Lorenzini}} \begin{center} \begin{tabbing} $\mathcal{T}:$\= $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$\\ \> $(x,y)\rightarrow(x',y')$\\ \end{tabbing} $ \left\{ \begin{array}{l} x=ax+by+p\\ y=cx+dy+q \end{array} \right.$ \\ $$A= \left ( \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right ) $$ \\ $$ |A|\neq 0 $$\\ \begin{tabbing} $\mathcal{T}^{-1}:$\= $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$\\ \> $(x',y')\rightarrow(x,y)$\\ \end{tabbing} \end{center} $\frac{S'}{S}=|A|$\\ $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{d}{|A|}x'+\frac{-b}{|A|}y'+\frac{-d}{|A|}p+\frac{b}{|A|}q\\ y=\frac{-c}{|A|}x'+\frac{a}{|A|}y'+\frac{c}{|A|}p+\frac{-a}{|A|}q\\ \end{array} \right.$ \\ $$A^{-1}= \left ( \begin{array}{cc} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|}\\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{array} \right ) $$ \begin{definizione}[Punto Unito] Punti uniti sono i punti che coincidono con i trasformati. \end{definizione} \begin{definizione}[Retta Unita] Rette unite sono le rette che coincidono con le trasformate. \end{definizione} \subsection{Prodotto di Affinità} Il prodotto di due affinità $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T'}$ è una affinità (indicata con $\mathcal{T} * \mathcal{T'}$, dove si applica per prima $\mathcal{T'}$ e successivamente $\mathcal{T}$) la cui matrice è pari al prodotto delle matrici delle affinità di partenza. \subsection{Casi Particolari di Affinità} L'effetto geometrico di un'affinità coincide con la composizione di \begin{itemize} \item inclinazioni; \item simmetrie; \item dilatazioni/compressioni; \item traslazioni. \end{itemize} \subsubsection{Isometria} \begin{definizione}[Isometria] L'\emph{isometria} è un'affinità che conserva le distanze. \end{definizione} \subsubsection{Traslazione} \begin{center} $\left\{ \begin{array}{l} x'=x+p\\ y'=y+q\\ \end{array} \right.$ $$ A= \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right ) $$ $|A|=1$ \end{center} \subsubsection{Rotazione} \begin{center} $\left\{ \begin{array}{l} x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta\\ \end{array} \right.$\\ $\left\{ \begin{array}{l} x=x'\cos\theta+y'\sin\theta\\ y=-x'\sin\theta+y'\cos\theta\\ \end{array} \right.$ \\ $$A= \left ( \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right ) $$ \\ $ |A|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $ $$A^{-1}= \left ( \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right ) $$ \\ $ |A^{-1}|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $ \end{center} \\ $\left\{ \begin{array}{l} x'=ax-by\\ y'=bx+ay\\ \end{array} \right. \rightarrow a^2+b^2=1 $\\ \subsubsection{Rototraslazione} $\left\{\rho:\{} \begin{array}{l} x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta\\ \end{array} \right.$\\ $\left\{\tau:\{} \begin{array}{l} x'=x+p\\ y'=y+q\\ \end{array} \right.$\\ \begin{center} $\left\{\tau * \rho :\{} \begin{array}{l} x'=x\cos\theta-y\sin\theta+p\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta+q\\ \end{array} \right.$ \end{center} \subsubsection{Simmetria Centrale} \begin{center} $$\left\{ \begin{array}{l} x'=2x_0-x\\ y'=2y_0-y\\ \end{array} \right.$$ \\ \end{center} con $(x_0,y_0)$ \emph{ centro di simmetria}. \subsubsection{Simmetria Assiale} \subsubsection{Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse x} Asse: $ y=y_0 \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x'=x\\ y'=2y_0-y\\ \end{array} \right.$ $$|A|= \left | \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array} \right | =-1 $$ \subsubsection{Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse y} Asse: $x=x_0 \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x'=2x_0-x\\ y'=y\\ \end{array} \right.$ $$|A|= \left | \begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right | =-1 $$ \subsubsection{Simmetria Assiale con asse qualsiasi} Asse: $ y=mx+q \rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{1+m^2}[(1-m^2)x+2my-2mq]\\ y'=\frac{1}{1+m^2}[2mx+(m^2-1)x+2q]\\ \end{array} \right.$ $$|A|= \left | \begin{array}{cc} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2}\\ \frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2} \end{array} \right | =-1 $$ \subsubsection{Omotetia} $\left\{ \begin{array}{l} x'=ax+h\\ y'=ay+k\\ \end{array} \right.$ $$|A|= \left | \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & a \end{array} \right | =a^2>0 $$ \subsubsection{Similitudine} Isometria * Omotetia = Similitudine \subsubsection{Similitudine Diretta} $\left\{\begin{array}{l} x'=ax-by+p\\ y'=bx+ay+q\\ \end{array} \right.$ $$|A|= \left | \begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array} \right | =a^2+b^2>0 $$ \subsubsection{Similitudine Inversa} \begin{array}{l} $x'=ax+by+p$\\ $y'=bx-ay+q$\\ \end{array} \right. $$|A|= \left | \begin{array}{cc} a & b\\ b & -a \end{array} \right | =a^2-b^2<0 $$ \subsubsection{Dilatazione e Compressione} $ |k|>1\rightarrow $ dilatazione\\ $ |k|<1\rightarrow $ compressione\\ \subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse x} $\left\{ \begin{array}{l} x'=kx\\ y'=y\\ \end{array} \right.$ \subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse $y$} $\left\{\begin{array}{l} x'=x\\ y'=ky\\ \end{array} \right.$ \subsubsection{Inclinazione} \subsubsection{Inclinazione lungo l'asse x} $\left\{\begin{array}{l} x'=x+ky\\ y'=y\\ \end{array} \right.$ \subsubsection{Inclinazione lungo l'asse y} $\left\{\begin{array}{l} x'=x\\ y'=y+kx\\ \end{array} \right.$ \subsection{Proprietà Invarianti delle Affinità} \begin{itemize} \item Un'affinità trasforma rette in rette; \item se due rette si intersecano in un punto $P$ allora le rette trasformate si intersecano in $\mathcal{T}(P)$; \item un'affinità trasfrorma triangoli in triangoli; \item un'affinità trasforma rette parallele in rette parallele; \item i punti del segmento $PQ$ vengono trasformati in punti del segmento $\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)$; \item il punto medio del segmento $PQ$ viene trasformato nel punto medio del segmento $\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)$; \item un triangolo di area $\mathcal{S}$ viene trasformato in un triangolo di area $\mathcal{S}\cdot |det(A)|$; \item un'affinità trasforma coniche in coniche: ellissi in ellissi, parabole in parabole, iperboli in iperboli, circonferenze in ellissi; \item la retta tangente ad una conica si trasforma in un'altra retta tangente alla conica trasformata. \end{itemize} \chapter{Analisi} \section{Elementi di Topologia: Intervalli} \begin{definizione}[Maggiorante $\|$Minorante$\|$]$M \|m\|$ si dice \emph{maggiorante $\|$minorante$\|$} dell'insieme $A$ se $\forall a\in A, M\geq a \|m\leq a\|$; si definisce quindi l'insieme $\mathcal{M}_A=\{M\in\mathbb{R}:\forall a\in A, M\geq a\} \| m_A=\{m\in\mathbb{R}:\forall a\in A, m\leq a\}\|$\end{definizione} \begin{definizione}[Estremo superiore (sup) $\|$ Inferiore (inf)$\|$] Si definisce \emph{estremo superiore (sup))$\|$ inferiore (inf) $\|$} di A il più piccolo $\|$grande$\|$ dei maggioranti $\|$minoranti$\|$, ovvero valgono:\\ $\left\{\begin{array}{l} \forall a\in A, sup A\geq a\\ \forall \varepsilon >0, \exists\bar{a}\in A: sup A-\varepsilon \leq\bar{a}\leq sup A \end{array}\right.$\\ e, analogamente:\\ $\left\{\begin{array}{l} \forall a\in A, inf A\leq a\\ \forall \varepsilon >0, \exists\bar{a}\in A: inf A\leq\bar{a}\leq inf A+\varepsilon \end{array}\right.$\\ Per definizione, se $A$ è \emph{illimitato superiormente $\|$inferioremente$\|$} allora si pone $sup A=+\infty \|inf A=-\infty\|$\end{definizione} \begin{definizione}[Insieme limitato/illimitato]L'insieme $A$ si dice \emph{limitato superiormente $\|$inferiormente$\|$} se esiste l'estremo superiore $\|$inferiore$\|$; si dice \emph{limitato} se è limitato sia superiormente che inferiormente; si dice \emph{illimitato superiormente $\|$inferiore$\|$} se non è limitato superiormente $\|$inferiore$\|$, ossia se $\forall x\in\mathbb{R}, \exists a\in A: a\geq x \|\forall x\in\mathbb{R}, \exists a\in A: a\leq x\|$; si dice \emph{illimitato} se è illimitato sia superiormente che inferiormente. \end{definizione} \begin{osservazione}Sia $A\subset\mathbb{R}$. Allora $A$ è limitato sse $\exists M\geq 0:\forall x\in A|x|\leq M$.\end{osservazione} \begin{definizione}[Massimo (max) $\|$minimo (min)$\|$] Si definisce \emph{massimo (max) $\|$minimo (min)$\|$} l'estremo superiore $\|$inferiore$\|$ qualora appartenga all'insieme A. Valgono quindi:\\ $\left\{\begin{array}{l} \forall a\in A, max A\geq a\\ max A\in A \end{array}\right.$\\ e, analogamente:\\ $\left\{\begin{array}{l} \forall a\in A, min A\leq a\\ min A\in A \end{array}\right.$\\ \end{definizione} \begin{definizione}[Intervallo] $A\subset\mathbb{R}$ si dice \emph{intervallo} se, dati $x, y: x<y$, allora $\forall z: x<z<y, z\in A$. \end{definizione} \begin{teorema}[Intervalli] Se $A$ è un intervallo, è necessariamente di uno dei seguenti quattro tipi:\\ \begin{description} \item [aperto] $(a,b)=]a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}, \mbox{ con } a,b\in\bar{\mathbb{R}}$;\\ \item [aperto a sx, chiuso a dx] $(a,b]=]a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}, \mbox{ con } a\in\bar{\mathbb{R}}, b\in\mathbb{R}$;\\ \item [chiuso a sx, aperto a dx] $[a,b)=[a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}, \mbox{ con } a\in\mathbb{R}, b\in\bar{\mathbb{R}}$;\\ \item [chiuso, compatto] $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}, \mbox{ con } a,b\in\mathbb{R}$.\\ \end{description} \end{teorema} \begin{notazione}[-$A$, $\lambda\cdot A, A+B$] Dato $A$ insieme, si definisce $-A=\{-y\in\mathbb{R}:y\in A\}$.\\ Dato $A$ insieme, $\lambda\in\mathbb{R}$, si definisce $\lambda\cdot A=\{\lambda\cdot x:x\in A\}$.\\ Dati $A$ e $B$ insiemi, si definisce $A+B=\{x\in\mathbb{R}:x=a+b, a\in A, b\in B\}$. \end{notazione} \begin{osservazione}[Operazioni su \textsf{inf} e \textsf{sup}] $ sup (A+B)=sup A+sup B, inf (A+B)=inf A+inf B\\ sup (-A)=-inf A, inf (-A)=-sup A\\ \lambda\geq 0: sup (\lambda\cdot A)=\lambda\cdot sup A, inf (\lambda\cdot A)=\lambda\cdot inf A\\ \lambda\leq 0: sup (\lambda\cdot A)=-\lambda\cdot inf A, inf (\lambda\cdot A)=-\lambda\cdot sup A\\ $ \end{osservazione} \begin{teorema}[Principio di Archimede] $\forall a>0, \forall b\in \mathbb{N} \mbox{ non vuoto}, \exists n\in\mathbb{N}:na>b$;\\ terza forma del Principio d'Induzione. \end{teorema} \begin{teorema}[Principio del minimo intero] Sia $A\subseteq\mathbb{R}$; allora $A$ ammette minimo. \end{teorema} \begin{teorema}[Densità di $\mathbb{Q}$] $\mathbb{Q}$ è \emph{denso} in $\mathbb{R}$, ovvero:\\ $\forall a,b\in\mathbb{R}, a<b, (a,b)_{\mathbb{Q}}\neq\emptyset$, dove con $(a,b)_{\mathbb{Q}}$ si indica l'insieme $\{x\in\mathbb{Q}:a<x<b\}$. \end{teorema} \begin{definizione}[Intorno, Palla] Sia $x_0\in A$; fissato $\delta>0$ si dice intorno di $x_0$ l'intervallo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, la cui ampiezza vale $2\cdot\delta$. \end{definizione} \begin{definizione}[Punto interno] Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in A$; $x_0$ si dice \emph{punto interno di $A$} se $\exists\delta>0:(x_0-\delta, x_0+\delta)\subset A$, ovvero se $(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A\neq\emptyset$. \end{definizione} \begin{notazione}[${\AA}$, $\textsf{int} A$] Si pone ${\AA}=int A\subset A$ l'insieme dei punti interni di $A$. \end{notazione} \begin{definizione}[Punto di frontiera] Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice \emph{punto di frontiera di $A$} se $\forall\delta>0,(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A\neq\emptyset\wedge (x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A^c\neq\emptyset$. \end{definizione} \begin{definizione}[Punto di accumulazione] Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice \emph{punto di accumulazione di $A$} se $\forall\delta>0,(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A\setminus\{x\}\neq\emptyset$, ovvero se $\forall r>0, \exists y\in A: y\neq x:y\in(x-r,x+r)$. \end{definizione} \begin{notazione}[$\sigma A$, frontiera di $A$] Si pone $\sigma A$ l'insieme dei punti di frontiera di A, e si dice \emph{frontiera di A}. \end{notazione} \begin{definizione}[Punto isolato] Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice \emph{punto isolato di $A$} se $x_0$ non è punto di accumulazione per $A$, ossia se $\exists\delta>0:(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap A\setminus\{x\}=\emptyset$. \end{definizione} \begin{notazione}[$\bar{A}$, chiusura di A] Si pone $\bar{A}=A\cup\sigma A$ l'insieme dei punti interni o di frontiera di A, e si dice \emph{chiusura di A}. \end{notazione} \begin{definizione}[Insieme aperto] L'insieme $A$ si dice \emph{aperto} se $A=\AA$, ovvero se ogni elemento di $A$ è interno, ovvero se $\forall x_0\in A$, $A$ è intorno di $x_0$, cioè $\forall x_0\in A, \exists r>0: (x_0-r,x_0+r)\subset A$. \end{definizione} \begin{definizione}[Insieme chiuso] L'insieme $A$ si dice \emph{chiuso} se $A^c$ è aperto, ovvero se $A=\bar{A}$. \end{definizione} \begin{teorema}$\forall A\subseteq\mathbb{R}$, l'insieme $\bar{A}$ è chiuso. \end{teorema} \begin{osservazione} Gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi sono $\mathbb{R}$ e $\emptyset$. \end{osservazione} \begin{teorema} L'unione di insiemi aperti è aperto.\end{definizione} \section{Relazioni e Funzioni} \subsection{Relazioni} \begin{definizione}[Relazione] Dati $A, B$ insiemi, si definisce $\mathcal{R}\subseteq A\times B$ e si dice che $\mathcal{R}$ è una \emph{relazione} da A (\emph{dominio}) a B (\emph{codominio} o \emph{immagine di A}). Se $\langle x,y\rangle\in\mathcal{R}$ si dice che $x$ è \emph{in relazione} con $y$ e si scrive $x\mathcal{R} y$.\\ Una relazione $\mathcal{R}$ può essere:\\ \begin{description} \item [R1, riflessiva] $\forall x\in A, x\mathcal{R} x$;\\ \item [R2, simmetrica] $\forall x\in A, \forall y\in B, x\mathcal{R} y\Leftrightarrow y\mathcal{R} x$;\\ \item [R2*, antisimmetrica] $\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} x) \Leftrightarrow x=y$;\\ \item [R3, riflessiva] $\forall x\in A, \forall y\in (A\cup B), \forall z\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} z)\Rightarrow (x\mathcal{R} z)$;\\ \end{description} Una relazione $\mathcal{R}$ soddisfacente le \texttt{R1}, \texttt{R2} e \texttt{R3} si dice d'\emph{equivalenza}.\\ Una relazione $\mathcal{R}$ soddisfacente le \texttt{R1}, \texttt{R2*} e \texttt{R3} si dice d'\emph{ordine}. Se inoltre vale la:\\ \begin{description} \item [R4, ordine totale] $\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\vee (y\mathcal{R} x)\Rightarrow\top$\\ \end{description} allora la relazione si dice di \emph{ordine totale}. Se non è verificata la \texttt{R1} si parla di relazione di \emph{ordine stretto}. \end{definizione} \begin{osservazione}[Relazione d'ordine totale $\leq$] Si può definire su $\mathbb{R}$ la relazione d'ordine totale $\leq$ definendo un insieme $P$ (dei numeri positivi o nulli) verificante le proprietà:\\ \begin{enumerate} \item $(x\in P)\vee (-x\in P)\Rightarrow\top$;\\ \item $(x, y\in P)\Rightarrow (x+y, x\cdot y\in P)$;\\ \end{enumerate} e definendo quindi $x\geq y\Leftrightarrow x-y\in P$.\\ Da questa relazione si ricavano le altre relazioni d'ordine $\leq$ ($x\leq y\Leftrightarrow y\geq x $), $>$ (strettamente maggiore, $x>y\Leftrightarrow (x\geq y)\wedge (x\neq y)$) e $<$ (strettamente nimore, $x<y\Leftrightarrow (y\geq x)\wedge (x\neq y)$). \end{osservazione} \subsection{Funzioni} \begin{definizione}[Funzione 1] Data $f$ relazione da A a B, $f$ si dice \emph{funzione} o \emph{applicazione} da A in B sse $\forall a\in A, \exists ! b\in B: a f b$ e si scrive:\\ $f: A\rightarrow B$;\\ $f: a\in A\rightarrow b\in B$, f(a)=b.\\ Se $a f b$ si dice che $b$ è immagine di $a$ secondo $f$ e si scrive $b=f(a)$, o che $a$ è controimmagine di $b$ secondo $f$ e si scrive $a=f^{-1}(b)$. \end{definizione} \begin{definizione}[Funzione 2] Una funzione è una terna di oggetti: l'insieme $A$ detto \emph{dominio}, l'insieme $B$ detto \emph{codominio} e una legge $f$ che associ ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. \end{definizione} \begin{definizione}[Iniettività] Una funzione $f$ si dice \emph{iniettiva} sse $\forall b\in B, \exists !! a\in A: f(a)=b$, ovvero se $\forall a_1, a_2\in A, f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$, ovvero se $\forall a_1, a_2 \in A: a_1\neq a_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)$. \end{definizione} \begin{definizione}[Suriettività, Surgettività] Una funzione $f$ si dice \emph{suriettiva} o \emph{surgettiva} sse $\forall b\in B, \exists a\in A: f(a)=b$. \end{definizione} \begin{definizione}[Biiniettività, Bigettività, Biunivocità] Una funzione $f$ si dice \emph{biiettiva} o \emph{bigettiva} o \emph{biunivoca} sse $f$ è sia iniettiva che suriettivà, ovvero sse $\forall b\in B, \exists ! a\in A: f(a)=b$. Si parla anche di funzione \emph{invertibile}, in quanto si può definire $f^{-1}$ tale che $f\circ f^{-1}=Id_B, f^{-1}\circ f=Id_A$, dove con $Id_A$ e $Id_B$ si intendono le funzioni identiche definite rispettivemente su $A$ e $B$, ovvero $Id_A: A\rightarrow A, x\rightarrow x$ e $Id_B: B\rightarrow B, x\rightarrow x$ . \end{definizione} \begin{definizione}[Monotonia] Una funzione $f: A\rightarrow B$ si dice \emph{monotòna} se verifica una delle seguenti (e allora in particolare è come descritto):\\ \begin{description} \item [monotòna crescente in senso stretto] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)<f(y)$;\\ \item [monotòna crescente in senso debole o largo] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\leq f(y)$;\\ \item [monotòna decrescente in senso stretto] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)>f(y)$;\\ \item [monotòna decrescente in senso debole o largo] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\geq f(y)$.\\ \end{description} \end{definizione} \begin{teorema} Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$, con $I$ intervallo; allora $f$ è iniettiva (e invertibile) sse è monòtona in senso stretto. \end{teorema} \begin{notazione}[$f+g$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$, $\lambda\cdot f$, $f\circ g$] Date $f$ e $g$ due funzioni definite su dominio $A\subseteq\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$, si definiscono:\\ \begin{itemize} \item $(f+g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)+g(x)$;\\ \item $(f\cdot g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)\cdot g(x)$;\\ \item $(\frac{f}{g})(x): \{x\in A:g(x)\neq 0\}\Rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow\frac{f(x)}{g(x)}$;\\ \item $\forall\lambda\in\mathbb{R}, (\lambda\cdot f)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow \lambda\cdot f(x)$.\\ \end{itemize} Date $f: A\rightarrow B$, $g: B\rightarrow C$, si definisce:\\ \begin{itemize} \item $(g\circ f)(x): A\rightarrow C, x\rightarrow g(f(x))$,\\ \end{itemize} e si dice che la funzione $g\circ f$ è la \emph{composizione} delle funzioni $g$ e $f$. \end{notazione} \begin{definizione}[Funzione Lipschitziana] $f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L>0:\forall x,y\in I, |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|$, f è detta \emph{Lipschitziana}. Il minimo $L$ che verifica la definizione è detta \emph{costante di Lipschitz} e $f$ si dice \emph{$L$-Lipschitziana}. \end{definizione} \begin{definizione}[Funzione H\"{o}lderiana] $f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L\geq0:\forall x,y\in I, |f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|^\alpha$, f è detta \emph{H\"{o}lderiana} di esponente $\alpha>0$. Si scrive: $f\in C^{0,\alpha}(I)$. \end{definizione} \section{Limiti e Forme Indeterminate} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Limite 1] $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists\delta_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|< \delta_\varepsilon}^{\exists\mathcal{I}_\varepsilon(x_0)} \Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon $$ \end{definizione} \begin{definizione}[Limite 2] $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists\delta_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|< \delta_M}^{\exists\mathcal{I}_M(x_0)} \Rightarrow|f(x)>M$$ \end{definizione} \begin{definizione}[Limite 3] $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists N_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|> N_\varepsilon}^{\exists\mathcal{I}_\varepsilon(\infty)} \Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon $$ \end{definizione} \begin{definizione}[Limite 4] $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists N_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|> N_M}^{\exists\mathcal{I}_M(\infty)} \Rightarrow|f(x)|>M $$ \end{definizione} \begin{notazione}[Limite destro, Limite sinistro] e quanto sopra vale solo per l'intervallo $(x_0, x_0+\delta) \|(x_0-\delta, x_0)\|$, allora si parla di \emph{limite destro $\|$sinistro$\|$}. \end{notazione} \begin{teorema}Cnes affinchè esiste il limite di una funzione in un punto, è che esistano in quel punto limite destro e sinistro e coincidano, ovvero:\\ $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$$ \end{teorema} \subsection{Forme Indeterminate} $\frac{0}{0}$\\ $\frac{\infty}{\infty}$\\ $0\cdot\infty$\\ $+\infty-\infty$\\ $0^0$\\ $\infty ^0$\\ $1^\infty$ \subsection{Limiti Notevoli} $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$\\ \\ $$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\mathcal{P}(n)}{\mathcal{Q}(n)}= \left \{ \begin{array}{ccc} +\infty & \quad \mbox{se} & p>q\wedge\frac{a}{b}>0\\ -\infty & \quad \mbox{se} & p>q\wedge\frac{a}{b}<0\\ \frac{a}{b} & \quad \mbox{se} & p=q\\ 0 & \quad \mbox{se} & p<q \end{array}\right. $$\\ $\mbox{dove } \mathcal{P}(n)=a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+\cdots+a_1n+a_0\mbox{ e } \mathcal{Q}(n)=b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+\cdots+b_1n+b_0$ \subsection{Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali} $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin x}{x}=2$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^2}=0$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}=1$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^x\frac{1}{x}=e$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{1}{\log a}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+\alpha x)}{x}=\alpha$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x -1}{x}=1$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x -1}{x}=\log a$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha, \alpha\in\mathbb{R}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\alpha^x}{x^\beta}=+\infty \mbox{ se }\alpha>1\mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha \log x=0\mbox{ se } \alpha>0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{n}{x})^x=e^n\mbox{ con }n\in\mathbb{R}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log x}{x^\alpha}=0\mbox{ se }\alpha >0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^x}{x^\alpha}=+\infty\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^p}=+\infty, \forall p\in\mathbb{R}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{a^n}=+\infty, \forall a\in\mathbb{R}^+_0$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n}=0$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Stirling}}$$\\ $$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Wallis}}$$\\ \subsection{Operazioni su $\pm\infty$} $+\infty+\infty=+\infty$\\ $-\infty-\infty=-\infty$\\ $\infty\cdot\infty=\infty$\\ \\ $\mbox{Sia } \ell\in\mathbb{R}\mbox{.}$\\ $\ell+\infty=+\infty$\\ $\ell-\infty=-\infty$\\ $\ell\cdot\infty=\infty\mbox{ con }\ell\neq 0$\\ $\frac{\ell}{\infty}=0$\\ $\frac{\infty}{\ell}=0\mbox{ con }\ell\neq 0$\\ $+\infty ^\ell=+\infty\mbox{ se }\ell>0$\\ $+\infty ^\ell=0\mbox{ se }\ell<0$\\ $\ell^{+\infty}=0\mbox{ se }0<\ell<1$\\ $\ell^{+\infty}=+\infty\mbox{ se }\ell>1$\\ $\ell^{-\infty}=+\infty\mbox{ se }0<\ell<1$\\ $\ell^{-\infty}=0\mbox{ se }\ell>1$ \subsection{Teoremi sui Limiti} $\mbox{Siano: }f: A=(a,b)\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x_0 \mbox{ punto di accumulazione per }A, \ell=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x); \ell '=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x);\ell _1=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x);\ell _2=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x) \mbox{ tali che } \ell,\ell ',\ell _1,\ell _2\in\bar{\mathbb{R}}\mbox{.}$\\ \begin{teorema}[dell'Unicità del Limite] $\ell=\ell '$, ovvero $\exists\ell\longrightarrow\exists !\ell $. \end{teorema} \begin{teorema}[della Permanenza del Segno] Sia $A=(a,b), x_0\in [a,b]$. $ \mbox{Se }\exists\ell\neq 0 \mbox{ allora esiste }\mathcal{I}(x_0) \\ \mbox{in cui } f(x)\mbox{ ha lo stesso}\mbox{ segno di }\ell\mbox{ (escluso al più }x_0\mbox{).}$ \end{teorema} \begin{teorema} $(\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)=g(x))\Rightarrow (\exists\ell \Leftrightarrow\exists\ell_1 \wedge \ell=\ell_1)$.\end{teorema} \begin{teorema}[del Confronto o dei Carabinieri]$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}, f(x)\leq g(x)\leq h(x) \wedge\ell =\ell _2\longrightarrow\ell _1=\ell =\ell _2 $. \end{teorema} \begin{teorema}[del Confronto]$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}, f(x)\leq g(x) \wedge\ell=+\infty \|\ell_1=-\infty\|\longrightarrow\ell _1=+\infty\|\ell=-\infty\|$. \end{teorema} \begin{teorema}[Limite della Composizione di Funzioni]Sia definita $g\circ f$.Se $\exists \lim_{y\rightarrow \ell}{g(y)}=\ell_1$ e vale una delle seguenti:\\ \begin{enumerate} \item $\exists\delta>0:\forall x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)\neq\ell $;\\ \item $g(\ell)=\ell_1 $ (continuità di $g$);\\ allora $\exists\lim_{x\rightarrow x_0}{g\circ f(x)}=\ell_1$. \end{enumerate} \end{teorema} \subsection{Teoremi di de l'H\^opital} \begin{teorema}[di de l'H\^opital 1] Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in[a,b]$. Siano valide le ipotesi:\\ \begin{enumerate} \item $f,g$ derivabili in $(a,b)$;\\ \item $\forall x\in(a,b)\setminus\{x_0\}, g'(x)\neq 0$;\\ \item $f(x_0)=g(x_0)=0$;\\ \item $\exists\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}$.\\ \end{enumerate} Allora:\\ $$ \exists\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$$\\ Eventualmente, si considera l'unico limite calcolabile. \end{teorema} \begin{teorema}[di de l'H\^opital 2] Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b \in \bar{\mathbb{R}}$. Siano valide le ipotesi:\\ \begin{enumerate} \item $f,g$ derivabili in $(a,b)$;\\ \item $\forall x\in(a,b), g'(x)\neq 0$;\\ \item $\exists\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty; \exists\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=\pm\infty$;\\ \item $\exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}$.\\ \end{enumerate} Allora:\\ $$ \exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$$\\ Lo stesso risultato vale per $x\rightarrow b^-$. \end{teorema} \subsection{Proprietà sui Limiti} Siano $\ell=\lim{x\rightarrow x_0}f(x);\ell _1=\lim{x\rightarrow x_0}g(x);\ell _2=\lim{x\rightarrow x_0}h(x)$ tali che $\ell,\ell _1,\ell _2\in\mathbb{R}$.\\ Siano: $\alpha,\lambda,\mu\in\mathbb{R}$; $a \in\mathbb{R}_0^+\setminus\{1\}$; $b\in\mathbb{R}_0^+; n\in \mathbb{N}$.\\ Sia: $x_0=\alpha\in\mathbb{R}$ oppure $x_0=\pm\infty$. Allora:\\ \begin{itemize} \item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\ell +\ell _1 $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}[\lambda\codt f(x)+\mu\cdot g(x)]=\lambda\cdot\ell+\mu\cdot\ell _1 $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^n=\ell ^n \mbox{ con }\ell>0 $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\ell}\Leftrightarrow \ell\neq 0 $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell}{\ell _1}\Leftrightarrow \ell _1\neq 0 $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}|f(x)|=|\ell | $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}\log_{a}f(x)=\log_{a}\ell $\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}b^f(x)=b^\ell$\\ \item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^{g(x)}=\ell ^{\ell_1}$ con $\ell>0$\\ \end{itemize} \subsection{Limiti di Funzioni Monotòne} \begin{teorema}Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b \in\bar{\mathbb{R}}, a<b,$ una funzione monotòna crescente $\|$ decrescente$\|$, $s_0\in(a,b)$; allora:\\ $$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^-}{f(x)}=\textsf{sup}\{f(y):y<x_0\}\|=\textsf{inf}\{f(y):y<x_0\}\|=\\ \textsf{sup} f((a,x_0))\|=\textsf{inf} f((a,x_0))\|$$ e:\\ $$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^+}{f(x)}=\textsf{inf}\{f(y):y>x_0\}\|=\textsf{sup}\{f(y):y>x_0\}\|=\\ \textsf{inf} f((x_0,b))\|=\textsf{sup} f((x_0,b))\|$$ Se $x_0\in\sigma (a,b)$, allora il teorema è vero per l'unico limite che si può calcolare. \end{teorema} \subsection{Infinitesimi} \begin{definizione}[Infinitesimo] Sia $x_0\in\bar{\mathbb{R}}$, siano $f, g$ due funzioni definite in un intorno di $x_0$ escluso al più $x_0$ tali che $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=0$. Si dice che $f$ è \emph{infinitesima di ordine superiore a $g$ per $x\rightarrow x_0$} o che $f$ è un \emph{"o" piccolo} di $g$ per $x\rightarrow x_0$ e si scrive $f=o(g,x_0)$ o semplicemente $f=o(g)$ se:\\ $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 $$ \end{definizione} \begin{notazione}[Funzioni Infinitesime] Funzioni che hanno limite uguale a $0$ per $x\rightarrow x_0$ si dicono \emph{infinitesime} e si indicano con $o(1,x_0)$.\end{notazione} \begin{definizione}[Infinitesimi di ordine $\alpha$] Sia $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0$; se $\exists\alpha>0:\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, si dice che $f$ è un \emph{infinitesimo di ordine $\alpha$ per $x\rightarrow x_0$} e che la sua \emph{parte principale} è $(x-x_0)^\alpha$. Analogamente per limite sx e per limite dx. \end{definizione} \begin{osservazione}[Proprietà "o" piccoli] Se $f_1=o(g,x_0), f_2=o(g,x_0)$, allora:\\ \begin{description} \item [1] $f_1+f_2=o(g,x)$;\\ \item [2] $\forall k\in\mathbb{R}, kf=o(kg,x_0)=o(g,x_0)$.\\ \end{description} Se $f_1=o(g_1,x_0), f_2=o(g_2,x_0)$, allora:\\ \begin{description} \item [3] $\frac{f_1+g_1}{f_2+g_2}=\frac{g_1}{g_2}$ in un intorno di $x_0$, cioè esiste un limite sse esiste l'altro, e sono uguali.\\ \item [4] $\forall x,l>0, x^k=o(x^l,x_0)=o(x^{l+k},x_o)$;\\ \item [5] $f_1\cdot f_2=o(g_1\cdot g_2,x_0)$;\\ \end{description} inoltre, se $f=o(g,x_0), g=0o(h,x_0)$, allora:\\ \begin{description} \item [6] $f=o(h,x_0)$;\\ \end{description} \end{osservazione} \begin{teorema} Sia $x_0\in\mathbb{R}, f$ continua in $x_0$ e invertibile in un intorno di $x_0$ tale che $f(x)=f(x_0)+a\cdot (x-x_0)+o(x-x_o,x_0), a\neq 0$. Allora $f^{-1}(y)=x_0+\frac{1}{a}\cdot (y-y_0)+o(y-y_0,y_0)$ dove $y_0=f(x_0)$. \end{teorema} \begin{definizione} Siano $f,g$ definite in un intorno di $x_0\in\bar{\mathbb{R}}:f,g\neq 0$ in tale intorno ad eccezione al più di $x_0$. Si dice che $f$ è \emph{asintotica} a $g$ per $x\rightarrow x_0$ se $\exists\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e si indica con $f\sim g$. \end{definizione} \begin{osservazione}[Proprietà funzioni asintotiche] \begin{description} \item [1] $f\sim g\Leftrightarrowg\sim f$\\ \item [2] $f\sim g \wedge g\sim h\Rightarrow f\sim h$\\ \end{description} \end{osservazione} \begin{osservazione} $f\sim g\Rightarrow (\exists\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\Leftrightarrow\exists\lim_{x\rightarrow x_0}g(x))$. \end{osservazione} \section{Funzioni Continue} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Funzione Continua] $y=f(x) \mbox{ si dice \emph{continua} in }x_0\mbox{ se }\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\mbox{ o,}\\ \mbox{il che è lo stesso, se } \forall\varepsilon >0\exists\delta>0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ \end{definizione} \begin{teorema} Siano $f, g$ continue in $x_0$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Allora $f+g,f\cdot g,\lambda\cdot f$ sono continue in $x_0$.\\ Se è definita $g\circ f$, anch'essa è continua in $x_0$.\\ Se è definita $f^{-1}$, anch'essa è continua in $x_0$. \end{teorema} \begin{teorema} Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, allora se }f(x_0)>0,\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta, x_0+\delta)$ in cui f(x)>0.\end{teorema} \begin{teorema}[di Weierstrass] Ogni funzione continua in un intervallo chiuso $[a,b]$ con $a,b\in\mathbb{R}$ è dotata di massimo e minimo assoluti nell'intervallo, ovvero:\\ $$f([a,b])=[\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x),\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)]$$ e in particolare $\exists c_1, c_2\in [a,b]:$\\ $$f(c_1)=\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x), f(c_2)=\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)$$ \end{teorema} \begin{teorema}[dei Valori Intermed\^i] Una funzione continua in un intervallo $I$ assume nell'intervallo tutti i valori compresi tra il minimo $m$ e il massimo $M$, ovvero, dati $x,y:f(x)<f(y), \lambda\in\mathbb{R}:f(x)<\lambda<f(y)$, allora $\forall\lambda, \exists z\in I:f(z)=\lambda$.\\ \end{teorema} \begin{teorema}[dell'Esistenza degli Zeri o di Bolzano] \label{sez:Bolzano} Se una funzione continua su un intervallo assume valori di segno opposto in due punti $x-1$ e $x_2$ dell'intervallo, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo $]x_1,x_2[$ in cui $f(x)=0$, ovvero, data $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$, continua in $[a,b]$, $a,b\in\mathbb{R},a<b:f(a)\cdot f(b)<0$, allora $\exists c\in(a,b):f(c)=0$.\\ \end{teorema} \section{Derivate} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Rapporto Incrementale] Sia $I$ intervallo con $x_0$ punto interno di $I$; si dice \emph{rapporto incrementale} in $x_0$ la funzione:\\ $$R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ definita in $I\setminus\{0\}$. \end{definizione} \begin{definizione}[Derivata] $f$ è derivabile in $x_0$ se $\exists\lim{x\rightarrow x_0}R_{x_0}f(x)\in\mathbb{R}$ e si denota con:\\ $$f'(x)=D[f(x)]=\frac{df}{dx}=\dot{f}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\rightarrow x_0}R_{x_0}f(x).$$\\ Analogamente si definiscono le derivate destra e sinistra. Se possono calcolarsi derivata destra e sinistra, allora esiste la derivata e coincide con derivata dx e sx. \end{definizione} \begin{teorema} Se $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$, ma non viceversa. \end{teorema} \begin{notazione}[Differenziabilità] $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}0f')x_0)+o(1,x_0)$\\ $f(x)-f(x_0)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+(x-x_0)\cdot o(1,x_0)$\\ $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)$$ \end{notazione} \begin{definizione}[Differenziabilità] Sia $f_I\rightarrow\mathbb{R}, x_0$ punto interno di $I$; $f$ si dice \emph{differenziabile} in $x_0$ se $\forall x\in I, \exists L>0:f(x)=f(x_=)+L\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)$. \end{definizione} \begin{definizione}[Derivata Seconda, $k$-esima] $f''(x_0)=\frac{d^2}{dx^2}=\dot{\dot{f}}(x)=\frac{d}{dx}f'(x)$. $f^{(k)}(x_0)=\frac{d^k}{dx^k}=\frac{d}{dx}f^{(k-1)}$. \end{definizione} \begin{notazione}[Classe $C^k$] $f\in C^k, k\in\mathbb{N}, k\geq 1$ sta ad indicare che $f$ è derivabile $k$ volte in $I$ con derivate continue in $I$ (in particolare, è continua $f^{(k)}$.\\ In particolare, $C^0(I)=C(I)$ denota lo spazio vettoriale delle funzioni continue in $I$; $C^{+\infty}(I)$ denota l'insieme delle funzioni che ammettono derivate di ogni ordine in $I$ e tali che $\forall k, \frac{d^k}{dx^k}f\in C(I)$. \end{notazione} \begin{osservazione} I polinom\^{i} appartengono a $C{+\infty}(\mathbb{R})$ con la proprietà $\frac{d^k}{dx^k}P=0 \mbox{ se } k>\textsf{deg}P$.\\ $e^x\in C^{+\infty}(\mathbb{R})$. \end{osservazione} \begin{teorema} La funzione $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ è differenziabile in $x_0$ punto interno di $I$ sse è derivabile in $x_0$ e in tal caso $L=f'(x)$. \end{teorema} \begin{teorema} Siano $f,g: I\rightarrow\mathbb{R}, x_0$ punto interno di $I$, $f\equiv g$ in un intorno di $x_0$; allora $f$ è derivabile in $x_0$ sse lo è $g$ e in tal caso $f'(x_0)=g'(x_0)$. \end{teorema} \subsection{Proprietà locali di una funzione} \begin{osservazione}[Derivata prima e monotonia] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$ e debolmente crescente $\|$decrescente$\|$ in un intorno di $x_0$. Allora $f'(x_0)\geq 0 \|\leq 0\|$. \end{osservazione} \begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ relativo debole (locale)] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0\in I$; $x_0$ si dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$ relativo debole (locale)} di $f$ se $\forall x\in I\cap (x_0-\delta, x_0+\delta), \exists\delta>0:f(x)\leq f(x_0) \|\geq f(x_0)\|$. \end{definizione} \begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ relativo forte (stretto)] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0\in I$; $x_0$ si dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$ relativo forte (stretto)} di $f$ se $\forall x\in I\cap (x_0-\delta, x_0+\delta), \exists\delta>0:f(x)< f(x_0) \|> f(x_0)\|$. \end{definizione} \begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ assoluto] $x_0$ di dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$ assoluto} di $f$ se $\forall x\in I, f(x)\leq \|\geq\| f(x_0)$. \end{definizione} \begin{definizione}[Punto stazionario] Se $x_0$ è tale che $f'(x_o)$ allora $x_0$ è detto \emph{punto stazionario} di $f$. \end{definizione} \begin{teorema}[Fermat] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$, sia $x_0\in I$ estremo relativo, allora $f'(x_0)=0$. \end{teorema} \begin{teorema}[Conseguenza 1 Teorema di Lagrange] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $I$ e derivabile nei punti interni di $I$, con derivata prima positiva (strettamente positiva, negativa, strett. negativa) in tali punti. Allora $f$ è crescente (decrescente, str. crescente, str. decrescente) in tale intervallo. \end{teorema} \begin{teorema}[Conseguenza 2 Teorema di Lagrange] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $I$ e derivabile nei punti interni di $I$, con derivata prima nulla in tali punti. Allora $f$ è costante in tale intervallo. \end{teorema} \begin{criterio}[Massimi, minimi relativi] Se $\exists\delta>0:f'(x)\leq 0 (\geq) \mbox{ in } (x_0-\delta,x_0) \mbox{ e } f'(x)\geq 0 (\leq 0) \mbox{ in } (x_0, x_0+\delta)$ allora $x_0$ è un punto di minimo (massimo) relativo di $f$. Se le disuguaglianze valgono con i segni forti, allora $x_0$ è punto di minimo (massimo) relativo stretto. \end{criterio} \begin{teorema} Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}\in C^2, f'(x_0)=0, f''(x_0)>0 (<), x_0$ punto interno di $I$. Allora $x_0$ è punto di minimo (massimo) relativo forte di $f$, e viceversa condizione necessaria affinchè $x_0$ sia punto di minimo (massimo) relativo forte è che $f''(x_0)\geq (\leq) 0$. \end{teorema} \subsection{Convessità} \begin{definizione}[Funzione Convessa] $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ si dice \emph{convessa} se:\\ $\forall x_0,x_1\in I: x_0<x_1, \forall t\in[0,1], f(t\cdot x_0+(1-t)\cdot x_1)\leq t\cdot f(x_0)+(1-t)\cdot f(x_1)$. \end{definizione} \begin{definizione}[Funzione Concava] $f$ si dice \emph{concava} se $-f$ è convessa. \end{definizione} \begin{teorema} Sia $f$ convessa in $I$; allora:\\ $\forall x>x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_+(x_0)\cdot (x-x_0)$;\\ $\forall x<x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_-(x_0)\cdot (x-x_0)$. \end{teorema} \begin{definizione}[Punto di flesso] $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$, $x:0$ punto interno di $I: f$ convessa (concava): in $(a,x_0)$ e concava (convessa) in $(x_0,b)$. $x_0$ si dice \emph{punto di flesso} per $f$. $x_0$ si dice \emph{flesso ascendente (discendente)} se $f$ è localmente crescente (decrescente) in un intorno di $x_0$. \end{definizione} \begin{definizione}[Asintoto obliquo] $f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ ha \emph{asintoto obliquo} a $+\infty$ se $\lim_{x\rightarrow +\infty}=\pm\infty$ e:\\ $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$$;\\ $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-a\cdot x=b\in\mathbb{R}$$.\\ In questo caso l'asintoto obliquo è $y:a\cdot x+b$. \end{definizione} \begin{osservazione} $f,g$ convesse in $I\Rightarrow f+g$ convessa in $I$. \end{osservazione} \subsection{Teoremi} \begin{teorema}[di Rolle] Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ e sia $f(a)=f(b)$; allora $\exists x_0\in (a,b)$ t.c. $f'(x_0)=0$.\\ \end{teorema} \begin{teorema}[di Lagrange o del Valor Medio] Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$; allora $\exists x_0\in]a,b[$ t.c. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_0)$.\\ \end{teorema} \begin{teorema}[di Cauchy] Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni continue su $[a,b]$ e derivabili su $]a,b[$ e sia $g'(x)\neq 0\forall x\in[a,b]$; allora $\exists x_0\in]a,b[$ t.c. $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$.\\ \end{teorema} \subsection{Teoremi Funzioni Convesse} \begin{teorema}[1] Sia $f: I\rightarrow\mathbb{R}$ convessa; siano $x_0, x_1\in I: x_0<x_1$. Allora $\forall x\in [x_0,x_1], f(x)\leq f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\cdot (x-x_0)\stackrel{def}{=}r_{x_0x_1}(x);\\ \forall x\not\in[x_0,x_1], f(x)\geq r_{x_0x_1}(x)$. \end{teorema} \begin{teorema}[2] Siano $f: I\rightarrow\mathbb{R}$ convessa in $I$, $r$ una retta; Se $\exists x_0<x_1<x_2\in I:f(x_j)=r(x_j), j=0,1,2$ allora $\forall x\in[x_0,x_2], f(x)=r(x)$. \end{teorema} \begin{teorema}[3] Sia $f: I\rightarrow\mathbb{R}$, sia $x_0\in I$. Sia:\\ $R_{x_0}f:I\setminus\{x_0\}\rightarrow\mathbb{R},\\ R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,\\ allora $f$ è convessa in $I$ sse $R_{x_0}f$ è crescente in $I\setminus\{x_0\}$. Eventualmente, si considera l'unico rapporto incrementale calcolabile. \end{teorema} \begin{teorema} Sia $f$ convessa in $I$; allora è continua in tutti i punti interni di $I$ in quanto $\exists\lim R_{x_0}f(x)$. \end{teorema} \begin{teorema}[Convessità-derivabilità] Sia $f: (a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $(a,b)$; $f$ è convessa (concava) in $(a,b)$ sse $f'$ è crescente (decrescente) in $(a,b)$, è strettamente convessa (concava) se $f'$ è str. crescente (decrescente). \end{teorema} \subsection{Derivate Fondamentali} %\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivate} a pag.\pageref{tab:Derivate} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{c|c} $f(x) $ & $f'(x) $\\ \hline $k $ & $0 $\\ $x^n $ & $nx^{n-1} $\\ $\sin x $ & $\cos x $\\ $\cos x $ & $-\sin x $\\ $\tan x $ & $1+\tan ^2 x $\\ $\tan x $ & $\frac{1}{\cos ^2 x} $\\ $\cot x $ & $-1-\cot ^2 x $\\ $\cot x $ & $-\frac{1}{\sin ^2 x} $\\ $e^x $ & $e^x $\\ $a^x $ & $a^x \log a $\\ $\log x $ & $\frac{1}{x}$\\ $\log_{a} x $ & $\frac{log_{a}e}{x}$\\ $\arcsin x $ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\ $\arccos x $ & $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\ $\arctan x $ & $\frac{1}{1+x^2} $\\ $\textsf{arccot} x $ & $-\frac{1}{1+x^2} $ \end{tabular} \end{center} \caption{Derivate Fondamentali} \label{tab:Derivate} \end{table} \subsection{Regole di Derivazione} Siano $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabili in $x_0$, $x_0$ punto interno di $I$, $\lambda\in\mathbb{R}$; allora valgono i seguenti teoremi algebrici o regole di derivazione.\\ %\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivazione} a pag.\pageref{tab:Derivazione} \begin{table}[htbp] \begin{center} \begin{tabular}{ll} $y=f(x)\pm g(x) $ & $y'=f'(x)\pm g'(x) $\\ $y=k\cdot f(x) $ & $y'=k\cdot f'(x) $\\ $y=f(x)\cdot g(x) $ & $y'=f'(x)\cdot g(x)+f(cx)\cdot g'(x) $\\ $y=\frac{f(x)}{g(x)} $ & $y'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(cx)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $\\ $y=f(g(h(x))) $ & $y'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) $\\ $y=[f(x)]^{g(x)} $ & $y'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\cdot\log f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}] $ \end{tabular} \end{center} \caption{Regole di Derivazione} \label{tab:Derivazione} \end{table} \begin{osservazione}[Conseguenza] I polinom\^{i} sono derivabili in $\mathbb{R}$ e la derivata di un polinomio di grado $n$ è un polinomio di grado $n-1$. \end{osservazione} \begin{teorema}[Derivabilità della funzione inversa] Sia $f$ strettamente monotòna definita in $I$ e ivi continua, derivabile in $x_0$ punto interno di $I$ tale che $f'(x_0)\neq 0$, allora $f$ è invertibile e la sua inversa è derivabile in $f(x_0)$. Inoltre:\\ $(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}$\\ $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ \end{teorema} \section{Integrali} \subsection{Definizione} \begin{definizione}[Integrale] $\int f(x)\, dx=F(x)+c \Leftrightarrow F'(x)=f(x) $\\ $F(x)$ si dice \emph{primitiva} di $f(x)$. \end{definizione} \begin{teorema}[di Torricelli-Barrow] $\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a) $ \end{teorema} \subsection{Integrale di Riemann} \begin{definizione}[Partizione] Si dice \emph{partizione} di $[a,b]$ ogni insieme di punti $a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$. Data $\delta$ partizione di $[a,b]$, si ha:\\ $$[a,b]=\bigcup_{j=0}^{n-1}[t_j,t_{j+1}]$$ \end{definizione} \begin{notazione}[Somme superiori e inferiori] $$s(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{inf}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}$$ $$S(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}$$ \end{notazione} \begin{definizione}[Funzione Riemann-integrabile] $f$ è \emph{integrabile} se esiste unico l'elemento separatore tra $s(f)$ e $S(f)$ ovvero se $\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)$. Tale elemento separatore si dice \emph{integrale} di $f$ in $[a,b]$ e si scrive:\\ $$\int_a^bf(x)\,dx=\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)$$ ovvero $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ limitata è integrabile in $[a,b]$ se $\forall\varepsilon>0, \exists\delta: S(f,\delta)-s(f,\delta)\leq\varepsilon$. \end{definizione} \begin{osservazione}[Conseguenza] $f$ monotòna è integrabile.\\ $f$ continua è integrabile.\\ Lo spazio $\mathcal{R}$ delle funzioni integrabili è vettoriale e l'applicazione $\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R}, f\rightarrow\int_1^b f(t)\,dt$ è lineare. \end{osservazione} \begin{notazione} $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$\\ $\int_a^a f(x)\,dx=0$ \end{notazione} \begin{definizione}[Funzione integrale] $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ R-integrabile in $[a,b]$, $c\in[a,b]$ fissato; la funzione $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ definita da:\\ $$F(x)=\int_c^xf(t)\,dt$$ si dice \emph{funzione integrale} di $f$. \end{definizione} \subsection{Teoremi} \begin{teorema}[della Media] $\stackrel{inf}{[a,b]}f\leq\frac{1}{b-a}\cdot \int_a^bf(x)\,dx\leq\stackrel{sup}{[a,b]}f$\\ $$ \exists c\in [a,b]\mbox{ t.c. } f(c)=\frac{\int_a^b f(x)\, dx}{b-a}$$\\ \end{teorema} \begin{teorema}[fondamentale del Calcolo Integrale] $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ R-integrabile in $[a,b]$; allora:\\ \begin{enumerate} \item $\forall c\in[a,b], F(x)=\int_c^xf(t)\,dt$ è lipschitziana e $|F(x)-F(y)|\leq\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[a,b]}|f(t)|\cdot |y-x|$;\\ \item se $f$ è continua in $x_0\in(a,b)$, allora $F$ è derivabile in $x_0$ e $F'(x_0)=f(x_0)$;\\ \item se $f$ è continua in $a$ ($b$), allora $F$ è derivabile a dx (sx) in $a$ ($b$) e $F'_+(a)=f(a) (F'_-(b)=f(b))$;\\ \item $\forall \alpha,\beta\in[a,b]: \alpha\leq\beta, \int_\alpha^\beta f(x)\,dx=F(\beta)-F(\alpha)$\\ \end{enumerate} \end{teorema} \subsection{Integrali Notevoli Fondamentali} $$\int x^n \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\mbox{ con } n\neq -1 $$\\ $$\int \frac{1}{x}\, dx=\log |x|+c $$\\ $$\int\sin x\, dx=-\cos x +c $$\\ $$\int\cos x\, dx=\sin x +c $$\\ $$\int\frac{1}{\cos ^2 x}\, dx=\tan x +c $$\\ $$\int (1+\tan ^2 x) \, dx=\tan x +c $$\\ $$\int\frac{1}{\sin ^2 x}\, dx=-\cot x +c $$\\ $$\int (1+\cot ^2 x) \, dx=-\tan x +c $$\\ $$\int e^x\, dx=e^x +c $$\\ $$\int a^x\, dx=a^x\cdot log_a e +c $$\\ $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c $$\\ $$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x +c $$ \subsection{Regole di Integrazione} \begin{description} \item [1a] $\displaystyle \int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot \int f(x)\, dx$\\ \item [1b] $\displaystyle \int [f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)]\, dx=\int f_1(x)\, dx+\int f_2(x)\, dx+\cdots +\int f_n(x)\, dx$\\ \item [2, monotonia] $\forall x\in [a,b], f(x)\leq g(x)\Rightarrow\int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b g(x)\,dx$\\ \item [2bis] $\forall x\in [a,b], g(x)\geq 0\Rightarrow\int_a^b g(x)\,dx\geq 0$\\ \item [3, spezzamento] $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$\\ \end{description} \subsection{Altri Integrali Notevoli} $\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+c $\\ $\displaystyle \int\sqrt{a^2+x^2}\, dx=\frac{x}{2}\cdot \log (x+\sqrt{a^2+x^2})+\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^2+x^2}+c $\\ $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{a^2+x^2}|+c $\\ $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx=\arcsin\frac{x}{a}+c $\\ $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+c $\\ $\displaystyle \int\frac{1}{x^2-a^2}\, dx=\frac{1}{2a}\cdot\log |\frac{x-a}{x+a}|+c $\\ $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+px+q}}\, dx=\log |x+\frac{p}{2}+\sqrt{(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}}|+c $\\ $\displaystyle \int\cos \alpha x\cos \beta x\, dx=\frac{\sin (\alpha+\beta)x}{2(\alpha+\beta)} +\frac{\sin (\alpha-\beta)x}{2(\alpha-\beta)}+c $\\ $\displaystyle \int e^x\cdot \sin x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c$\\ $\displaystyle \int e^x\cdot \cos x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c$ \subsection{Integrali per Serie} $\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\sin ^{2n}x\, dx=\frac{1}{2n}[-\sin^{2n-1}x\cos x+(2n-1)\mathcal{I}_{n-1}] \mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=-\frac{1}{2}\sin x \cos x+\frac{1}{2}x+c $\\ $\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\log ^{n}x\, dx=x\log^n x-n\cdot\mathcal{I}_{n-1} \mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=x\log x-x+c $\\ $\displaystyle \mathcal{I}_n=\int x^n\cdot e^x\, dx=x^n\cdot e^x-n\cdot \mathcal{I}_{n-1} \mbox{ con }\mathcal{I}_0=e^x+c; \mathcal{I}_1=xe^x-x+c$\\ $\displaystyle \mathcal{I}_{n+1}=\int\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx=\frac{x}{2n\cdot(1+x^2)^n}+\frac{2n-1}{2n}\mathcal{I}_{n-1}\mbox{ con }\mathcal{I}_0=\arctan x+c; \mathcal{I}_1=\frac{x}{2(1+x^2)}+frac{1}{2}\arctan x+c $ \subsection{Integrazione di Funzioni Goniometriche} $\displaystyle \int\sin^{2k+1}x\, dx=\int\sin^{2k}x\cdot\sin x\, dx=-\int(1-\cos^2 x)^k\, d\cos x $\\ $\displaystyle \int\sin^{2k}x\, dx=\frac{1}{2}\int(\frac{1-\cos 2x}{2})^k\, d2x$ \subsection{Integrazione di Funzioni Razionali} \begin{eqnarray*} f(x) & = & \frac{P(x)}{Q(x)}=\\ & = & S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}=\\ & = & S(x)+\frac{A_1}{(x-x_1)}+\frac{A_2}{(x-x_1)^2}+ \cdots+\frac{A_{r_1}}{(x-x_1)^{r_1}}+\\ & + & \frac{B_1}{(x-x_2)}+\frac{B_2}{(x-x_2)^2}+ \cdots+\frac{R_{r_2}}{(x-x_2)^{r_2}}+\cdots+\\ & + & \frac{\alpha_1\cdot x+\beta_1}{(x^2+a_1\cdot x+b_1)}+\cdots+\frac{\alpha_{l_1}\cdot x+\beta_{l_1}}+\frac{\gamma_1\cdot x+\delta_1}{(x^2+a_1\cdot x+b_1)}+\cdots+\\ & + & \frac{\gamma_{l_2}\cdot x+\delta_{l_2}}+\cdots \end{eqnarray*} $$\mathcal{I}=\int\frac{P_1(x)}{P_2(x)}\, dx=\int Q(x)\, dx+\int\frac{R(x)}{P_2(x)}\, dx \mbox{ dove vale }P_1(x)=$$ $$P_2(x)\cdot Q(x)+R(x)\mbox{ ed è } \varrho R(x)<\varrho P_2(x)$$ Considerato il caso in cui $\varrho P_2(x)=2$ e quindi $\varrho R(x)=0\vee 1$, essendo $P_2(x)=ax^2+bx+c$ con $a,b,c$ costanti assegnate, dette $\alpha_1,\alpha_2$ le radici di $P_2(x)=0$, definito $\Delta=b^2-4ac$, considerati $A$ e $B$ costanti in $\mathbb{R}$, si hanno i seguenti tre casi, a seconda del segno di $\Delta$: \begin{enumerate} \item $\Delta P_2(x)>0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha_1}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{x-\alpha_2}\, dx= \frac{A}{a}\log |x-\alpha_1|+\frac{B}{a}\log |x-\alpha_2|+c$\\ \item $\Delta P_2(x)=0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{(x-\alpha)^2}\, dx= \frac{1}{a} A\log |x-\alpha|-\frac{A\alpha +B}{a(x-\alpha)}+c$\\ \item $\Delta P_2(x)<0\longrightarrow \mathcal{I}=\int\frac{gx+h}{ax^2+bx+c}\,dx=$ \\ $=gs\int\frac{d(ax^2+bx+c)}{x^2+bx+c}+ ht\int\frac{dx}{(kx+j)^2+1}=$ \\ $=gs\log|ax^2+bx+c|+ht\arctan(kx+j)+c$ \end{enumerate} \subsection{Tecniche di Integrazione} $\mbox{{\bfseries Integrazione per Sostituzione}: }x=g(t)\longrightarrow \int f(x)\, dx=\int f(g(t))\cdot g'(t)\, dt$\\ $\mbox{{\bfseries Integrazione per Parti}: }\int f'(x)g(x)\, dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\, dx$ \subsection{Integrazione Numerica \footnote{Marcello Pedone, {\itshape Integrazione Numerica e Valutazione dell'errore}, {\ttfamily http://www.matematicamente.it}}} \begin{metodo}[dei rettangoli] Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di $ n $ rettangoli la cui base tende a $ 0 $ tendendo l'errore $ e $ a $ 0 $ e la cui altezza è pari al valore della funzione all'estremo sinistro o destro della base.\\ $\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{n}\cdot [f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})] $\\ $\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^2}{2n}\cdot M \mbox{ con }|f'(x)|\leq M $\\ \end{metodo} \begin{metodo}[dei trapez\^i] Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di $ n $ trapezi la cui altezza tende a $ 0 $ tendendo l'errore $ e $ a $ 0 $ e le cui basi sono i valori della funzione all'estremo destro e sinistro della base.\\ $\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{2n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+2\cdot[f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})]] $\\ $\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^3}{12n^2}\cdot M \mbox{ con }|f''(x)|\leq M $\\ \end{metodo} \begin{metodo}[di Cavalieri-Simpson] $\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{3n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+4\cdot [f(x_1)+f(x_3)+\cdots ]+2\cdot [f(x_2)+f(x_4)+\cdots]] $\\ $\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}\cdot M \mbox{ con }|f^{iv}(x)|\leq M $ \end{metodo} \subsection{Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superfici di Solidi di Rotazione} $\displaystyle \ell=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx $\\ $\displaystyle \left\{\begin{array}{c} x=x(t)\\y=y(t) \end{array} \right. \rightarrow \ell =\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\, dt $\\ $\displaystyle \mathcal{V}=\pi\cdot\int_a^b[f(x)]^2\, dx $\\ \begin{teorema}[di Guldino] Il volume di un solido generato da una superficie piana $\mathcal{S}$ che compie una rotazione completa intorno ad una retta del suo piano che non l'attraversa è dato dal prodotto dell'area di $\mathcal{S}$ per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro di $\mathcal{S}$. \end{teorema}\\ \begin{teorema}[Regola di Archimede] L'area di un segmento parabolico è i $\frac{2}{3}$ dell'area del rettangolo in cui è inscritto. \end{teorema} $$S_{laterale}=2\cdot\pi\int_a^b f(x)\cdot\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx$$ \section{Polinomio di Taylor} \begin{teorema} $n\in\mathbb{N},\delta P=\delta Q=n:f(x)=P(x)+o((x-x_0)^n,x_0)=Q(x)o((x-x_0)^n,x_0)\Rightarrow P\equiv Q$ \end{teorema} \begin{teorema}[Polinomio e Formula di Taylor, Polinomio di Mac Laurin] $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b)$, $f$ derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ e $n$ volte in $x_0$. Allora la seguente è una approssimazione di $f$:\\ $$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k+o((x-x_0)^n,x_0)$$\\ e si dice \emph{polinomio di Taylor} di grado $n$ centrato in $x_0$ il seguente:\\ $$P_{n,x_0}f=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k$$\\ Per $x_0=0$ si ha il \emph{polinomio di Mac Laurin}. \end{teorema} \subsection{Formula di Taylor con resto di Lagrange} \begin{teorema} Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b), f$ derivabile $n+1$ volte in $x_0$; allora $\exists c=c(x)\in(\textsf{min} \{x_0,x\}, \textsf{max}\{x_0,x\}):$\\ $$f(x)=P_{n,x_0}f(x)+\frac{f^{(n+1)}(c(x))}{(n+1)!}\cdot (x-x_0)^{n+1}$$ \end{teorema} \subsection{Formula di Taylor con resto di integrale} $f:I\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in I, f\in C^n(I)$: $$f(x)-P^{x_0}_{n}f(x)=\frac{1}{n!}\cdot\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)(t)\cdot(x-t)^{n}\,dt}$$ \subsection{Sviluppi di Taylor} $$ f(x)=P_{n,0}f+o(x^n,0)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k+o(x^n,0) $$ \hline\\ \hline\\ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n,0)$$ $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}{n}+o(x^n,0)$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)$$ $$\tan x=P_{6,0}\tan+o(x^6,0)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)$$ $$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots+ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$ $$\arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\cdots-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$ $$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)$$ $$\cosh x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)$$ $$\tanh x=P_{6,0}\tanh+o(x^6,0)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)$$ $$\textsf{arcsinh} x=x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+ \cdots+(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$ $$\textsf{arctanh} x=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+ \cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha\cdot x+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2}\cdot x^2+\cdots+ \frac{\alpha !}{(\alpha-n)!\cdot n!}\cdot x^n+o(x^n,0)$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^n\cdot x^n+o(x^n,0)$$ \section{Studio di Funzione} \begin{enumerate} \item Dominio;\\ \item Intersezione con gli assi;\\ \item Segno;\\ \item Limite (asintoti):\\ \begin{enumerate} \item Asintoto Verticale: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty $;\\ \item Asintoto Orizzontale: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\ell$: $\varrho den=\varrho num$;\\ \item Asintoto Obliquo: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$: $\varrho den=\varrho num-1$:\\ $m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x} $\\ $n=\lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-mx] $\\ $A.Ob.: y=mx+n$\\ \end{enumerate} \item Derivata Prima: Crescenza$^+ $/decrescenza$^- $; Punti di Massimo e Minimo Relativi$^0 $;\\ \item Derivata Seconda: Concavità verso l'alto$^+ $/basso$^- $; Punti di Flesso$^0 $. \end{enumerate} \section{Approssimazione di Radici Reali} \begin{metodo2}[di Bisezione o Dicotomico] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $. Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}). Considerato il nuovo punto $ f(\frac{a+b}{2}) $, la radice si troverà tra $ ]a,\frac{a+b}{2}[[\Leftrightarrow f(a)\cdot\frac{a+b}{2}<0 $, oppure tra $ ]\frac{a+b}{2},b[[\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\cdot f(b)<0 $. Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore. \end{metodo2} \begin{metodo2}[della Secante] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $. Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}). Per determinare questo valore, si consideri la retta passante per i due punti $ (a, f(a)) $ e $ (b, f(b)) $; questa retta intersecherà l'asse $ x: y=0 $ in un punto $ c $ a cui corrisponderà $ f(c) $. La radice si troverà tra $ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 $, oppure tra $ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 $. Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore. \end{metodo2} \begin{metodo2}[della Tangenteo di Newton] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $. Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}). Per determinare questo valore, si consideri la retta tangente alla curva in $ (a, f(a)) $ o $ (b, f(b)) $ e t.c. intersechi l'asse $ x: y=0 $ in un punto $ c\in ]a,b[ $ a cui corrisponderà $ f(c) $. La radice si troverà tra $ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 $, oppure tra $ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 $. Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore. \end{metodo2} \chapter{Combinatoria e Probabilità} \section{Combinatoria} \subsection{Fattoriale} \begin{definizione}[Fattoriale] $$ n!=1\cdot 2\cdot\, \cdots\, \cdot (n-1)\cdot n=\prod_{i=1}^{n}i $$ $$\left\{ \begin{array}{l} 0\,!=1 \\ n\,!=n\cdot(n-1)\, ! \mbox{ per } n\geq 1 \end{array} \right.$$ \end{definizione} \subsection{Coefficienti Binomiali} \begin{definizione}[Coefficiente Binomiale] $$ {n \choose k}= \frac{n\, !}{(n-k)\,!\: k\, !} $$ \end{definizione} $${n \choose k} = {n \choose n-k}$$ $${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$$ \subsection{Combinazioni} \begin{itemize} \item Natura. \end{itemize} $ \mathcal{P}_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}$ \\ $ \mathcal{C}'_{n,k}= {n+k-1 \choose k}$ \subsection{Permutazioni} \begin{itemize} \item Ordine. \end{itemize} $\mathcal{P}_{n}=n!$\\ $\mathcal{D}'_{n}^{k_1,k_2,\cdots ,k_n}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot\,\cdots\,\cdot k_n!}$ \subsection{Disposizioni} \begin{itemize} \item Natura; \item ordine. \end{itemize} $\mathcal{D}_{n,k}=\mathcal{C}_{n,k}\cdot\mathcal{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$\\ $\mathcal{D}'_{n,k}=n^k$ \section{Probabilità} \subsection{Definizioni} \begin{enumerate} \item {\bfseries Definizione Classica (Laplace)}: per casi \emph{equiprobabili} è $p=\frac{f}{n}$;\\ \item {\bfseries Definizione Frequentista (Legge dei Grandi Numeri o Legge Empirica del Caso)}: $\displaystyle p=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f}{n}$;\\ \item {\bfseries Definizione Soggettivista}; \item {\bfseries Definizione Assiomatica}: \begin{enumerate} \item $p(\emptyset)=0$\\ \item $p(\Omega)=1$\\ \item $0\leq f\leq n\rightarrow 0\leq \frac{f}{n}\leq 1\rightarrow0\leq p\leq 1$\\ \item $p(A^c)=p(\bar{A})=1-p(A)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Probabilità Condizionata} $p(A\setminus B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}$ \subsection{Somma} \begin{itemize} \item Per eventi \emph{incompatibili} (tali cioè che $A\cap B=\O$): $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.\\ \item Per eventi \emph{compatibili} (tali cioè che $A\cap B\neq\O$): $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)$. \end{itemize} \subsection{Prodotto} \begin{itemize} \item Per eventi \emph{stocasticamente indipendenti} (tali cioè che $p(A)=p(A\setminus B$): $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$.\\ \item Per eventi \emph{stocasticamente dipendenti} (tali cioè che $p(A)\neq p(A\setminus B$): $p(A\cup B)=p(A)\cdot p(B\setminus A)$. \end{itemize} \subsection{Formula di Bayes} $$p(H_i\setminus E)=\frac{p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)}{\displaystyle \sum^n_1 p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)} $$ \subsection{Distribuzione Binomiale di Bernoulli} $$p_{n,k}={n \choose k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} $$ \subsection{Speranza Matematica o Valor Medio} $\displaystyle \mathcal{M}(X)=\sum_1^n x_i p_i$ \chapter{Aritmetica} \section{Rappresentazione in base \textsl{b}} \subsection{Rappresentazione in base \textsl{b} degli interi} Ogni intero positivo $N$ si pu\`o scrivere nella forma\\ \begin{center} $N = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0$, \end{center} dove $0\leq a_i < b$ per ogni $i = 1,\ldots,n$. \subsection{Rappresentazione in base \textsl{b} dei reali} Ogni numero reale $R$ si pu\`o scrivere nella forma\\ \begin{center} $\displaystyle R = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0+\sum_{i=1}^{\infty} a_{-i}b^{-i}$, \end{center} dove $0\leq a_i < b$ per ogni $i\leq n$, positivo, negativo, o nullo. \section{Divisibilit\`a} \subsection{Divisibilit\`a} \begin{definizione}[Divisibilit\`a] Un numero intero c \`e detto divisibile per un secondo numero intero b diverso da zero se e solo se esiste un terzo numero intero x tale che $c = b\cdot x$. \end{definizione} \begin{osservazione} Si dice anche, equivalentemente, che b \`e un divisore di c ovvero che c \`e un multiplo di b. La propriet\`a "c \`e divisibile per b" ovvero "b \e' un divisore di c" ovvero "c \`e un multiplo di b" si indica con la grafia: \begin{center} $b|c$ \end{center} \end{osservazione} \begin{teorema}[Divisione euclidea] Siano a e b due interi, con $a\neq 0$. Allora esistono due interi q ed r tali che \begin{center} $b=aq+r,$\\ $0\leq r < |a|$. \end{center} Inoltre q ed r sono unici. Questa si chiama divisione euclidea, o divisione con resto. In tal caso b si chiama dividendo, a si chiama divisore, q si chiama quoziente e r si chiama resto. \end{teorema} \subsection{Numeri primi} \begin{definizione}[Numeri primi] Un numero primo \`e un intero $> 1$ che ha come divisori positivi soltanto 1 e se stesso. Esistono infiniti numeri primi. \end{definizione} \begin{teorema}[Teorema fondamentale - fattorizzazione] Ogni $n>1$ pu\`o essere scritto in uno ed in un solo modo come prodotto di fattori primi: \begin{center} $n = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdots p_m^{n_m}$, \end{center} dove $p_1, p_2,\ldots p_m$ sono primi distinti e $n_1, n_2, \ldots n_m$ sono interi $\geq 1$. Tale scrittura si dice \textsl{fattorizzazione} di $n$. La fattorizzazione \`e unica. \end{teorema} \subsection{Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo} \begin{definizione} Dati due interi $a$ e $b$, un intero $c$ viene detto un loro divisore comune se \begin{center} $c|a$ e $c|b$. \end{center} \end{definizione} \begin{definizione}[Massimo Comun Divisore] Un intero positivo D \`e detto Massimo Comun Divisore dei due interi (positivi) $a$ e $b$ se: \begin{enumerate} \item $D|a$ e $D|b$ \item se $x|a$ e $x|b$ allora $x|D$ \end{enumerate} e si indica con MCD($a,b$) o $D=(a,b)$. \end{definizione} \begin{definizione}[Interi comprimi] Due interi $a$ e $b$ si dicono \textsl{comprimi} se MCD(a,b)=1. \end{definizione} \begin{definizione}[Combinazioni lineari] Assegnati due numeri interi A e B si dicono loro combinazioni lineari tutti gli interi \begin{center} $h\cdot A + k\cdot B$ \end{center} ottenibili sommando o sottraendo tra loro multipli di A e di B. \end{definizione} \begin{teorema}[Teorema di Bezout] Siano $a$ e $b$ due interi e sia $D = (a,b)$. Allora esistono sempre interi $m$ ed $n$ tali che \begin{center} $ma + nb = D$ \end{center} \end{teorema} \begin{definizione}[Minimo Comune Multiplo] Si dice Minimo Comune Multiplo di due interi positivi $a$ e $b$ un intero $m$ tale che: \begin{enumerate} \item $a|m$ e $b|m$ \item per ogni $n$ tale che $a|n$ e $b|n \Longrightarrow m|n$ \end{enumerate} e si indica con mcm(a,b). \end{definizione} \section{Congruenze} \subsection{Congruenza} \begin{definizione}[Congruenza] Si dice che $a$ \`e congruo a $b$ modulo $m$ se $m|(a-b)$ e si indica con \begin{center} $a \equiv b \bmod m$. \end{center} \end{definizione} La congruenza modulo $m$ \`e una relazione di equivalenza, infatti:\\ \begin{itemize} \item qualunque sia $a$, $a \equiv a \bmod m$ (riflessivit\`a)\\ \item se $a \equiv b \bmod m$ allora $b \equiv a \bmod m$ (simmetria)\\ \item se $a \equiv b \bmod m$ e $b \equiv c \bmod m$ allora $a \equiv c \bmod m$ (transitivit\`a).\\ \end{itemize} \subsection{Classi di congruenza} L'insieme quoziente dei numeri interi rispetto alla relazione di congruenza modulo $m$ si chiama \textbf{insieme delle classi resto modulo $m$}, ed è formato da $m$ classi distinte. La classe di resto modulo $m$ di un numero $a$ si indica con \begin{center} $[a]_m$ \end{center} Per definizione $[a]_m + [b]_m = [a+b]_m$ e $[a]_m\cdot [b]_m = [a\cdot b]_m$. \begin{osservazione} Saper decidere se un numero $a\in [0]_m$ equivale a saper decidere se b \`e divisibile per m. \end{osservazione} \subsection{Criteri di congruenza} Tali criteri servono per determinare a che cosa \`e congruo un numero intero. Questi diventano \textsl{criteri di divisibilit\`a}, cio\`e $a$ \`e divisibile per $m$, se $a \equiv 0 \bmod m$ \begin{itemize} \item \textbf{Modulo 2.} Un intero \`e congruo modulo 2 alla sua cifra delle unit\`a. \item \textbf{Modulo 3.} Un intero \`e congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre. \item \textbf{Modulo 4.} Un intero \`e congruo modulo 4 all'intero constituito dalle sue due ultime cifre a destra. \item \textbf{Modulo 5.} Un intero \`e congruo modulo 5 alla sua cifra delle unit\`a. \item \textbf{Modulo 10.} Un intero \`e congruo modulo 10 alla sua cifra delle unit\`a. \item \textbf{Modulo 11} Un intero è congruo modulo 11 alla somma a segno alterno delle sue cifre. \end{itemize} \subsection{Il Teorema di Wilson} \begin{teorema}[Teorema di Wilson] Se $p$ \`e primo allora \begin{center} $(p-1)! \equiv -1 \bmod p$. \end{center} \end{teorema} \subsection{Il Teorema di Eulero-Fernat} La funzione euleriana $\phi (m)$ esprime il numero degli interi minori di $m$ primi con $m$, ovvero il numero degli interi $r$ tale che: \begin{enumerate} \item $1\leq r < m$; \item $(r,m) = 1$. \end{enumerate} \begin{teorema}[Teorema di Eulero-Fermat] Se $(b,m) = 1$ allora $b^{\phi (m)} \equiv 1 \bmod m$. \end{teorema} \subsection{Piccolo Teorema di Fermat} \begin{teorema}[Piccolo Teorema di Fermat] Sia a un intero e p un primo tale che (a,p)=1. Allora \begin{center} $a^{p-1} \equiv 1 \bmod p$. \end{center} \end{teorema} \begin{teorema}[Corollario del piccolo Teorema di Fermat] Per ogni intero a si ha che \begin{center} $a^p \equiv a \bmod p$ \end{center} \end{teorma} \section{Principio di induzione} Sia $P_n$ una successione di proposizioni, ciascuna collegata a un numero naturale $n$. Supponiamo che \begin{enumerate} \item $P_0$ \`e vera, \item per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha l'implicazione $P_n$ vera \Rightarrow $P_{n+1}$ vera. \end{enumerate} Allora $P_n$ \`e vera per ogni $n\in \mathbb{N}$. \chapter{Alfabeto Greco} %\ding{42} Tabella \ref{tab:AGreco} a pag.\pageref{tab:AGreco} \begin{table}[tbhp] \begin{center} \begin{tabular}{ccll} A & $ \alpha $ & alfa/alpha & angoli piani \\ B & $ \beta $ & beta & angoli piani \\ $ \Gamma $ & $ \gamma $ & gamma & angoli piani \\ $ \Delta $ & $ \delta $ & delta & area; $ \Delta=b^2-4ac $ (\emph{discriminante})\\ E & $ \epsilon $/$ \varepsilon $ & epsilon & \\ Z & $ \zeta $ & zeta & \\ H & $ \eta $ & eta & \\ $ \Theta $ & $ \theta $/$ \vartheta $ & theta & angoli \\ I & $ \iota $ & iota & \\ K & $ \kappa $ & kappa & \\ $ \Lambda $ & $ \lambda $ & lambda & scalare di un vettore \\ M & $ \mu $ & mu/mi & {\sffamily [SI]}: micro ($ 10^{-6} $)\\ N & $ \nu $ & ni/nu & $ \nu $: frequenza\\ $ \Xi $ & $ \xi $ & xi & \\ O & $ \omicron $ & omicron & \\ $ \Pi $ & $ \pi $/$ \varpi $ & pi/pi greco & $ \Pi $: produttoria; $ \pi \simeq 3,141592653589793238462643383279... $\\ P & $ \rho $/$ \varrho $ & rho & \\ $ \Sigma $ & $ \sigma $/$ \varsigma $ & sigma & $ \Sigma $: sommatoria; $ \sigma $: deviazione standard\\ T & $ \tau $ & tau & $ \tau $: sezione aurea ($ 1,618... $)\\ $ \Upsilon $ & $ \upsilon $ & upsilon & \\ $ \Phi $ & $ \phi $/$ \varphi $ & phi & $ \phi $: sezione aurea ($ 1,618... $); $ \phi (n) $: funzione di Eulero; $ \Phi (\vec{V}) $: flusso\\ X & $ \chi $ & chi & \\ $ \Psi $ & $ \psi $ & psi & \\ $ \Omega $ & $ \omega $ & omega & angoli solidi\\ \end{tabular} \end{center} \caption{Alfabeto Greco} \label{tab:AGreco} \end{table} \part{Bibliografia} \addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia} \bibliographystyle{unsrt} \bibliography{file1,file2,file3} \begin{thebibliography}{} \bibitem{courant-robbins} Richard Courant, Herbert Robbins, \emph{Che cos'è la Matematica?}, Bollati Boringhieri, 2002, Seconda Edizione riveduta da Ian Stewart. \bibitem{gobbino} Massimo Gobbino, \emph{Schede Olimpiche}, Pitagora, 2003, Prima Edizione. \bibitem{acerbi-buttazzo} Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo, \emph{Primo Corso di Analisi Matematica}, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione. \bibitem{precorso} Emilio Acerbi, \emph{Matematica Preuniversitaria di Base}, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione. \bibitem{giusti} Enrico Giusti, \emph{Analisi Matematica 1}, Bollati Boringhieri, 2002, Terza Edizione. \end{thebibliography} \part{Indici} %\listoffigures \listoftables \addcontentsline{toc}{chapter}{Elenco delle Tabelle} \tableofcontents \addcontentsline{toc}{chapter}{Indice} \end{document} }