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Problema dei due corpi

Un corpo fermo (moto in un potenziale kepleriano fissato)

Consideriamo un corpo di massa $m$ in moto nel seguente potenziale (espresso in coordinate cartesiane tridimensionali):
$V = - \frac{G M}{\sqrt{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}}$
$M$ si può interpretare come la massa di un corpo posto all'origine delle coordinate, che genera il potenziale attrattivo. $G$ è la costante di gravitazione universale.

Se passiamo a coordinate sferiche possiamo scrivere
$V = - \frac{G M}{r}$
La simmetria per rotazioni del potenziale, ora resa evidente, ci porta a concludere che il momento angolare $\vec{L}$ della massa $m$ rispetto all'origine è conservato nel tempo.

Quindi, poichè per definizione vale
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$
ed essendo $\vec{L}$ conservato come vettore (quindi anche in direzione e verso, oltre che in modulo), $\vec{r}$ e $\vec{p}$ devono necessariamente giacere nel medesimo piano, nel corso di tutta la loro evoluzione temporale. Tale piano è fissato dai valori iniziali di $\vec{r}$ e $\vec{p}$ , che stabiliscono una volta per tutte la direzione ed il verso del momento angolare.