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Problema dei due corpi

Un corpo fermo (moto in un potenziale kepleriano fissato)

Consideriamo un corpo di massa $m$ in moto nel seguente potenziale (espresso in coordinate cartesiane tridimensionali):
$V=-{\frac {GM}{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}}$
$M$ si può interpretare come la massa di un corpo posto all'origine delle coordinate, che genera il potenziale attrattivo. $G$ è la costante di gravitazione universale.

Se passiamo a coordinate sferiche possiamo scrivere
$V=-{\frac {GM}{r}}$
La simmetria per rotazioni del potenziale, ora resa evidente, ci porta a concludere che il momento angolare ${\vec {L}}$ della massa $m$ rispetto all'origine è conservato nel tempo.

Quindi, poichè per definizione vale
${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$
ed essendo ${\vec {L}}$ conservato come vettore (quindi anche in direzione e verso, oltre che in modulo), ${\vec {r}}$ e ${\vec {p}}$ devono necessariamente giacere nel medesimo piano, nel corso di tutta la loro evoluzione temporale. Tale piano è fissato dai valori iniziali di ${\vec {r}}$ e ${\vec {p}}$, che stabiliscono una volta per tutte la direzione ed il verso del momento angolare.