Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/La derivata di una funzione

La derivata di una funzione

Definizione

Sia $x$ un punto interno al dominio di una funzione reale di variabile reale $f$, se il limite destro (rispettivamente sinistro) del rapporto incrementale :

$\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x+)$

rispettivamente

$\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x-)$

esiste ed è finito, tale limite viene detto derivata destra (rispettivamente sinistra) della funzione $f$ in $x$

Definizione

Se la derivata destra e la derivata sinistra esistono e sono uguali, si indica con f'(x) la derivata della funzione f in x, cioè:

se esiste finito il limite del rapporto incrementale calcolato in $x$,

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

tale limite è detto derivata della funzione $f$ in $x$ e si indica con f'(x)