Analisi matematica I/I numeri complessi

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Definizione di limite
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Il rapporto incrementale
  2. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  3. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  4. Le derivate fondamentali
  5. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  6. Il teorema di de L’Hospital
  7. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  8. o piccolo
  9. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  10. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  11. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

Indice

[modifica] L'insieme \mathbb{C} dei numeri complessi

L'espressione \sqrt{-1} non ha senso all'interno dei reali; non esiste un numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo. Come operammo nel passaggio da \mathbb{Q} a \mathbb{R} , estendiamo l'insieme per comprendere numeri come \sqrt{-1}. Introduciamo allora un'unità immaginaria \imath=\sqrt{-1}.

UN numero complesso \emph z si può esprimere come coppia ordinata di numeri reali \emph(a,b) oppure nella forma a+\imath b. Singolarmente \emph a e \emph b sono numeri reali e rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso.

[modifica] Operazioni tra complessi

La somma algebrica nei complessi si può portare a termine come nei reali se si tratta separatamente la parte reale e la parte immaginaria. Così, se

z=a+\imath b e z'=c+\imath d , abbiamo che

z+z'=a+c+\imath(b+d).

Stesso discorso per il prodotto, ricordando però che \imath^2=-1, e quindi

z\cdot z'=ac+\imath ad+ \imath bc-bd=(ac-bd)+\imath(ad+bc)

Con le definizioni di cui disponiamo ora non possiamo affrontare il quoziente, del quale parleremo fra qualche paragrafo.

[modifica] Modulo, argomento e forma polare di un numero complesso

L'espressione di \emph z come coppia ordinata di numeri reali può essere sfruttata per rappresentare graficamente un numero complesso in un piano. Costruiamo quindi un piano complesso intersecando perpendicolarmente due assi, l'asse reale dove nel piano cartesiano avremmo le ascisse, l'asse immaginario al posto delle ordinate.

Definiamo quindi il modulo di \emph z come la sua distanza dall'origine, ovvero \rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

L'argomento di \emph z è invece definito come l'angolo orientato \vartheta compreso tra l'asse reale e il segmento congiungente il punto \emph z con l'origine.

Dalla trigonometria estrapoliamo poi che

a=\rho\cdot \cos\vartheta e b=\rho\cdot \sin\vartheta.

Ora possiamo scrivere z nella sua forma polare: z=\rho(\cos\vartheta + \imath\sin\vartheta).

[modifica] Coniugato di un numero complesso

Il numero \overline{z}=a-ib è chiamato coniugato del solito \emph z=a+\imath b . Le seguenti proprietà del coniugato risultano molto utili:

|\overline{z}|=|z| e \arg \overline{z}= -\arg z .

Inoltre, il prodotto di \emph z con il suo coniugato \overline{z} dà il quadrato del modulo di \emph z, cioè

z\overline{z}=|z|^2.

[modifica] Ancora sulle operazioni, quoziente tra complessi

Mediante semplici considerazioni algebriche, si può dedurre che se abbiamo due numeri complessi z=\rho(\cos\vartheta+\imath\sin\vartheta) e w=r(\cos\phi +\imath\sin\phi) il modulo del loro prodotto sarà il prodotto dei due moduli, e l'argomento la somma degli argomenti. Cioè: |z\cdot w|= |z|\cdot|w| e \arg(z\cdot w)=\arg z+\arg w.

Quindi,

z\cdot w= \rho r(\cos(\vartheta+\phi)+ \imath \sin (\vartheta+\phi)).

Detto questo, torniamo alla divisione.

Sappiamo che z^{-1}={1 \over z}={1\over {a+\imath b}} .

Possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per \overline{z}, ottenendo z^{-1}={{a-\imath b}\over {a^2+b^2}}= {\overline{z}\over {|z|^2}}.

Il modulo di quest'ultima espressione è \left |{{1}\over {z}}\right | = {|\overline{z}|\over {|z|^2}} = {{1} \over {|z|}}, mentre l'argomento è \arg {1 \over z} = \arg \overline{z}.

Coseguentemente possiamo interpretare z\over w come

z\cdot {1\over w} = {{ac+bd+\imath (bc-ad)}\over{a^2+b^2}} , oppure, con moduli e argomenti,

\left |{z\over w}\right |={|z|\over |w|} e \arg{z\over w}=\arg z - \arg w .

[modifica] Teorema di De Moivre e potenze

Un numero complesso elevato all'n-esima, con n \in \mathbb{N}, è uguale al numero stesso moltiplicato n volte per sè, come al solito. Sia dunque z=\rho(\cos\vartheta+\imath\sin\vartheta). Con ρ = 1 otteniamo il Teorema di De Moivre:

(\cos\vartheta + \imath\sin\vartheta)^n = \cos{n\vartheta} + \imath \sin {n\vartheta}.

Più in generale,

z^n=\rho^n(\cos(n\vartheta)+\imath\sin(n\vartheta)).

[modifica] Radici complesse

Nel caso dei numeri reali, avevamo che x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. Ma allora perché \sqrt 4=+2? La risposta è che con \sqrt 4 si intende la radice quadrata principale di 4, ovvero precisamente il numero reale positivo che ha per quadrato il radicando. Questa nozione di radice quadrata positiva ci torna utile nel caso di radice complessa.

Sfruttando lo stesso principio di cui ci siamo serviti nel caso della divisione, intendiamo l'operazione di estrazione di radice come un elevamento a potenza all'inverso. Cioè \sqrt[n]{z}=z^{1\over n}.

Applicando quindi la formula per le potenze otteniamo la suddetta radice principale di \emph z,

z^{1\over n}=\rho^{1\over n}(\cos{\vartheta\over n}+ \imath \sin{\vartheta\over n}).

Un numero complesso ha però n radici n-esime. Una è la radice principale; le altre (n-1) possiamo ottenerle moltiplicando la radice principale per le radici n-esime dell'unità:

\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}(\cos{{\vartheta+2k\pi}\over n}+ \imath \sin{{\vartheta+2k\pi}\over n}), con \emph k=0,1,2,...,n-1.

La rappresentazione di queste radici sul piano complesso è assai intrigante: si tratta, al crescere di \emph k, dei vertici di un poligono con n lati inscritto nella circonferenza di raggio \rho^{1\over n} presi in senso antiorario, e naturalmente a distanza angolare {2\pi \over n} dal proprio successivo.

[modifica] Teorema fondamentale dell'algebra, equazioni complesse

Il teorema fondamentale dell'algebra prevede che un polinomio di grado n a coefficienti reali abbia precisamente n radici (da non confondere con le radici di un numero) nell'insieme dei complessi, considerando le loro molteplicità.

Ad esempio, prendiamo l'espressione che abbiamo scelto all'inizio, \emph x^2+1=0 . Nel campo dei reali questa non ha nessuna soluzione. Nel campo dei complessi, espressioni di secondo grado di questo tipo hanno sempre due soluzioni (o al più una, ma doppia). In questo caso la soluzione è particolarmente semplice:

\emph x^2=-1 \quad x=\pm\imath .


[modifica] Soluzione di equazioni di grado superiore al secondo

Un esempio di esercizio è quello, dato un polinomio a0 + a1z + a2z2 + a3z3... (di norma, non oltre il quinto grado) a coefficienti reali e una radice \emph k del polinomio, di trovare tutte le altre radici.

Si opera scomponendo il polinomio in un prodotto di fattori irriducibili, in particolare in un prodotto di \emph n fattori della forma \emph (z-j), dove \emph j è un numero complesso (o reale) e \emph n è il grado del polinomio iniziale.

Sviluppiamo l'esempio con un polinomio di quinto grado e una certa radice complessa data. E' dimostrato che se un polinomio ha una radice complessa anche il coniugato della radice è radice, per cui possiamo dividere il polinomio per (z-k)(z-\overline {k}) fino ad ottenere un polinomio di terzo grado. Ora, il polinomio ha grado dispari. Ha quindi una (o tre) radici reali semplici, di cui quasi sempre una è facilmente individuabile per tentativi sensati. Se troviamo un numero \emph q che soddisfi l'annullamento del polinomio di terzo grado, possiamo dividere quest'ultimo per \emph (z-q) così da ottenere un polinomio di secondo grado.

Finalmente sappiamo trovare le ultime due radici con la formula risolutiva di sempre, non dimenticando che le radici della formula sono complesse. Questo metodo risolutivo, dove risolutivo, è il più rapido, poiché far ricorso alla formula di Cardano-Tartaglia per le equazioni di terzo (o quarto) grado risulta piuttosto scomodo.

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_matematica_I/I_numeri_complessi"
Strumenti personali