Analisi matematica I/I numeri reali

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Indice

[modifica] Definizione

L'insieme R è l'insieme dei numeri in cui sono definite le operazioni già definite in Q (cioè Somma, Prodotto e la relazione di Ordinamento), sono verificate le proprietà su tali operazioni e relazioni, e in cui vale un nuovo assioma, chiamato Assioma di Continuità.

[modifica] L'insieme \mathbb{Q} e l'insieme \mathbb{R}

I numeri razionali si scrivono nella forma m \over n , dove n\ne0 e m,n \in \mathbb{Z}. L'insieme dei numeri razionali \mathbb{Q} risulta essere limitato; se consideriamo un quadrato di lato 1, la sua diagonale (che per il teorema di Pitagora varrebbe radice di 2) non è misurabile in \mathbb{Q}  : \sqrt{2} non può mai essere scritto sotto forma di frazione razionale.

Per rappresentare questi numeri, detti irrazionali, l'insieme \mathbb{Q} è stato esteso, ed è nato l'insieme dei numeri reali \mathbb{R} (unione dei numeri razionali e irrazionali). Le 11 proprietà che erano definite per l'insieme \mathbb{Q} (9 per le Operazioni Somma e Prodotto e 2 per la Relazione di Ordinamento) sono anche qui verificate.

[modifica] Proprietà di Q che valgono in R

Proprietà Somma e Prodotto:

S1 Commutativa : ∀x,y ∈ R, x+y = y+x

S2 Associativa : ∀x,y,z ∈ R, (x+y)+z = x+(y+z)

S3 Elemento Neutro : ∀x ∈ R, x+0 = x

S4 Elemento Opposto : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R tale che x+y = 0 (x = -y)

P1 Commutativa : ∀x,y ∈ R, xy = yx

P2 Associativa : ∀x,y,z ∈ R, (xy)z = x(yx)

P3 Elemento Neutro : ∀x ∈ R, x×1 = x

P4 Reciproco (Inverso)  : ∀x ∈ R, x ≠ 0, ∃y ∈ R tale che xy = 1 (y = 1/x)

SP Distributiva : ∀x,y,z ∈ R, (x+y)z = xz+yz


Relazioni di Ordinamento:

SO Rispetto alla Somma : ∀x,y ∈ R, x ≤ y, ∃z ∈ R tale che x+z ≤ y+z

PO Rispetto al Prodotto : ∀x,y ∈ R, x ≤ y, ∃z ∈ R, z ≥ 0 tale che xz ≤ yz

[modifica] Assioma di Continuità

Nell'insieme R è verificato un importante assioma, chiamato Assioma di Continuità, che è alla base di tutti i teoremi dell'Analisi Matematica. Quest'assioma afferma che: Se prediamo un insieme limitato superiormente contenuto in R, questo insieme ammette Estremo Superiore, e viceversa, se prendiamo un insieme limitato inferiormente contenuto in R, allora l'insieme ammette Estremo Inferiore.

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