Esercizi di fisica con soluzioni/Cristallografia

Esercizi

Primi vicini

Determinare la distanza tra i primi vicini in un cristallo di Alluminio che ha una densità di $2.75\ g/cm^{3}$, il peso molecolare dell'Alluminio è $27\$ in u.a. ed il suo reticolo è cubico a facce centrate.

Densità

Determinare la densità del Litio (Li) che ha una struttura cristallina b.c.c. che un peso atomico di 6.9 u.a. ed ha un passo reticolare di 0.35 nm.

Tungsteno

Determinare la struttura del Tungsteno (W) che è un materiale cubico che ha p.m. 189 u.a., densità $\rho =19.25\ g/cm^{3}$, passo reticolare $a=0.315\ nm$.

Diffrazione

Si usano dei raggi X di lunghezza d'onda $\lambda =0.154\ nm$ e si trova che i due più piccoli angoli di Bragg sono $19.4\ ^{o}$ e $28\ ^{o}$. Determinare il passo reticolare a ed il tipo di reticolo cristallino, nell'ipotesi di reticolo cubico.

Legame ionico

Una molecola di $Na^{+}Cl^{-}$ ha un legame puramente ionico espresso dalla legge:

$E_{lm}=-{\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{om}}}+Be^{-r_{om}/\rho }\$

Con $E_{lm}=-5.44\ eV$, $r_{om}=0.228\ nm$

Il cristallo di $Na^{+}Cl^{-}$ ha un numero di primi vicini pari a 6 e una costante di Madelung $\alpha =1.6378$, il legame cristallino per ogni ione è espresso dalla legge:

$E_{lc}=-\alpha {\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{oc}}}+6Be^{-r_{oc}/\rho }\$

Con $E_{lc}=-4.14\ eV$, $r_{oc}=0.282\ nm$.

Determinare $\rho$ e $B$.

Soluzioni

Primi vicini

La massa nel S.I. di un atomo di Alluminio vale:

$m_{Al}=27\cdot 1.66\cdot 10^{-27}\ kg\$

In una cella convenzionale di un reticolo cubico a facce centrate (f.c.c.), costituito da un cubo di lato $a\$), vi sono quattro elementi quindi la densità vale:

$\rho ={\frac {4m_{Al}}{a^{3}}}$

da cui:

$a={\sqrt[{3}]{4m/\rho }}=0.402\ nm$

La distanza tra i primi vicini nel reticolo f.c.c. dell'Alluminio:

$d={\frac {a}{\sqrt {2}}}=0.284\ nm$

Densità

essendo nel b.c.c:

$\rho ={\frac {2m}{a^{3}}}=2\times 6.9\times 1.66\cdot 10^{-27}/(0.35\cdot 10^{-9})^{3}=0.535g/cm^{3}\$

Tungsteno

Se fosse cubico semplice avrebbe una densità di:

$\rho _{1}={\frac {m}{a^{3}}}=10\ g/cm^{3}\$

Se fosse bcc:

$\rho _{2}={\frac {2m}{a^{3}}}=20\ g/cm^{3}\$

Mentre se fosse fosse fcc:

$\rho _{3}={\frac {4m}{a^{3}}}=40\ g/cm^{3}$

Quindi è bcc.

Diffrazione

Si mostra facilmente come il secondo angolo di Bragg è eguale per tutti i reticoli cubici, quindi semplicemente si ha che, la dimensione del secondo vettore reciproco più corto in dimensioni vale:

${\vec {G}}_{2}={\frac {4\pi }{a}}{\hat {i}}\$

Se riscriviamo la legge di Bragg in funzione del reticolo reciproco:

$2k\sin \theta _{2}=|G_{2}|\$

essendo $k=2\pi /\lambda$ segue che:

$a={\frac {\lambda }{\sin \theta _{2}}}=0,328\ nm$

Essendo:

$\sin \theta _{1}=0.33\$

Per quanto riguarda il reticolo se fosse un reticolo bbc (reciproco fcc):

$|G_{1}|={\frac {2\pi }{a}}{\sqrt {2}}\$

da cui:

$\sin \theta _{1}={\frac {\lambda }{a{\sqrt {2}}}}=0.33\$

quindi è bcc.

Infatti se fosse stato fcc:

$|G_{1}|={\frac {2\pi }{a}}{\sqrt {3}}\$

$\sin \theta _{1}={\frac {\lambda {\sqrt {3}}}{a2}}=0.406$

Legame ionico

La parte repulsiva dell'energia di legame nella molecola:

$E_{rm}=Be^{-r_{om}/\rho }=E_{lm}+{\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{om}}}=0.878\ eV\$

Mentre nel caso del cristallo, per ogni primo vicino si ha:

$E_{rc}=Be^{-r_{oc}/\rho }=(E_{lc}+\alpha {\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{oc}}})/6=0.161\ eV\$

Quindi dividendo le due espressioni si ha che:

$\rho ={\frac {r_{oc}-r_{om}}{\log {E_{rm}/E_{rc}}}}=0.0319\ nm\$

$B=E_{rm}e^{r_{om}/\rho }=1120\ eV\$