Esercizi di fisica con soluzioni/L'oscillatore armonico

Esercizi

1. Oscillatore armonico semplice

Una particella vibra di moto armonico semplice. All'istante iniziale ($t=0$) l'energia potenziale e l'energia cinetica sono eguali e valgono $E_{0}=2\ J$ e la particella si allontana dalla posizione di equilibrio. Il periodo del moto vale $T=0.1\ s$, la massa della particella vale $m=700\ g$.

Determinare a) la costante di richiamo elastico $k$; b) la massima velocità acquistata; d) l'ampiezza di oscillazione; d) dopo quanto tempo la particella passa per il centro di oscillazione;

Soluzioni

1. Oscillatore armonico semplice

a)

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=63\ rad/s$

di conseguenza:

$k=\omega ^{2}m=2760\ N/m$

b)

Dovendosi conservare l'energia la massima velocità è quella per cui tutta l'energia è cinetica:

${\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=2E_{o}$

$v_{o}=3.4\ m/s$

c)

Mentre l'ampiezza di oscillazione è quella per cui tutta l'energia è potenziale:

${\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}=2E_{o}$

$x_{o}=5.4\ cm$

d)

Essendo un moto armonico posso scrivere:

$x=x_{o}\cos(\omega t+\varphi )$

$v=x_{o}\omega \sin(\omega t+\varphi )$

dovendo essere

${\frac {1}{2}}kx(0)^{2}={\frac {1}{2}}mv(0)^{2}$

${\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}\cos ^{2}(\varphi )={\frac {1}{2}}mx_{o}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\varphi )={\frac {1}{2}}mx_{o}^{2}{\frac {k}{m}}\sin ^{2}(\varphi )$

da cui

$\tan {\varphi }=1$

Che ha due soluzioni la prima se si allontana dalla posizione di equilibrio

$\varphi =45^{o}=\pi /4$

La seconda soluzione se si avvicina alla posizione di equilibrio:

$\varphi =135^{o}=5/4\pi \$

è esclusa dalla condizione iniziale.

Quindi imponendo che:

$\omega t_{1}+\varphi =\pi$

segue che:

$t_{1}=37\ ms$