Fisica matematica/Vettori tangenti

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Un vettore tangente alla varietà è possibile definirlo in tre modi differenti ed equivalenti.

Prese due curve qualsiasi γ e γ' introduciamo la seguente relazione di equivalenza:

\gamma \sim \gamma' \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \gamma(0) = \gamma'(0) \\ \frac{d}{dt}(f\circ\gamma)(0) = \frac{d}{dt}(f\circ\gamma')(0), \mbox{ } \forall f\in \mathfrak{F}(M) \end{matrix}\right.

Definizione 1
Un vettore tangente in p \in M è una classe di equivalenza [γ] di curve basate in p, cioè una classe di equivalenza tale che \forall \gamma' \in [\gamma], \gamma'(0) = p
Definizione 2
Un vettore tangente in p \in M è una derivazione sulle funzioni differenziabili:
v: \mathfrak{F}(M) \rightarrow \mathfrak{F}(M):f\rightarrow v(f)
lineare che soddisfa la regola di Leibniz, cioè \forall f,g\in \mathfrak{F}(M):
\left\{\begin{matrix} v(f+g) = v(f) + v(g) \\ v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) \end{matrix}\right.
Definizione 3
Un vettore tangente nel punto p\in M è una classe di equivalenza di terne (U,xi,vi), dove (U,xi) è una carta locale, rispetto alla relazione di equivalenza:
(U,x^i,v^i) \sim (U',x'^{i'},v'^{v'}) \leftrightarrow v'^{i'} = \left(\frac{\partial x'^{i'}}{\partial x^i}\right)_p v^i
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