Meccanica analitica/Funzione principale di Hamilton

Trattiamo adesso un argomento che termina lo studio variazionale fatto finora; potrà sembrare inconcludente a una prima occhiata, ma più avanti nel corso torneremo a trattare questo argomento specificamente.

Dato il funzionale azione ampliata:

$A'[q,p]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left(\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q}}_{h}-H(q/p/t)\right)$

Sappiamo essere funzione delle traiettorie $q(t)$ e dei rispettivi momenti coniugati $p(t)$. Sappiamo anche che, scelte traiettorie e momenti coniugati che soddisfano le equazioni canoniche, questo funzionale resta stazionario. Proprio da questo punto partiamo, per modificare il funzionale in una funzione. Scegliamo, appunto, non traiettorie $q(t)$ e $p(t)$ arbitrarie, bensì scegliamo proprio quelle che minimizzano l'azione ampliata. A questo punto, $A'$ non è più un funzionale, ma diventa un numero reale preciso. Tuttavia, questo può essere fatto variare, in particolare rendendolo funzione di diverse variabili. Come variabili particolari scegliamo $q_{0},q_{1},t_{0},t_{1}$, ovvero posizioni e tempi iniziali e finali. Ottengo quella che viene definita come funzione principale di Hamilton:

$S(q_{0},t_{0},q_{1},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}d\tau \left(\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q}}_{h}-H(q/p/t)\right)$

Questa è una funzione di quattro variabili che deriva direttamente dall'azione ampliata: semplicemente, si varia il valore dell'azione ampliata variando posizioni e tempi iniziali e finali. Quali equazioni deve soddisfare questa funzione? Vediamole, variando una a una le variabili.

Partiamo variando $\delta q$, esprimiamo $\delta S$ in funzione di $\delta q$.

$\delta S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}d\tau \left(\delta p{\dot {q}}+p\delta {\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q-{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\right)$

Come ci siamo abituati, integriamo per parti il termine $p\delta {\dot {q}}$:

$p\delta q{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\delta p\left({\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right)-\delta q\left(-{\dot {p}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)\right]d\tau$

Le variabili $p$ e $q$ non sono arbitrarie, sono quelle che minimizzano l'azione ampliata e che rispettano le equazioni canoniche, quindi tutto il termine integrando è identicamente nullo, quindi otteniamo che:

$\delta S=p\delta q{\Bigg |}_{t_{0}}^{t_{1}}=p\delta q(t)-p_{0}\delta q_{0}$

Da questo risultato ottengo già le prime due relazioni:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial S}{\partial q}}=p\\&{\frac {\partial S}{\partial q_{0}}}=-p_{0}\end{aligned}}$

Adesso facciamo variare $\delta t$; vediamo l'espressione $\delta S$. Per il teorema fondamentale del calcolo vale:

${\frac {dS}{dt}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t}d\tau (p{\dot {q}}-H)}{dt}}=p{\dot {q}}-H$

Un altro modo di esprimere $\delta S$ è quello di calcolare la derivata totale:

${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+{\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}$

Utilizzando le espressioni già trovate, avendo ${\frac {\partial S}{\partial q}}=p$, vale:

${\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+p{\dot {q}}$

Ora uguagliamo questa espressione con quella ottenuta sfruttando il teorema fondamentale del calcolo:

${\frac {\partial S}{\partial t}}+p{\dot {q}}=p{\dot {q}}-H$

Otteniamo quindi la terza espressione: ${\frac {\partial S}{\partial t}}=-H$

Ora facciamo variare $\delta t_{0}$; come prima, per il teorema fondamentale del calcolo vale:

${\frac {dS}{dt_{0}}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t}d\tau (p{\dot {q}}-H)}{dt_{0}}}=-{\frac {\int _{t}^{t_{0}}d\tau (p{\dot {q}}-H)}{dt_{0}}}=-p{\dot {q}}+H(q_{0},p_{0},t_{0})$

Calcolando esplicitamente la derivata totale, invece:

${\frac {dS}{dt_{0}}}=-{\frac {\partial S}{\partial t_{0}}}+{\frac {\partial S}{\partial q_{0}}}{\dot {q}}_{0}$

Sfruttando le equazioni prima ottenute ${\frac {\partial S}{\partial q_{0}}}=-p_{0}$, otteniamo:

${\frac {dS}{dt_{0}}}={\frac {\partial S}{\partial q_{0}}}-p_{0}{\dot {q}}_{0}$

Uguagliando le due espressioni trovate:

$-p_{0}{\dot {q}}_{0}+H(q_{0},p_{0},t_{0})={\frac {\partial S}{\partial t_{0}}}-p_{0}{\dot {q}}_{0}$

Ottenendo l'ultima espressione cercata: ${\frac {\partial S}{\partial t_{0}}}=H(q_{0},p_{0},t_{0})$.

Le espressioni che abbiamo ottenuto sono le seguenti e vengono chiamate equazioni di Hamilton-Jacobi:

$\left|{\begin{aligned}&{\frac {\partial S}{\partial q}}=p\\\\&{\frac {\partial S}{\partial q_{0}}}=-p_{0}\\\\&{\frac {\partial S}{\partial t}}=-H(q,p,t)\\\\&{\frac {\partial S}{\partial t_{0}}}=H(q_{0}>,p_{0},t_{0})\end{aligned}}\right.$

Queste espressioni ci permettono di studiare l'evoluzione della funzione principale di Hamilton al variare delle sue variabili; come notiamo, per poter conoscere la funzione dobbiamo prima conoscere $q(t)$ e $p(t)$, perché sappiamo che queste sono quelle particolari variabili che minimizzano l'azione.