Meccanica analitica/Hamiltoniana, equazioni canoniche di Hamilton

La meccanica hamiltoniana è un'altra riformulazione della meccanica, diversa sia dalla formulazione newtoniana che da quella lagrangiana, pur partendo però dai risultati raggiunti da questa.

Il formalismo hamiltoniano è, come vedremo, uno strumento molto potente; a differenza di quello lagrangiano, la cui potenza stava nel facilitare lo studio dinamico di un sistema, il formalismo hamiltoniano fornisce un altro punto di vista sulla fisica e sul mondo, cambiando totalmente il modo di vedere le cose. Vedremo pian piano come questo sia possibile, anche senza notevoli difficoltà.

Nella meccanica lagrangiana abbiamo visto che le variabili di interesse erano le coordinate lagrangiane $q_{h}$ e le loro derivate, ovvero come evolvono nel tempo, ${\dot {q_{h}}}$. La meccanica hamiltoniana, invece, prende come variabili di interesse sempre le stesse $q_{h}$, ma sostituisce le ${\dot {q_{h}}}$ con i rispettivi momenti coniugati $p_{h}$. Per riuscire a sostituire la dipendenza dalle ${\dot {q_{h}}}$ con la dipendenza dai $p_{h}$ dobbiamo compiere una trasformazione, che viene generalmente chiamata trasformata di Legendre.

Per poter passare dalle ${\dot {q_{h}}}$ ai $p_{h}$ occorre poter scrivere:

${\dot {q_{h}}}=f_{h}(q/p/t)$

quando scriviamo una dipendenza nella forma $f(x/y/z)$, intendiamo che le variabili $x,y,z$ variano negli indici $h=1,\cdots ,n$. Ovviamente, il tempo non ha indici ed è coordinata assoluta. Attraverso questa trasformazione, e partendo dall'energia generalizzata:

${\mathcal {H}}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}{\dot {q_{h}}}-L=\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\dot {q_{h}}}-L$

Dove la lagrangiana è funzione $L(q/{\dot {q}}/t)$. Se invece adesso passo da ${\dot {q_{h}}}$ a $f(q/p/t)$, ottengo:

${\mathcal {H}}(q/{\dot {q}}/t)\Rightarrow {\mathcal {H}}(q/f(q/p/t)/t)$

Questa è la definizione di hamiltoniana, la funzione fondamentale del formalismo hamiltoniano, che sostituisce l'energia generalizzata e che descrive l'evoluzione del sistema fisico. La sua espressione generale è:

$H(q/p/t)=\sum _{h=1}^{n}p_{h}f_{h}(q/p/t)-L(q/f(q/p/t)/t)$

Vediamo ora come è possibile descrivere il sistema a partire dall'hamiltoniana. Studiamone le variazioni rispetto a un $q_{l}$ fissato; l'indice $q_{h}$ è l'indice muto della sommatoria:

${\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{h}}{\partial q_{l}}}p_{h}-{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}-\sum _{h=1}^{n}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}} _{p_{h}}{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{l}}}$

Dalle equazioni di Eulero-Lagrange, sappiamo che ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}$; sostituendo nell'espressione sopra:

${\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}=-{\frac {d}{dt}}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{l}}}}} _{p_{l}}=-{\frac {d}{dt}}p_{l}=-{\dot {p_{l}}}$

Adesso vediamo la variazione rispetto al momento coniugato:

${\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}=f_{l}(q/p/t)+\sum _{h=1}^{n}p_{h}{\frac {\partial f_{h}}{\partial p_{l}}}-\sum _{h=1}^{n}\underbrace {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}} _{p_{l}}{\frac {\partial f_{h}}{\partial p_{l}}}=f_{l}(q/p/t)={\dot {q_{l}}}$

Otteniamo le cosiddette equazioni canoniche di Hamilton:

${\begin{cases}&{\dot {p_{l}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{l}}}\\&{\dot {q_{l}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{l}}}\end{cases}}$

Un sistema che compie il suo moto naturale rispetta queste equazioni differenziali; come vedremo, si nascondono molte cose dietro le equazioni canoniche.