Meccanica analitica/La lagrangiana e le equazioni di Eulero-Lagrange

Sulla scia del modulo precedente, cerchiamo di dare una forma dipendente dalle variabili lagrangiane all'equazione di Newton. Per prima cosa, diciamo che questo modulo è molto derivante, cioè ci saranno derivate, derivate, derivate. Poi, iniziamo subito a ricordare qualche elemento da tenere in considerazione:

${\begin{aligned}{\mbox{eq. simbolica di d'Alembert}}\;&\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {x_{i}}}-{\vec {f_{i}}}\right)\delta OP_{i}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\cdot \delta OP_{i}=0\\{\mbox{velocita'}}\;&v_{i}=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}{\dot {q_{h}}}+{\frac {\partial OP_{i}}{\partial t}}\\{\mbox{energia cinetica}}\;&T={\frac {1}{2}}\sum _{h,k=1}^{n}a_{hk}{\dot {q_{h}}}{\dot {q_{k}}}+\sum _{h=1}^{n}a_{0h}{\dot {q_{h}}}+{\frac {1}{2}}a_{00}\end{aligned}}$

Premessa immediata: se i vincoli sono indipendenti dal tempo, i valori $a_{00},\,a_{0h}$ sono nulli, e quindi l'energia cinetica ha un'espressione semplice. Consideriamo proprio questo caso: un sistema i cui vincoli siano indipendenti dal tempo.

Deriviamo rispetto a $q_{h}$ e alle ${\dot {q_{h}}}$ velocità e energia cinetica:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{h}}}}}={\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\\&{\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{h}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\\&{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,2v_{i}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{h}}}}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i}\cdot {\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\\&{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,2v_{i}\,{\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{h}}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}v_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}\,\left({\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\right)\end{aligned}}$

Nell'ultima espressione, non abbiamo scritto per esteso il valore di ${\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{h}}}$ perché risulta più comodo vederla così, in vista del prossimo passo che stiamo per compiere, ovvero derivare totalmente rispetto al tempo l'ultima espressione:

${\frac {d}{dt}}\,{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}=\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {x_{i}}}\cdot {\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}+\underbrace {m_{i}v_{i}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}} _{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\ddot {x_{i}}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}$

Da cui si ottiene che:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\ddot {x_{i}}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}$

Riprendiamo ora l'equazione simbolica di d'Alembert e imponiamo al problema di soddisfarla, ovvero di compiere il suo moto naturale; in questa, sostituiamo l'espressione di $\delta OP_{i}$ ottenendo:

$\sum _{i=1}^{N}(m_{i}{\ddot {x_{i}}}-f_{i})\cdot \sum _{h=1}^{n}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\delta q_{h}=0$

Poiché il sistema soddisfa l'equazione simbolica di d'Alembert, i vincoli saranno perfetti bilaterali e il lavoro virtuale è quindi nullo. È lecito quindi scrivere l'espressione di sopra $-\delta L=0$:

$\sum _{h=1}^{n}\left[\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {x_{i}}}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\delta q_{h}\right)-\sum _{i=1}^{N}f_{i}{\frac {\partial OP_{i}}{\partial q_{h}}}\delta q_{h}\right]=0$

Ricordando l'espressione scritta poco fa, e ricordando l'espressione del lavoro virtuale che abbiamo dato nel precedente modulo, otteniamo:

$\sum _{h=1}^{n}\left[\left({\frac {d}{dt}}\,{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}\right)\delta q_{h}-Q_{h}\delta q_{h}\right]=0$

Adesso, ricordiamo che, per la loro definizione, i $\delta q_{h}$ sono valori completamente indipendenti tra loro, e possiamo quindi semplificarli nella precedente espressione, ottenendo quelle che vengono chiamate equazioni di Lagrange:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}=Q_{h}$

Queste sono $n$ equazioni differenziali. Il caso interessante è quello in cui le componenti lagrangiane derivano da forze derivanti da potenziali; per queste, è possibile scrivere:

$Q_{h}=-{\frac {\partial U}{\partial q_{h}}}$

Ed è quindi possibile sostituire questa espressione nelle equazioni di Lagrange:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-\left({\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}-{\frac {\partial U}{\partial q_{h}}}\right)=0$

Ora ragioniamo sul fatto che, se i potenziali $U(q_{1},\cdots ,q_{n})$ sono funzioni solo delle $q_{h}$, la loro derivata rispetto a queste è nulla, poiché le $q_{h}$ sono indipendenti tra loro. Se questo accade, allora è lecito scrivere:

${\frac {\partial T}{\partial q_{h}}}={\frac {\partial (T-U)}{\partial q_{h}}}$

Dove ovviamente non ci interessa minimamente se si deriva in $q_{h}$ o in ${\dot {q_{h}}}$: è la stessa cosa, è lecito poter scrivere $T-U$ al posto di $T$. Allora, a questo punto, introduciamo la funzione.

$L(q_{h},{\dot {q_{h}}};t)=T-U$

Che chiameremo lagrangiana. Ripetendo il ragionamento compiuto finora, otteniamo l'espressione:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{h}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{h}}}=0$

Queste vengono chiamate equazioni di Eulero-Lagrange; come per le equazioni di Lagrange, sono <math>n<math> equazioni differenziali. La soluzione di questo sistema differenziale fornisce le equazioni del moto del sistema. Adesso, ragionando al di là del percorso teorico affrontato per poter raggiungere questo strumento, è immediato comprendere come, utilizzando queste equazioni, si possa facilmente e velocemente risolvere un problema di meccanica in cui è presente un sistema vincolato. Attraverso l'opportuna scelta delle variabili lagrangiane, che ricordiamo essere arbitrarie, risulta poi facile determinare le equazioni del moto e, quindi, come evolve il sistema nel tempo. Basta semplicemente scriversi la funzione lagrangiana, derivarla e il lavoro è fatto.