Meccanica del punto materiale/Lavoro della forza di attrito, della forza peso e della forza elastica

Dopo aver definito il lavoro di una forza, è utile sfruttare questa definizione per calcolare i lavori di forze il cui modulo ci è noto, come la forza d'attrito e la forza peso.

Lavoro della forza d'attrito

Ricordiamo che il modulo della forza di attrito dinamico vale:

$f_{att}=\mu _{d}N=\mu _{d}mg$

Applichiamola nella formula del lavoro:

$W=\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{A}^{B}fds\cos \phi =\int _{A}^{B}-\mu _{d}mgds=-\mu _{d}mg\int _{A}^{B}ds=-\mu _{d}mg\Delta s$

Abbiamo considerato in questo calcolo un moto rettilineo, in cui l'angolo $\phi$ tra la forza e lo spostamento è $\phi =\pi$, per cui vale $\cos \phi =-1$. $\Delta s$ è l'effettiva traiettoria percorsa durante il moto: il lavoro della forza di attrito dipende dallo spostamento percorso.

È bene ora fare una precisazione: questa formula rappresenta il lavoro compiuto dall'attrito su un punto materiale o su un corpo perfettamente rigido. Se consideriamo un oggetto esteso reale che viene lanciato lungo un pavimento con attrito, si nota che durante il moto esso si riscalda, il che sta a indicare la comparsa, nel blocco, di energia termica, cioè energia associata al moto disordinato delle molecole che lo compongono. Quindi l'energia (cinetica) iniziale del blocco non è stata del tutto azzerata. Una parte di energia viene convertita in energia termica, l'altra parte viene dissipata dall'attrito, cioè un po' viene trasferita dal blocco al pavimento e un po' diventa suono. Questa energia trasferita è il lavoro dell'attrito, che quindi risulta essere minore di quello che troveremmo usando la formula ricavata precedentemente. Il lavoro è in questo caso inferiore al prodotto forza per spostamento. Come mai?

Un oggetto reale non è mai perfettamente rigido. Questo implica che la forza di attrito agisce su punti del corpo il cui moto risulta ostacolato con effetti di deformazione locale. In altre parole, se il blocco nel complesso si muove di una certa distanza, le asperità microscopiche della superficie di contatto si spostano di una distanza minore, perché si deformano. Possiamo anche dire che l'attrito lavora su una distanza efficace minore di quella effettivamente percorsa dal blocco nel suo complesso. Solo se il corpo è un punto materiale (privo di dimensioni) o un corpo perfettamente rigido, il lavoro dell'attrito è effettivamente $-\mu _{d}mg\Delta s$. In questo caso l'energia cinetica del corpo va nel pavimento e nell'aria, e il corpo non si scalda.

Lavoro della forza peso

Come fatto per la forza di attrito, sfruttiamo la definizione di lavoro. Ricordiamo il modulo della forza peso:

$P=mg$

Prendiamo un sistema di riferimento con asse $z$ verticale, diretto verso l'alto; possiamo scrivere la forza peso in coordinate cartesiane, ovvero:

${\vec {P}}=(0,\,0,\,-mg)$

Ricordiamo che anche il vettore ${\vec {s}}$ può essere scritto in coordinate:

$d{\vec {s}}=(dx,\,dy,\,dz)$

Per cui, per il lavoro, avremo che:

$W=\int _{A}^{B}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{A}^{B}(-mg)dz=-mg(z_{B}-z_{A})$

Nel caso della forza peso, a differenza della forza d'attrito, possiamo notare che il lavoro non dipende dal percorso compiuto ma dipende solo dagli estremi del percorso, in particolare solo dalle coordinate lungo l'asse verticale. Vedremo in seguito che le forze per cui vale ciò vengono definite conservative.

Lavoro della forza elastica

Come abbiamo visto qualche modulo fa, un corpo attaccato a una molla può compiere un moto armonico oscillatorio. La forza elastica compie quindi un lavoro lungo tutto il moto, che possiamo calcolare:

$W=\int _{x_{i}}^{x_{f}}{\vec {f}}_{el}\cdot d{\vec {s}}=\int _{x_{i}}^{x_{f}}(-kx)dx=-k\int _{x_{i}}^{x_{f}}xdx=-{\frac {k}{2}}(x_{f}^{2}-x_{i}^{2})$

Notiamo che, esattamente come la forza peso, anche in questo caso il lavoro dipende solo dagli estremi dello spostamento.