Meccanica del punto materiale/Oscillatori accoppiati

Un sistema di oscillatori accoppiati presenta due oscillatori armonici che sono soggetti anche a una forza di mutua interazione. L'esempio più semplice che possiamo fare è quello di due punti collegati attraverso due molle a dei supporti fermi, ad esempio un muro, che sono a loro volta collegati tra loro da un'altra molla. Per semplicità, consideriamo le due masse uguali, ovvero $m_{1}=m_{2}=m$, le costanti elastiche delle due molle agli estremi uguali, pari a $k$, e la costante della molla centrale $k_{12}$ essere $k_{12}<<k$.

Per definire le posizioni dei corpi sfruttiamo le lunghezze a riposo delle due molle: chiameremo $x_{1}$ la distanza del corpo 1 dalla lunghezza a riposo della molla 1, mentre $x_{2}$ è la distanza del corpo 2 dalla lunghezza a riposo della molla 2. Considerato l'effetto della molla centrale, avremo che il corpo di destra sarà spostato dalla lunghezza a riposo verso il centro, quindi verso destra, mentre il corpo di sinistra sarà spostato verso sinistra in direzione del centro. Preso un sistema di riferimento rettilineo e parallelo e al piano, crescente da sinistra verso destra, avremo che:

• $x_{1}$ allungamento corpo 1;
• $-x_{2}$ allungamento corpo 2.

L'allungamento della molla centrale sarà quindi pari a $x_{2}-x_{1}$. Il sistema che si ottiene è un sistema a due gradi di libertà.

Le forze che agiscono sui corpi sono invece:

• $f=-kx_{1}$ forza molla 1,
• $f=-kx_{2}$ forza molla 2,
• $f=k_{12}(x_{2}-x_{1})$ forza molla centrale sul corpo 1,
• $f=k_{12}(x_{2}-x_{1})$ forza molla centrale sul corpo 2.

Otteniamo il seguente sistema di equazioni differenziali:

${\begin{cases}&m{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}={\underset {\text{forza di}}{\underbrace {-kx_{1}} }}+{\underset {\text{forza di}}{\underbrace {k_{12}(x_{2}-x_{1})} }}\\&m{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}=\overbrace {-kx_{2}} ^{\text{richiamo}}+\overbrace {k_{12}(x_{2}-x_{1})} ^{\text{interazione}}\end{cases}}$

Esplicitando i termini otteniamo:

${\begin{cases}&{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {k+k_{12}}{m}}x_{1}={\frac {k_{12}}{m}}x_{2}\,\,\,[1]\\&{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+{\frac {k+k_{12}}{m}}x_{2}={\frac {k_{12}}{m}}x_{1}\,\,\,[2]\end{cases}}$

In questo sistema sono presenti due oscillatori accoppiati, in cui il moto di uno è in funzione del moto dell'altro. Un modo per disaccoppiarli è attraverso il metodo dei moti normali: si trovano due moti e si fa in modo che le equazioni degli oscillatori siano combinazione lineare dei moti normali. Per fare ciò definiamo due nuovi termini:

$x={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\quad y={\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}$

A questo punto, compiamo due operazioni. Prima sommiamo le equazioni [1] e [2] e le dividiamo per 2; dopo le sottraiamo e le dividiamo nuovamente per due, ottenendo le equazioni del moto di $x$ e $y$:

${\begin{cases}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{m}}x=0\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {k+2k_{12}}{m}}y=0\end{cases}}$

Notiamo immediatamente che sono due oscillatori disaccoppiati, e ne conosciamo la soluzione:

${\begin{aligned}&x=x_{0}\sin(\omega _{o}t+\varphi _{0})\quad \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\&y=y_{0}\sin({\bar {\omega }}t+{\bar {\varphi }})\quad {\bar {\omega }}={\sqrt {\frac {k+2k_{12}}{m}}}\end{aligned}}$

Ricordando le definizioni di $x$ e $y$:

${\begin{aligned}&x_{1}=x+y=x_{0}\sin(\omega _{o}t+\varphi _{0})+y_{0}\sin({\bar {\omega }}t+{\bar {\varphi }})\\&x_{2}=x-y=x_{0}\sin(\omega _{o}t+\varphi _{0})-y_{0}\sin({\bar {\omega }}t+{\bar {\varphi }})\end{aligned}}$

I moti $x(t)$ e $y(t)$ sono i due moti normali; come possiamo notare, $x_{1}$ e $x_{2}$ sono due combinazioni lineari dei moti normali.

Un'osservazione rapida che possiamo fare è che, se $y_{0}=0$ la molla centrale non si allunga, ma i due corpi oscillano parallelamente.

Finiamo di studiare il caso, semplificando il problema. Poniamo quindi: $\varphi ={\bar {\varphi }}=0$ e $x_{0}=y_{0}$, con $x_{2}=0$ al tempo $t=0$. Le due equazioni diventano così:

${\begin{aligned}&x_{1}=x+y=x_{0}\sin(\omega _{o}t+)+x_{0}\sin({\bar {\omega }}t+)\\&x_{2}=x-y=x_{0}\sin(\omega _{o}t+)-x_{0}\sin({\bar {\omega }}t+)\end{aligned}}$

Utilizzando le regole di prostaferesi terminiamo finalmente lo studio ottenendo le due equazioni finali del moto:

${\begin{aligned}&x_{1}=2x_{0}\sin \left({\frac {\omega _{0}+{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\cos \left({\frac {\omega _{0}-{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\\&x_{2}=2x_{0}\sin \left({\frac {\omega _{0}-{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\cos \left({\frac {\omega _{0}+{\bar {\omega }}}{2}}t\right)\end{aligned}}$