Buchi neri e Universo/3. La termodinamica dei buchi neri

3. La termodinamica dei buchi neri

Il primo a sollevare il problema della compatibilità dei buchi neri con la termodinamica fu Wheeler che alla fine degli anni ‘60 formulò la congettura no hair, secondo la quale la materia che cade in un buco nero perde tutte le proprie caratteristiche distintive ad eccezione di massa, momento angolare e carica elettrica (il nome deriva dall’icastica affermazione «I buchi neri non hanno peli»). Una conseguenza significativa era che lo stato termodinamico macroscopico di un buco nero deriverebbe da un numero molto elevato di stati microscopici indifferenti, e che dunque questi oggetti dovrebbero possedere una entropia molto elevata. Nel 1972 Jacob D. Bekenstein, allora all’università di Austin in Texas, sviluppando una osservazione di Demetrious Christodoulou secondo cui l’area dell’orizzonte degli eventi di un buco nero tende sempre ad aumentare ad ogni interazione con l’ambiente circostante, propose che l’entropia sia proporzionale al rapporto fra tale area e il quadrato della lunghezza di Planck, e che di conseguenza i buchi neri abbiano anche una temperatura inversamente proporzionale alla massa [2].

La convinzione che nulla possa uscire dall’orizzonte di un buco nero era tuttavia così radicata che Stephen W. Hawking, Brandon Carter e James Baarden, i quali pure avevano confermato i risultati di Christodoulou, ribadirono il principio derivante dalla Relatività Generale per cui, essendo il buco nero un perfetto assorbitore di radiazioni, la sua temperatura deve essere pari a zero [1]; in seguito, però, lo stesso Hawking scoprì che i buchi neri possono effettivamente emettere radiazione [3]. Il campo gravitazionale in prossimità dell’orizzonte è infatti così forte da creare dal vuoto coppie di particelle virtuali dalla vita effimera e non rilevabili direttamente; per il teorema di conservazione dell'energia una di esse dovrà avere una energia positiva e l’altra energia negativa. Se la particella con energia negativa percorre la distanza R_BH che la separa dalla singolarità in un tempo minore di quello consentito dal “prestito Heisenberg” verrà assorbita dal buco nero, mentre l’altra, quella con energia positiva, diverrà reale e sfuggirà via all’infinito (il processo inverso, ovvero l’assorbimento da parte del buco nero della particella con energia positiva e l’emissione di una particella con energia negativa, è impossibile in quanto per la Relatività Generale particelle con energia negativa non possono esistere nello spazio-tempo ordinario): il risultato netto è una diminuzione dell’energia del buco e quindi della sua massa, con un progressivo aumento della temperatura, fino alla totale scomparsa. Con una serie di complessi calcoli relativi alla teoria quantistica dei campi Hawking trovò le formule per la temperatura e l’entropia:

$T_{BH}={\frac {hc^{3}}{4\pi k_{B}GM_{BH}}}$ ($k_{B}$ = costante di Boltzmann) (3.1)

$S_{BH}={\frac {A_{BH}^{2}}{4\ell _{P}^{2}}}$ (3.2)

Fortunatamente è possibile giungere ad un risultato analogo in un modo più semplice. Le particelle virtuali hanno infatti una energia totale mc², data dalla somma dell’energia cinetica 2 mc² e dell’energia gravitazionale –2GM_BHm/R_BH = –mc²; dalla relazione $mc^{2}\times {R_{BH}}/{c}\geq h$ si ricava la temperatura del buco nero

$T_{BH}={\frac {mc^{2}}{k_{B}}}={\frac {\hbar c}{k_{B}R_{BH}}}={\frac {\hbar c^{3}}{2k_{B}GM_{BH}}}$ (3.3)

e dal rapporto fra la sua energia totale M_BHc²/2 e quella delle particelle in cui esso evapora si ricava l’entropia come somma dei suoi stati microscopici, come ipotizzato da Bekenstein:

$S_{BH}={\frac {M_{BH}c^{2}}{2}}\times {\frac {2GM_{BH}}{hc^{3}}}={\frac {GM_{BH}^{2}}{hc}}={\frac {M_{BH}^{2}}{M_{P}^{2}}}={\frac {R_{BH}^{2}}{R_{P}^{2}}}={\frac {c^{3}R_{BH}^{2}}{4hG}}$ (3.4)

Come annunciato sopra, dalla relazione $M_{BH}c^{2}=hc/R_{BH}=hc^{3}/2GM_{BH}$ possiamo poi ricavare M_P e tutte le altre unità di Planck.