Comunicazioni digitali/Sistemi di comunicazioni numeriche

Comunicazioni digitali

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Sistemi di comunicazioni numeriche

Un sistema di comunicazione può essere modellizzato come una serie di sistemi che chiamiamo:

Sorgente
Trasmettitore
Canale
Ricevitore
Destinatario

Scopo del sistema di comunicazioni è di trasmettere inalterata l'informazione, codificata in alfabeto binario, dalla sorgente al destinatario.

Noi tratteremo i sistemi di comunicazioni numerica, in cui l'informazione da trasmettere è composta da successioni di simboli.

Sorgente

Consiste in un emettitore di simboli $a_{i}$ appartenenti ad un alfabeto $A = {A_{1}, A_{2}, \dots, A_{M_{A}}}$ di dimensione finita $M_{A}$ i cui elementi supponiamo essere numeri reali. Se $A_{1} = - A_{M_{A}}, A_{2} = - A_{M_{A} - 1}, \dots$ , i simboli si dicono antipodali.

La sorgente invia una successione di simboli a cadenza fissata $T_{s}$ detta intervallo di segnalazione: il suo inverso $R = 1 / T_{s}$ è la velocità di segnalazione (symbol rate). L'invio della successione è rappresentabile come un processo stocastico (supposto stazionario) i cui valori ad ogni istante hanno una certa probabilità di essere uno qualsiasi dei simboli dell'alfabeto che comincia all'istante $t_{1}$ : chiamiamo questo processo segnale di ingresso e lo definiamo attraverso la probabilità di ogni simbolo dell'alfabeto:

$a (t) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} a_{i} δ (t - i T_{s})$

$a_{i} = {\begin{matrix} A_{1} & Pr (A_{1}) \\ A_{2} & Pr (A_{2}) \\ ⋮ & ⋮ \\ A_{M_{A}} & Pr (A_{M_{A}}) \end{matrix}$

in cui l' $i$ -esimo simbolo è trasmesso all'istante $t = i T_{s}$ . Se $Pr (A_{1}) = Pr (A_{2}) = \dots = Pr (A_{M_{A}}) = \frac{1}{M_{A}}$ , i simboli sono detti equiprobabili.

L'alfabeto utilizzato tipicamente è $A = {- (M - 1), - (M - 3), \dots, - 5, - 3, - 1, 1, 3, 5, M - 3, M - 1}$ : il segnale di ingresso è quindi una successione di funzioni delta di Dirac di energia pari al valore del simbolo trasmesso. È possibile associare alla successione di simboli una densità di probabilità e trattarla come un processo aleatorio.

Trasmettitore

Consiste in un sistema che associa ad ogni simbolo ricevuto $a (t_{i})$ una forma d'onda (che deve essere nota anche al ricevitore), ovvero un segnale continuo $s (t_{i})$ che viene trasmesso al ricevitore attraverso il canale. La forma del segnale deve essere adatta alla trasmissione nel canale ed in particolare può essere passa-banda o passa-basso.

Un trasmettitore può essere preceduto da un codificatore che può variare l'alfabeto dei simboli per la trasmissione: si usa spesso un codificatore di Gray, che associa simboli binari a simboli $m$ -ari in modo che ad un errore tra simboli $m$ -ari adiacenti corrisponda un solo bit di differenza. Altrimenti, può codificare l'informazione in maniera ridondante o compressa.

Il sistema che associa una forma d'onda al simbolo può essere descritto dalla sua risposta impulsiva $g (t)$ o dalla sua funzione di trasferimento $G (f)$ : la modulazione in segnale passa-banda può essere descritto da una funzione $C \cos (2 π f_{p} t)$ , con $C$ detto moltiplicatore.

A volte viene inserito un filtro $H_{T} (f)$ all'uscita del trasmettitore allo scopo di limitare la banda del segnale trasmesso.

La funzione di trasferimento del trasmettitore si indica con $G_{T} (f)$ oppure con la sua risposta impulsiva $g_{T} (t)$ : il segnale trasmesso si indica con $s_{T} (t)$ .

Alcune grandezze importanti:

$E_{g_{T}}$ : energia dell'impulso.
$E_{0}$ : energia dell'impulso di energia minore.
$\overline{E}$ : energia media per simbolo, rispetto alla sua probabilità.

Canale

Un canale è schematizzato da un filtro $C (f)$ o $c (t)$ lineare passa-banda (ad esempio se il canale è l'etere) o passa-basso (in caso di cavi elettrici, guide d'onda, ...) e da un sistema che inserisce un disturbo nel segnale, schematizzato da un sommatore (o da un moltiplicatore a volte) con un segnale di rumore $w (t)$ .

Noi supponiamo che il canale sia tempo-invariante (oltre che lineare) e che il rumore sia gaussiano bianco additivo (AGWD) a densità spettrale di potenza costante e pari a $N_{0} / 2$ .

Normalmente un canale attenua il segnale che trasmette e introduce un ritardo di tempo, quindi $C (f) = A_{c a n} δ (t - t_{c a n})$ . Un canale può anche introdurre delle distorsioni non lineari o causare interferenze nel segnale. Un canale ideale presenta $C (f) = 1$ e non modifica in alcun modo il segnale.

Ricevitore

Indichiamo con $s_{R} (t)$ il segnale ricevuto.

Un ricevitore è composto da un filtro di pre-rivelazione $H_{R} (f)$ passa basso che limita il rumore nella banda del segnale ed elimina le componenti ad alta frequenza del segnale ricevuto.

Se il segnale era passa-banda, il filtro è seguito da un demodulatore che effettua l'operazione inversa del modulatore nel trasmettitore: il sistema che effettua la demodulazione del segnale passa banda centrato alla frequenza $f_{0}$ può essere descritto con un moltiplicatore per una cosinusoide $\cos (2 π f_{0} t + Θ)$ che in frequenza corrisponde alla convoluzione per $\frac{δ (f - f_{0}) + δ (f + f_{0})}{2}$ .

Il rumore additivo $w (t)$ introdotto dal canale filtrato dal filtro di pre-rivelazione arriva al demodulatore come un segnale passa-banda con densità spettrale di potenza del tipo:

$S_{w (t) * h_{R} (t)} = \frac{N_{0}}{2} (r e c t (f + f_{0} B) + r e c t (f - f_{0} B))$

Questo sistema dà in uscita molte repliche del segnale a diverse frequenze, ma solo la componente in banda base è importante perché il filtro in ricezione elimina le componenti in alta frequenza.

Sono possibili anche dei ricevitori non coerenti che consentono di ignorare la fase del segnale.

Il rapporto segnale-rumore $S N R$ è il rapporto tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore $S N R = \frac{P_{x}}{P_{w (t)}}$ e si misura in decibel.

Si indica con $s_{C}$ il segnale da campionare.

Il segnale filtrato viene quindi campionato ad istanti $t_{r} + i T_{s}$ ottenendo una successione di valori reali $z_{i}$ che corrisponderebbero idealmente ai simboli trasmessi, ma che sono differenti a causa del rumore introdotto dal canale, dell'interferenza intersimbolica tra il segnale di un simbolo e del successivo, e di altri fenomeni.

I valori $z_{i}$ sono quindi passati ad un decisore che ha il compito di associare ad essi un simbolo dell'alfabeto $A$ utilizzato in trasmissione e di passare il risultato al destinatario: indichiamo con $b_{i}$ i simboli decisi.

Il decisore associa ad ogni valore il simbolo che ha valore più prossimo (criterio di decisione a minima distanza).

Destinatario

Il destinatario legge i simboli dal ricevitore, se questi corrispondono a quelli trasmessi ( $b_{i} = a_{i}$ ), allora si ha corretta ricezione, altrimenti si è verificato un errore ( $b_{i} \neq a_{i}$ ).

La probabilità di errore su un simbolo si indica con $Pr (e)$ ed è in genere data in termini delle funzioni distribuzione standard $Φ (x)$ o $Q (x)$ : se si devono confrontare due probabilità di errore, in genere il termine significativo è l'argomento di queste funzioni rispetto ad eventuali coefficienti moltiplicativi.

I parametri caratteristici di un sistema sono:

$T_{b}$ : tempo di trasmissione di un bit.
$E_{b}$ : energia media per bit trasmesso.
$B E R$ : bit error rate, probabilità di errore sui simboli.
$E B = \frac{R}{B} = \frac{1}{T_{b} B}$ : efficienza in banda, rapporto tra bit-rate e banda utilizzata