Comunicazioni elettriche/Richiami di controlli automatici

Dal punto di vista di Comunicazioni Elettriche bisogna osservare che la parte di controlli automatici che serve è in pratica tutta la parte di analisi spettrale e di sviluppo di Fourier.

Lo sviluppo in serie di un segnale ha per definizione la forma
$x(t)=\sum _{-\infty }^{+\infty }{c_{n}\cdot e^{jn\omega _{0}t}}$

con$\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$, detta pulsazione fondamentale, e$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{\frac {T}{2}}^{-{\frac {T}{2}}}{x(t)\cdot e^{-jn\omega _{0}t}dt}$

Dalle formule appena descritte si osserva che i coefficienti che compongono$x(t)$ sono sempre ortogonali. Questo permette di constatare che generalmente si ha una$x(t)$ complessa.

Segnali periodici

Un segnale si dice periodico quando di ha $x(t+T)=x(t)$

Per questo motivo possiamo affermare che
$x(t)=\sum _{-\infty }^{-1}{c_{n}\cdot e^{jn\omega _{0}t}}+\underbrace {c_{0}} _{valoremediodelsegnale}+\sum _{1}^{\infty }{c_{n}\cdot e^{jn\omega _{0}t}}$ ${}=\sum _{1}^{\infty }{c_{-n}\cdot e^{-jn\omega _{0}t}}+c_{0}+\sum _{1}^{\infty }{c_{n}\cdot e^{jn\omega _{0}t}}$ ${}=c_{0}+\sum _{1}^{\infty }{Re\{{2c_{n}\cdot e^{jn\omega _{0}t}}\}}$

Questo può portare a due diverse ma comunque corrette interpretazioni della formula, ognuna dovuta ad una diversa analisi dei coefficienti complessi. Infatti possiamo dire due cose:

$c_{0}=A_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}$ $c_{n}=A_{n}\cdot e^{-j\varphi _{n}}=a_{n}-j\cdot b_{n}$

Utilizzando nella formula precedente la prima forma, ovvero la definizione polare, si ha, quindi $x(t)=A_{0}+\sum _{1}^{\infty }{Re\{{A_{n}\cdot e^{-j\varphi _{n}}\cdot e^{jn\omega _{0}t}}\}}$ ${}=A_{0}+\sum _{1}^{\infty }{A_{n}\cos(n\omega _{0}t-\varphi _{n})}$ nella quale i coefficienti$A_{0}$ e$A_{n}$ sono gli elementi dello spettro di ampiezza e le fasi$\varphi _{n}$ sono gli elementi dello spettro di fase.

Utilizzando al contrario la definizione cartesiana, si ha che $x(t)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{1}^{\infty }{Re\{(a_{n}-j\cdot b_{n})\cdot e^{jn\omega _{0}t}\}}$ ${}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{1}^{\infty }{Re\{(a_{n}-j\cdot b_{n})\cdot (\cos(n\omega _{0}t)+j\cdot \sin(n\omega _{0}t))\}}$ ${}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{1}^{\infty }{a_{n}\cos(n\omega _{0}t)+\sum _{1}}^{\infty }{b_{n})\sin(n\omega _{0}t)}$ in cui la prima parte è nulla se la funzione è dispari, mentre è nulla la seconda parte se la funzione è pari.

Da queste osservazioni si può notare dunque che lo sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico ha sempre senso dando un numero limitato di armoniche.

Segnali Aperiodici

Diverso è il caso dei segnali aperiodici, per i quali uno sviluppo in serie dà un risultato non utile: un segnale di questo tipo ha infatti infinite armoniche.

Analisi frequenziale

Ora manca solo un collegamento che porti dall'analisi degli spettri di ampiezza e fase ad una analisi puramente frequenziale. Per questo è necessario definire una nuova funzione: $X(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }{x(t)e^{-j\omega t}dt}$ In questo modo possono essere infatti definite due ulteriori funzioni molto utili al fine della costruzione dei diagrammi di Bode, che permettono di osservare il tipo di filtro generato dalla funzione$x(t)$: $V(\omega )={\frac {\left|X(\omega )\right|}{\pi }}$ $\varphi (\omega )=-arg(X(\omega ))$