Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π

Il numero razionale 22/7 ampiamente usato si approssima a π meglio del più usato 3,14. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:

\frac{22}{7} \approx 3,142857 \dots

π \approx 3,141592 \dots

Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi matematica.

L'idea

0 < \int_{0}^{1} \frac{x^{4} (1 - x)^{4}}{1 + x^{2}} d x = \frac{22}{7} - π

quindi

\frac{22}{7} > π .

I dettagli

Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.

Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:

$0$	$< \int_{0}^{1} \frac{x^{4} (1 - x)^{4}}{1 + x^{2}} d x$
	$= \int_{0}^{1} \frac{x^{4} - 4 x^{5} + 6 x^{6} - 4 x^{7} + x^{8}}{1 + x^{2}} d x$
	$= \int_{0}^{1} (x^{6} - 4 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{2} + 4 - \frac{4}{1 + x^{2}}) d x$
	$= {[\frac{x^{7}}{7} - \frac{2 x^{6}}{3} + x^{5} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x - 4 \arctan x]}_{0}^{1}$
	$= \frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - π$
	$= \frac{22}{7} - π .$

avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.

Apparizione nella Putnam Competition

La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.

Collegamenti esterni

Il problema della Putnam competition del 1968