Elementi di Euclide/Libro I-Postulati

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Libro I - Definizioni

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Geometria

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Libro I - Assiomi

Postulati[modifica]

Ogni volta che cerchiamo onestamente la verità ci accorgiamo che il terreno su cui siamo costretti a procedere è decisamente paludoso: se non vogliamo sprofondare e soccombere dobbiamo trovare almeno qualche punto fermo, da cui partire e grazie al quale orientarci.

Disgrazia vuole che i punti fermi siano difficili da riconoscere: dovrebbero essere Verità Primitive ma niente al mondo porta scritto in fronte:

"IO SONO VERO!". Niente che ispiri sincera fiducia, per lo meno.

Così, finiamo per sentirci soli e sperduti. E siccome per molti lo smarrimento è peggiore dell'illusione, finiamo per decidere di muoverci in un Dubbio camuffato da Verità: scegliamo dei principi che ci sembrano ragionevolmente veri e stabiliamo che essi sono i punti fermi cercati. In fondo ci costa poco: noi uomini siamo animali facilmente suggestionabili e in un battibaleno ci convinciamo che davvero quei principi sono Verità e cominciamo a muoverci per il mondo tutti contenti e sicuri del fatto nostro.

Secondo me facciamo bene, ma credo che dovremmo sempre sforzarci di tenere a mente il fatto che le nostre verità sono e restano alquanto precarie.

Comunque sia, tra punti fermi sui quali tendiamo a trovarci d'accordo riconosciamo:

  • alcuni principi di portata universale, che probabilmente riflettono la natura logica del nostro cervello (gli assiomi)
  • ed altri principi, di portata specifica, che vengono detti Postulati e dipendono dal tipo di verità che si sta cercando.

Così noi, che siamo alla ricerca del modo più vero di schematizzare le forme della realtà fisica, ci facciamo facilmente convincere ad accettare i seguenti Postulati:


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Postulato 1[modifica]

Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta.

EuclidB1P1.png


Postuliamo dunque che il disegno di una linea retta si ottenga unendo un punto qualsiasi ad un altro punto qualsiasi.

Pare facile, ma sono necessarie almeno due cose difficili: una mano ferma ed una riga che non finisca prima che il secondo punto venga raggiunto. Ci serve anche una buona dose di ottimismo per tacitare i dubbi che ci potrebbero assalire circa la natura rettilinea del risultato del nostro tracciamento.

In fondo è un po' paradossale: vogliamo costruire una retta ma dobbiamo servirci di una retta già fatta. E quella che c'è già come è stata costruita?

I muratori hanno un bel trucco (che Tartaglia conosceva) per aggirare i problemi posti dalla riga: quello di intingere uno spago nel colore, tenderlo bene lungo un muro e tirarlo come fosse la corda di un arco in modo che, tornando al suo posto dopo essere stato mollato, lo spago tracci sul muro una bella linea retta. Il metodo è interessante ma neanch'esso può essere considerato esente da imperfezioni.

Per fortuna, alla limitatezza dei nostri mezzi possiamo opporre la purezza del nostro pensiero che può immaginare una linea perfettamente dritta correre da un punto all'altro.

Potente il nostro pensiero: corregge e completa idealmente il disegno finché, voilà, per i due Punti passa effettivamente una Linea Retta!

Inoltre, libero com'è dal tabù dei greci circa l'idea di infinito attuale, il nostro pensiero moderno può anche immaginare che la retta superi i due Punti in entrambe le direzioni e che prosegua oltre senza fermarsi mai.

Ma questa è materia che riguarda il Postulato n. 2

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Postulato 2[modifica]

Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una linea retta terminata direttamente in continuo quanto ne pare.
EuclidB1P2.png


Qui Euclide domanda che gli sia inoltre concessa la facoltà di allungare la Retta anche oltre i punti entro i quali l'ha disegnata.

È proprio una concessione quella che egli chiede: se un avversario volesse negargli la possibilità di farlo, lui non riuscirebbe a trovare un ragionamento logico con cui convincerlo del fatto che si tratta ancora della stessa Retta.

Risulta di nuovo evidente che per utilizzare un Postulato è necessaria la collaborazione di tutti: di chi lo propone e di chi lo accetta. Ma non basta: per evitare che il mettersi d'accordo diventi un metodo e che tale metodo conduca ad un pasticcio geometrico non più capace di schematizzare la realtà, i Postulati devono essere pochi, pochissimi. Anzi, il minimo indispensabile.

Che ne dite di cinque?

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Postulato 3[modifica]

Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare.
EuclidB1P3.png

Rileggendo la definizione di cerchio (Def.I-15) questa richiesta di concessione sembra quasi superflua: chi negherebbe infatti che la figura ottenuta disegnando tutti i punti che si trovano ad una certa distanza da un centro prefissato sia un Cerchio?

Nessuno presumibilmente, e per questo possiamo considerare ottimo il terzo Postulato. Tuttavia, se qualcuno vi si opponesse, non ci sarebbe modo di convincerlo del contrario con le buone perché, nonostante tutto, questo è e resta un postulato ovvero una verità geometrica da accettare senza discussioni.

Inoltre anche se fossimo d'accordo sull'idea, resta sempre da chiarire come questa si possa realizzare.

I metodi più efficaci si fondano sempre su una rotazione: sia la rotazione di un compasso puntato sul centro sia quella di uno spago legato ad un chiodo piantato anch'esso nel centro individuano infatti la Circonferenza che fa da confine al Cerchio e di conseguenza il Cerchio stesso.

Molto meno conveniente è la scelta di passare la vita a tracciare gli infiniti segmenti di lunghezza data i quali, aprendosi a ventaglio attorno al centro, tentano di coprire la superficie del Cerchio senza mai ottenere un successo definitivo .

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Postulato 4[modifica]

Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali.
EuclidB1P4.png

Che i due angoli retti al piede di una perpendicolare siano uguali fra loro lo sappiamo senza ombra di dubbio: questa affermazione è infatti vera per definizione (vedi Def.I-10).

Il fatto però che siano uguali fra loro anche gli angoli retti originati da rette perpendicolari diverse non è una diretta conseguenza di quella definizione. Per questo Euclide ci chiede di accettarne la verità senza pretendere una dimostrazione.

Molti di noi fanno tanto d'occhi nel venire a conoscenza di questa richiesta: neanche da chiedere, ci verrebbe da dire, è talmente evidente!

Bravo Euclide, questo è un altro signor postulato! Un bel pilastro sotto la testa di ponte da cui proveremo a spiccare il balzo verso la conquista di verità geometriche meno scontate.

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Postulato 5[modifica]

Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, & che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi.
EuclidB1P5.png

Uhmmmm! Che oscurità!

Proviamo a vedere se una versione più moderna di questo postulato ci chiarisce le idee:

Risulti postulato che se una retta interseca in un piano altre due rette e forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, prolungate indefinitamente, finiscono con l'incontrarsi dalla parte detta.

(vedi una fonte e un'immagine interattiva).


Certo, adesso si capiscono meglio le parole, ma non si può ancora dire che l'enunciato abbia la stessa meravigliosa immediatezza comunicativa che caratterizza tutti gli altri.

Capiamo prima di tutto che ci troviamo di fronte ad una affermazione condizionale ("se...allora") e subito dopo che nei casi limite non abbiamo alcuna possibilità di verificare sperimentalmente gli effetti della condizione posta, in quanto essi hanno luogo in una regione di piano esterna a quella finita, cui abbiamo fisicamente accesso.


Risulta insomma evidente che questo postulato è di tutta un'altra pasta rispetto agli altri e viene da pensare che forse non si tratta di un postulato bensì di un teorema, la cui verità può essere accettata solo a seguito di una rigorosa dimostrazione.

Intere generazioni di matematici, nutrendo questo antico sospetto, hanno tentato di dimostrare il Quinto Postulato fondando le loro argomentazioni sugli altri postulati, quelli indubitabili, o su teoremi già dimostrati. (vedi una storia dei tentativi di dimostrazione)


Ma invano. Il Quinto Postulato è risultato costitutivo della Geometria Euclidea, non derivato da essa.

Di esso, infatti, non possiamo proprio fare a meno:

  • senza Quinto Postulato non potremmo dire di sapere che due rette parallele tagliate da una traversale formano due quartetti di angoli a due a due uguali o supplementari (gli alterni, i corrispondenti e i coniugati - nostra certezza di sempre), perché il Teorema 29 non riuscirebbe a dimostrarlo;
    • senza il Teorema 29 non potremmo dire di sapere che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto (altra bella certezza che andrebbe in fumo);
    • senza il Teorema 29, inoltre, non potremmo neanche dimostrare il Teorema di Pitagora (Teorema 47);
      • e senza il Teorema di Pitagora..... cosa ci resterebbe?


Se non possiamo eliminare questo postulato, possiamo tuttavia negarne le conclusioni sostituendole con altre. Questo processo di modifica delle impostazioni di base è perfettamente lecito ma ci fa uscire dal mondo della geometria Euclidea e ci introduce nel mondo delle Geometrie non-Euclidee, che si fondano sui primi quattro Postulati e su una versione modificata del Quinto Postulato (vedi cenni).

Ma noi, che abbiamo dichiarato di voler studiare la Geometria Euclidea, non possiamo far altro che prendere per buona la versione originale del Quinto Postulato, essendo consapevoli del fatto che è proprio lui a dare alla nostra Geometria la fisionomia che ha.

Dobbiamo rassegnarci: a casa sua Euclide ha sempre ragione e dunque in sostanza accettiamo che:

Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se, nella fascia di piano che esse individuano, è possibile trovare almeno una coppia di angoli supplementari (la cui somma è un angolo piatto).


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Postulato 5 bis[modifica]

Similmente adimandiamo che ci sia concesso due linee rette non chiudere alcuna superficie.
EuclidB1P5bis.png
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Questo postulato, della cui verità è difficile dubitare, si trova solo nella versione di Tartaglia e non nelle altre versioni degli Elementi che io abbia studiato. Lo stesso Tartaglia dice di averlo trovato fra gli assiomi (della versione che lui ha tradotto) ma di averlo messo insieme ad i postulati reputando che questo fosse il luogo più adatto per un'affermazione di questo tipo.

Il problema di doversi confrontare con versioni diverse della stessa opera non è banale e spesso è irritante, perciò conviene analizzarne brevemente le cause.

Prima dell'invenzione della stampa (cioè attorno al 1450, poco prima che Tartaglia pubblicasse la sua versione degli Elementi di Euclide) la duplicazione di un libro implicava il fatto che qualcuno decidesse per interesse, per fede o per forza di passare alcuni mesi della sua vita a ricopiarlo a mano da un precedente libro, esso pure scritto a mano. Mettiamoci nei panni dello scriba: passiamo le nostre giornate entusiasticamente copiando un bel libro quando, un certo giorno, a casa succede un guaio. Il giorno dopo le nostre preoccupazioni ci distraggono un po' e ci portano a commettere diversi errori di cui non ci accorgiamo. Il prossimo scriba, a causa dei nostri errori, potrebbe non essere più in grado di comprendere il senso di quello che sta copiando e potrebbe essere tentato di chiarire, a modo suo, il testo. Chi da bambino ha giocato al "telefono senza fili" sa benissimo quello che intendo.

Gli Elementi di Euclide sono stati scritti nel 300 a.C. e da allora, comprensibilemtente, sono stati molte volte copiati, tradotti e ritradotti. Ogni volta la versione risultava lievemente modificata rispetto alla precedente cosicché i "discendenti" delle prime copie si sono "evoluti" differenziandosi via via gli uni dagli altri.

Oggi viceversa viviamo in un mondo sempre più globalizzato in cui le differenze sono percepite soprattutto come forme di disturbo alla comunicazione. Tale modo di percepire ci fa tendere verso l'omogeneizzazione che ha comunque tanti pregi e tanti difetti. Nel nostro caso:

  • il pregio consiste nel fatto che la comunità matematica ha individuato la versione più efficace degli Elementi di Euclide;
  • il difetto è che, per fare riferimento a tale efficacissima versione, non sappiamo dove infilare gli enunciati ridondanti di Tartaglia, cioè non sappiamo come essergli fedeli senza essere anacronistici.

Il Postulato 5 bis oggi non esiste più ma, nonostante ciò, tutti i 468 teoremi dei 13 libri di Euclide possono essere dimostrati senza problemi.

Questo significa che esso valeva scientificamente poco ed ha senso citarlo solo in quanto ha una sua valenza storica.

La stessa cosa penseremo di 4 dei 9 Assiomi di Tartaglia: li inseriremo come varianti dei 5 Assiomi riconosciuti nella versione, ci piaccia o no, "globalizzata" degli Elementi.


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