Elementi di Euclide/Note agli Elementi di Euclide

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Def.: I-17 - Intuire[modifica]

L'intuizione in geometria è come l'ago di una bussola: serve ad orientare la ricerca della verità ma non basta per trovarla.

La conquista della verità dipende infatti dall'accettazione di un Postulato o dalla dimostrazione di un Teorema.

Un Postulato è un'affermazione che, per essere accettata, deve risultare autoevidente (accettare qualche postulato è inevitabile, ma bisogna ammettere che l'idea di autoevidenza è tutto un programma quando si ha in mente la ricerca della verità).

La dimostrazione di un Teorema invece consiste nel cercare di collegare alcuni Postulati o altri teoremi già dimostrati a conclusioni verso le quali l'intuizione ci indirizza.

Tale collegamento, se esiste, viene raggiunto tramite rigorose argomentazioni logiche le cui conclusioni vengono accettate anch'esse come vere.

L'idea della bisezione del Cerchio tramite il Diametro andrebbe pertanto stabilita da un Postulato o dimostrata da un Teorema: per il momento dobbiamo accontentarci dell'intuizione ma prima o poi dovremo trovare qualcosa di più convincente o essere consapevoli che anche gli Elementi hanno qualche "baco".

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Def.: I-20 - Generalizzazione[modifica]

Si tratta di un piccolo assaggio dell'enorme interesse che la matematica moderna (e quindi anche la geometria moderna) mostra per la generalizzazione ovvero per il processo di individuazione di leggi generali alle quali possano sottostare anche i casi particolari. Questo approccio consente infatti di tenere a mente (e richiede di verificare) una sola teoria con alcune varianti anziché diverse teorie complete. Cosa che per gente sempre indaffarata come noi non è un vantaggio da buttare via.

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Congruenza[modifica]

In geometria due oggetti si dicono congruenti se è possibile sovrapporre perfettamente uno di essi all'altro. La sovrapposizione può realizzarsi operando sia una traslazione (volgarmente: slittamento), sia una rotazione sia, infine, una riflessione (volgarmente: ribaltamanto).

Che mania, quella di inventare nuove parole per definirne poi minuziosamente il significato! Qui, per esprimere la stessa idea, non bastava dire che i due oggetti sono "uguali"? Tutti avrebbero capito senza tante storie.

Il problema è che non si può essere sicuri di cosa ciascuno avrebbe capito. Proprio perché proviene dal linguaggio di tutti i giorni, il termine uguale si presta ad interpretazioni diverse che dipendono dal contesto e dalla sensibilità individuale e quindi offre il fianco a dubbi, contestazioni o, peggio ancora, ad equivoci.

In effetti:

  • due pedoni degli scacchi, che stiano fianco a fianco sulla scacchiera, li consideriamo uguali o no? Possiamo discuterne a lungo senza metterci d'accordo, uno sostenendo che la forma è uguale, l'altro obiettando che la posizione è diversa. Se però diciamo che sono congruenti, avendo fornito la definizione di congruente, nessuno avrà più niente da obiettare.
  • la lancetta delle ore di un orologio che segna le 12 la consideriamo uguale alla stessa lancetta che segna le 4? Possiamo discuterne a lungo senza metterci d'accordo, uno sostenendo che la forma è uguale, l'altro obiettando che la posizione e l'orientamento sono diversi. Se però diciamo che sono congruenti, avendo fornito la definizione di congruente, nessuno avrà più niente da obiettare.
  • gli appunti di Leonardo li consideriamo uguali alla loro immagine vista allo specchio o no? Possiamo discuterne a lungo e finire la discussione in disaccordo, uno sostenendo che la forma è uguale, l'altro obiettando che la scrittura nello specchio si riesce a leggere mentre quella sulla carta no. Se però diciamo che sono congruenti, avendo fornito la definizione di congruente, nessuno avrà più niente da obiettare.
  • una fotografia vista sul monitor di un computer la consideriamo uguale alla sua versione zoomata o no? Possiamo discuterne a lungo e finire la discussione in disaccordo, uno sostenendo che la forma è uguale, l'altro obiettando che le dimensioni sono diverse. Se però diciamo che sono congruenti, avendo fornito la definizione di congruente, verremmo accusati da tutti di sostenere una tesi indifenibile.

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