Geometria per scuola elementare/Bisezione di un segmento

Geometria per scuola elementare
Il teorema di congruenza lato-angolo-lato	Bisezione di un segmento	Alcune costruzioni impossibili

Introduzione

In questo capitolo impareremo come dividere un segmento in due (bisezione).

Dato un segmento ${\overline {AB}}$, lo divideremo in due segmenti uguali ${\overline {AC}}$ e ${\overline {CB}}$. La costruzione si ispira alla proposizione 10 del Libro I degli Elementi.

Costruzione

1. Costruisci un triangolo equilatero $\triangle ABD$ su ${\overline {AB}}$.
2. Dividi in due l'angolo $\angle ADB$ usando il segmento ${\overline {DE}}$.
3. Chiamiamo C il punto di intersezione tra ${\overline {DE}}$ e ${\overline {AB}}$.

Affermazione

1. I due segmenti ${\overline {AC}}$ e ${\overline {CB}}$ sono uguali (e quindi uguali alla metà di ${\overline {AB}}$).

Dimostrazione

1. ${\overline {AD}}$ e ${\overline {BD}}$ sono lati del triangolo equilatero $\triangle ABD$.
2. Quindi, ${\overline {AD}}$ è uguale a ${\overline {BD}}$.
3. Il segmento ${\overline {DC}}$ è uguale a se stesso.
4. A causa della stessa costruzione, gli angoli $\angle ADE$ e $\angle EDB$ sono uguali.
5. I segmenti ${\overline {DE}}$ e ${\overline {DC}}$ si sovrappongono.
6. Quindi, $\angle ADE$ è uguale a $\angle ADC$ e $\angle EDB$ è uguale a $\angle CDB$.
7. Grazie al criterio di congruenza lato-angolo-lato I triangoli $\triangle ADC$ e $\triangle CDB$ sono congruenti.
8. Quindi, ${\overline {AC}}$ e ${\overline {CB}}$ sono uguali.
9. Siccome ${\overline {AB}}$ è la somma di ${\overline {AC}}$ e ${\overline {CB}}$, ciascuno dei due è uguale alla sua metà di ${\overline {AB}}$.