Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-angolo-lato

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Geometria per scuola elementare
Bisettrice di un angolo Il teorema di congruenza lato-angolo-lato Bisezione di un segmento


Introduzione[modifica]

In questo capitolo, discuteremo di un altro teorema (o criterio) di congruenza: questa volta avremo a che fare con il criterio lato-angolo-lato. Il teorema è basato sull'esposizione presente nel Libro I, proposizione 4 degli Elementi.


Il criterio di congruenza lato-angolo-lato[modifica]

Dati due triangoli e che abbiano uguali due lati, cioè:

  1. Il lato è uguale a
  2. Il lato è uguale a

e che abbiano uguali anche gli angoli compresi fra questi due lati, vale a dire:

  1. L'angolo è uguale all'angolo

Allora i triangoli sono congruenti e quindi anche gli altri lati ed angoli sono uguali.

Dimostrazione[modifica]

Useremo il metodo di sovrapposizione – muovendo un triangolo sull'alto e mostrando che coincidono.

Non useremo la costruzione che già conosciamo per copiare linee e segmenti ma sposteremo il triangolo tutto insieme.

  1. Sovrapponi su in modo che A vada a finire su D vada a finire su .
  2. Sappiamo che è uguale a .
  3. Per cui, B deve coincidere con E.
  4. Sappiamo poi che l'angolo è uguale a .
  5. Perciò, va a finire su .
  6. Inoltre sappiamo che è uguale .
  7. Quindi, C deve coincidere con F.
  8. Perciò, coincide con .
  9. I triangoli e coincidono.
  10. I triangoli e sono congruenti.