Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-angolo-lato

Geometria per scuola elementare
Bisettrice di un angolo	Il teorema di congruenza lato-angolo-lato	Bisezione di un segmento

Introduzione

In questo capitolo, discuteremo di un altro teorema (o criterio) di congruenza: questa volta avremo a che fare con il criterio lato-angolo-lato. Il teorema è basato sull'esposizione presente nel Libro I, proposizione 4 degli Elementi.

Il criterio di congruenza lato-angolo-lato

Dati due triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ che abbiano uguali due lati, cioè:

1. Il lato ${\overline {AB}}$ è uguale a ${\overline {DE}}$
2. Il lato ${\overline {CA}}$ è uguale a ${\overline {DF}}$

e che abbiano uguali anche gli angoli compresi fra questi due lati, vale a dire:

1. L'angolo $\angle CAB$ è uguale all'angolo $\angle FDE$

Allora i triangoli sono congruenti e quindi anche gli altri lati ed angoli sono uguali.

Dimostrazione

Useremo il metodo di sovrapposizione – muovendo un triangolo sull'alto e mostrando che coincidono.

Non useremo la costruzione che già conosciamo per copiare linee e segmenti ma sposteremo il triangolo tutto insieme.

1. Sovrapponi $\triangle ABC$ su $\triangle DEF$ in modo che A vada a finire su D ${\overline {AB}}$ vada a finire su ${\overline {DE}}$.
2. Sappiamo che ${\overline {AB}}$ è uguale a ${\overline {DE}}$.
3. Per cui, B deve coincidere con E.
4. Sappiamo poi che l'angolo $\angle CAB$ è uguale a $\angle FDE$.
5. Perciò, ${\overline {CA}}$ va a finire su ${\overline {DF}}$.
6. Inoltre sappiamo che ${\overline {CA}}$ è uguale ${\overline {DF}}$.
7. Quindi, C deve coincidere con F.
8. Perciò, ${\overline {CB}}$ coincide con ${\overline {EF}}$.
9. I triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ coincidono.
10. I triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ sono congruenti.