Logica matematica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su tavole di verità

Calcolare con le tavole di verità le seguenti proposizioni:

(A ∨ B) → A

Soluzione es n°1

A	B	A ∨ B	(A ∨ B ) → A
Vero	Vero	T	T
Vero	Falso	T	T
Falso	Vero	T	F
Falso	Falso	F	T

Come possiamo notare dalla colonna finale l' espressione non è sempre vera, cioè non è una tautologia.

L' espressione viene soddifatta (ha valore Vero) nei primi due e nell' ultimo caso, ma il terzo caso (A Falso e B Vero) porta ad avere come risultato globale il valore di Falso.

In linguaggio naturale: A o B non sempre implicano A, infatti A o B può essere vera con A falsa.

(A → A) → (B → C)

Soluzione es n°2

A	B	C	A → A	B → C	(A → A) → (B → C)
Vero	Vero	Vero	T	T	T
Vero	Vero	Falso	T	F	F
Vero	Falso	Vero	T	T	T
Vero	Falso	Falso	T	T	T
Falso	Vero	Vero	T	T	T
Falso	Vero	Falso	T	F	F
Falso	Falso	Vero	T	T	T
Falso	Falso	Falso	T	T	T

Anche questa sentenza non è sempre vera. Dalla tabella di verità possiamo notare che A implica sempre A (abbiamo sempre T nella colonna corrispondente), ma questo non è sufficiente ad implicare che B implichi C.

A → (A ∧ B)

Soluzione es n°3

A	B	A ∧ B	A → (A ∧ B)
Vero	Vero	T	T
Vero	Falso	F	F
Falso	Vero	F	T
Falso	Falso	F	T

A non è sufficiente ad implicare A e B.

(A → B) → ( $\neg$ A → $\neg$ B)

Soluzione es n°4

A	B	A → B	$\neg$ A → $\neg$ B	(A → B) → ( $\neg$ A → $\neg$ B)
Vero	Vero	T	T	T
Vero	Falso	F	T	T
Falso	Vero	T	F	F
Falso	Falso	T	T	T

Questa sentenza è un ragionamento errato che spesso si sente fare nei discorsi di ogni giorno: se A implica B allora non A implica non B. Da questa tabella di verità si vede che non è sempre vero (anche se spesso è vero).

La regola corretta che coinvolge negazione ed implicazione (contrapposizione) dice che se A implica B allora non B implica non A (verrà dimostrata con un esercizio successivo).

Provare con le tavole di verità i seguenti teoremi:

(A → B) → ( $\neg$ B → $\neg$ A) regola di contrapposizione.

Soluzione es n°5

A	B	A → B	$\neg$ B → $\neg$ A	(A → B) → ( $\neg$ B → $\neg$ A)
Vero	Vero	T	T	T
Vero	Falso	F	F	T
Falso	Vero	T	T	T
Falso	Falso	T	T	T

Questa è una tautologia. La regola di contrapposiozione che lega implicazione e negazione ci dice quindi che se A implica B allora non B implica non A.