Logica matematica/Incompletezza
Dopo tanti risultati positivi, arriviamo in questo capitolo ad un risultato fortemente negativo: l'incompletezza.
Dobbiamo a Gödel questo grande risultato: ogni sistema logico abbastanza potente da descrivere l'aritmetica è necessariamente incompleto, cioè esisteranno delle verità non dimostrabili.
Questo risultato, quando è stato pubblicato, ha sconvolto la logica. Il sogno di Hilbert si è infranto in un limite intrinseco del sistema.
La dimostrazione di Gödel è ostica, ma questo risultato è intuibile in modo completamente diverso dai teoremi di Lowenheim e Skolem: un sistema di dimostrazione riesce a dimostrare le frasi vere in tutti i modelli, se una teoria non è categorica avremo frasi vere in un modello e non in un altro, quindi dimostrabili solo raffinando gli assiomi ed escludendo modelli alternativi. Per i teoremi di Lowenheim e Skolem se ho un modello di cardinalità infinita ne ho altri di ogni cardinalità, quindi una teoria con modelli infiniti non può essere categorica. Aggiungere assiomi non la renderà mai categorica ed ecco che abbiamo un enorme "serbatoio" di frasi vere ma non dimostrabili.