Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni
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Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica]]. |
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Il fatto che l'[[Matematica per le superiori/Integrali|integrale]] sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo. |
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[[bn:২২/৭ পাই-এর চেয়ে বড় তার প্রমাণ]] |
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[[en:Proof that 22/7 exceeds π]] |
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[[pt:Prova de que 22/7 é maior que π]] |
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[[sr:Једноставан доказ да је 22/7 веће од пи]] |
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[[zh:證明22/7大於π]] |
Versione delle 12:36, 21 lug 2009
Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi matematica.
L'idea
quindi
I dettagli
Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.
Apparizione nella Putnam Competition
La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.
Collegamenti esterni