Dimostrazione che 22/7 è maggiore di π: differenze tra le versioni
→Collegamenti esterni: substringo il template avanzamento e sistemo |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 1: | Riga 1: | ||
Il numero razionale '''22/7''' è ampiamente usato come approssimazione di '''[[w:pi greco|π]]'''. Esso è una ridotta della espansione in [[w:frazione continua|frazione continua]] di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da [[w:Archimede|Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni: |
Il numero razionale '''22/7''' è ampiamente usato come approssimazione di '''[[w:pi greco|π]]'''. Esso è una ridotta della espansione in [[w:frazione continua|frazione continua]] di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da [[w:Archimede|Archimede]]. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni: |
||
:<math>\frac{22}{7} \approx 3 |
:<math>\frac{22}{7} \approx 3{,}142857\dots\,</math> |
||
:<math>\pi \approx 3 |
:<math>\pi \approx 3{,}141592\dots\,</math> |
||
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica]]. |
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione ''semplice'', nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di [[analisi matematica]]. |
Versione delle 22:33, 7 set 2015
Il numero razionale 22/7 è ampiamente usato come approssimazione di π. Esso è una ridotta della espansione in frazione continua di π. 22/7 è maggiore di π, come fu dimostrato da Archimede. Conoscendo l'espansione decimale di π, la diseguaglianza può ovviamente essere verificata confrontando le due espansioni:
Nonostante molti conoscano alcune cifre decimali di π dalla scuola, pochi sanno però come queste siano calcolate. Nel seguito si dimostrerà che 22/7 è maggiore di pi greco per via puramente analitica. Si tratta di una dimostrazione semplice, nel senso che è corta e diretta, e richiede solo alcune conoscenze di analisi matematica.
L'idea
quindi
I dettagli
Il fatto che l'integrale sia positivo segue dal fatto che l'integranda è il quoziente di due quantità non negative, essendo esse la somma o il prodotto di potenze pari di numeri reali. Quindi l'integrale tra 0 e 1 è positivo.
Rimane da dimostrare che l'integrale è uguale alla quantità desiderata:
avendo usato arctan(1) = π/4 e arctan(0)=0.
Apparizione nella Putnam Competition
La valutazione di questo integrale fu il primo problema nel 1968 della Putnam Competition.
Collegamenti esterni