Numeri interi relativi

I numeri che precedono lo zero

Con i numeri naturali non sempre è possibile eseguire l’operazione di sottrazione. In particolare, non è possibile sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, per esempio $5-12$ . Tuttavia ci sono situazioni in cui una sottrazione di questo tipo deve essere eseguita.

Per esempio, è possibile acquistare un’auto di 12000 pur avendo soltanto risparmi in banca di soli 5000. In questo caso si tratta di togliere dai 5000 i 12000 che servono per acquistare l’auto: materialmente non è possibile e si ricorre a un prestito.

Pensiamo ad una comunicazione dei meteorologi relativa alle previsioni del tempo: <<domani la temperatura, a causa di una perturbazione proveniente dai paesi nordici, potrebbe subire un drastico calo e scendere anche di 10 gradi>>. Riflettiamo: se oggi la temperatura è di 9 gradi, come possiamo esprimere numericamente la temperatura prevista per domani? Alcuni diranno: <<il liquido contenuto nel termometro si posizionerà al di sotto dello zero>>, altri <<domani la temperatura sarà di un grado sotto lo zero>> e altri ancora <<la temperatura sarà di $-1$ grado>>.

Leggiamo nel testo di geografia: <<Il punto più profondo della Terra si trova nella fossa delle Marianne; esso supera di 2061 metri l’altezza del monte Everest e si trova a 10916 metri sotto il livello del mare>>. Se attribuiamo al livello del mare il valore zero, allora potremmo esprimere la profondità della Fossa con il numero $-10\,916$ e l’altezza del monte Everest con il numero $+8\,855$ .

Per rappresentare le grandezze che hanno due sensi, come temperature, crediti e i debiti, latitudine nord e sud, altezze sopra il livello del mare e profondità marine i numeri naturali non bastano. I matematici in queste situazioni usano i numeri interi relativi che si scrivono utilizzando gli stessi numeri naturali ma preceduti dal segno “ $+$ ” se sono numeri maggiori di 0 e dal segno “ $-$ ” se sono numeri minori di 0. L’insieme di questi numeri si costruisce raddoppiando i numeri naturali $\mathbb {N}$ e facendo precedere ciascun numero dal segno “ $+$ ” o “ $-$ ”, ad eccezione dello 0, al quale non si attribuisce segno.

$\mathbb {Z} =\lbrace \ldots ,-5,-4,-3,-2,-1,~0,+1,+2,+3,+4,+5,\ldots \rbrace$

I numeri relativi e la retta

I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta. Disegniamo una retta, su di essa prendiamo un punto di riferimento al quale associamo il numero zero, il verso di percorrenza da sinistra verso destra, un segmento $AB$ come un’unità di misura. Riportiamo questa unità di misura più volte partendo da zero e procedendo nel verso stabilito aggiungiamo ogni volta uno: ai punti trovati associamo gli interi positivi. Ripetiamo l’operazione partendo dallo zero, ma con il verso di percorrenza a sinistra: ai punti trovati associamo gli interi negativi.

Possiamo interpretare questi numeri come il numero di passi da fare sulla retta, partendo dallo zero verso destra se il segno è positivo, verso sinistra se il segno è negativo.

L’insieme dei numeri relativi si indica con il simbolo $\mathbb {Z}$ . In particolare, l’insieme dei soli numeri interi relativi con segno positivo si indica con il simbolo $\mathbb {Z} ^{+}$ , l’insieme dei soli numeri interi negativi si indica con il simbolo $\mathbb {Z} ^{-}$ .

Definizione

Definizione: Due numeri relativi si dicono concordi, se hanno lo stesso segno; si dicono discordi se hanno segni opposti.

Regola

Esempio: Concordi-discordi.

$+3$ e $+5$ sono concordi;
$+3$ e $-5$ sono discordi;
$-5$ e $-2$ sono concordi.

Esempio: Concordi-discordi.

$+3$ e $+5$ sono concordi;
$+3$ e $-5$ sono discordi;
$-5$ e $-2$ sono concordi.

Definizione

Definizione: Il valore assoluto di un numero relativo è il numero senza il segno; quindi un numero naturale.

Il valore assoluto si indica inserendo il numero relativo tra due barre verticali ( $\left|\right|$ ). In linguaggio matematico:

$\left|a\right|=a,{\text{ se }}a\geq 0,\qquad \left|a\right|=-a,{\text{ se }}a<0.$

Esempio: Valore assoluto.

$\left|+2\right|=2$ ;
$\left|-5\right|=5$ ;
$\left|-73\right|=73$ ;
$\left|+13\right|=13$ .