Wikibooks:Deposito/Moduli/Trasformazione delle componenti vettoriali

Per trasformazione delle componenti vettoriali si intende la variazione delle componenti di un vettore in funzione della rotazione del proprio sistema cartesiano di riferimento.

Componenti di un vettore rispetto a basi differenti

Assumiamo due basi $B$ e $B^{\prime }$ di coordinate cartesiane ortogonali aventi in comune l'origine e gli assi differentemente orientati, ed un vettore $\overrightarrow{R}$ con origine inP(0,0,0).

Si proceda ora alla scomposizione del vettore nelle sue componenti secondo gli assi di entrambe le basi di versori rispettivamente $\overrightarrow{e_i}$ della base $B$ e $\overrightarrow{e_{j^{\prime }}}$ della base $B^{\prime }$ ottendo le seguenti relazioni:

1) $\overrightarrow{R}=x_1\overrightarrow{e_1}+x_2\overrightarrow{e_2}+x_3\overrightarrow{e_3}=\sum _{i=1}^3{x}_i\overrightarrow{e_i}$

2) $\overrightarrow{R}=x_1^{\text{'}}\overrightarrow{e_1^{\text{'}}}+x_2^{\text{'}}\overrightarrow{e_2^{\text{'}}}+x_3^{\text{'}}\overrightarrow{e_3^{\text{'}}}=\sum _{j=1}^3{x}_j^{\text{'}}\overrightarrow{e_j^{\text{'}}}$

Correlazione dei componenti di un vettore in basi differenti

La trasformazione delle coordinate in $B$ del vettore $\overrightarrow{R}$, in coordinate in $B^{\prime }$, è ottenuta proiettando $\overrightarrow{R}$, o le componenti di $\overrightarrow{R}$ in $B$ di cui alla relazione 1), sugli assi del riferimento $B^{\prime }$:

$x_{1^{\prime }}=\overrightarrow{e_{1^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{R}=x_1(\overrightarrow{e_{1^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_1})+x_2(\overrightarrow{e_{1^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_2})+x_3(\overrightarrow{e_{1^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_3})=\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{e_{1^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_i})x_i$

$x_{2^{\prime }}=\overrightarrow{e_{2^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{R}=x_1(\overrightarrow{e_{2^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_1})+x_2(\overrightarrow{e_{2^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_2})+x_3(\overrightarrow{e_{2^{\prime }}\cdot \overrightarrow{e_3}})=\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{e_{2^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_i})x_i$

$x_{3^{\prime }}=\overrightarrow{e_{3^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{R}=x_1(\overrightarrow{e_{3^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_1})+x_2(\overrightarrow{e_{3^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_2})+x_3(\overrightarrow{e_{3^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_3})=\sum _{i=1}^3(\overrightarrow{e_{3^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{e_i})x_i$

Sintetizzando, le componenti in $B$ del vettore $\overrightarrow{R}$ si trasformano in componenti in $B^{\prime }$, tramite la seguente relazione:

3) $x_{j^{\prime }}=\sum _{i=1}^3(e_{j^{\prime }}\cdot \overrightarrow{e_i})x_i$

Parimenti, la trasormazione delle coordinate in $B^{\prime }$ del vettore $\overrightarrow{R}$, è ottenuta proiettando $\overrightarrow{R}$, o le componenti di $\overrightarrow{R}$ in $B^{\prime }$ di cui alla relazione 2), sugli assi del riferimento in $B$.

$x_1=\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{R}=x_{1^{\prime }}(\overrightarrow{e_1}\cdot {\overrightarrow{e_1}}^{\prime })+x_{2^{\prime }}(\overrightarrow{e_1}\cdot {\overrightarrow{e_2}}^{\prime })+x_{3^{\prime }}(\overrightarrow{e_1}\cdot {\overrightarrow{e_3}}^{\prime })=\sum _{j=1}^3(\overrightarrow{e_1}\cdot {\overrightarrow{e_j}}^{\prime })x_{j^{\prime }}$

$x_2=\overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{R}=x_{1^{\prime }}(\overrightarrow{e_2}\cdot {\overrightarrow{e_1}}^{\prime })+x_{2^{\prime }}(\overrightarrow{e_e}\cdot {\overrightarrow{e_2}}^{\prime })+x_{3^{\prime }}(\overrightarrow{e_3}\cdot {\overrightarrow{e_3}}^{\prime })=\sum _{j=1}^3(\overrightarrow{e_2}\cdot {\overrightarrow{e_j}}^{\prime })x_{j^{\prime }}$

$x_3=\overrightarrow{e_3}\cdot \overrightarrow{R}=x_{1^{\prime }}(\overrightarrow{e_3}\cdot {\overrightarrow{e_1}}^{\prime })+x_{2^{\prime }}(\overrightarrow{e_3}\cdot {\overrightarrow{e_2}}^{\prime })+x_{3^{\prime }}(\overrightarrow{e_3}\cdot {\overrightarrow{e_3}}^{\prime })=\sum _{j=1}^3(\overrightarrow{e_3}\cdot {\overrightarrow{e_j}}^{\prime })x_{j^{\prime }}$

Sintetizzando, le componenti in $B^{\prime }$ del vettore $\overrightarrow{R}$ si trasfomano in componenti in $B$, tramite la seguente relazione

4) $x_i=\sum _{j=1}^3(e_i\cdot {\overrightarrow{e_j}}^{\prime })x_{j^{\prime }}$

Introducendo la notazione:

${\alpha }_{ij}=\overrightarrow{e_i}\cdot {\overrightarrow{e_j}}^{\prime }$

che simbolizza i coseni direttori,ossia i coseni degli angoli compresi tra i versori $\overrightarrow{e_i}$ e ${\overrightarrow{e_j}}^{\prime }$, le espressioni che legano le componenti di un vettore in due basi differenti divengono:

$x_{j^{\prime }}=\sum _{i=1}^3{\alpha }_{ij}{x}_i$
$x_i=\sum _{j=1}^3{\alpha }_{ij}{x}_{j^{\prime }}$

Matrice di trasformazione

Indichiamo con ${\alpha }_{11}$, ${\alpha }_{21}$ e ${\alpha }_{31}$ le componenti di ${\overrightarrow{e_1}}^{\prime }$ rispetto alla base B; analogamente facciamo per ${\overrightarrow{e_2}}^{\prime }$, ${\overrightarrow{e_3}}^{\prime }$, poniamo cioè:

${\overrightarrow{e_1}}^{\prime }={\alpha }_{11}\overrightarrow{e_1}+{\alpha }_{21}\overrightarrow{e_2}+{\alpha }_{31}\overrightarrow{e_3}$

${\overrightarrow{e_2}}^{\prime }={\alpha }_{12}\overrightarrow{e_1}+{\alpha }_{22}\overrightarrow{e_2}+{\alpha }_{32}\overrightarrow{e_3}$

${\overrightarrow{e_3}}^{\prime }={\alpha }_{13}\overrightarrow{e_1}+{\alpha }_{23}\overrightarrow{e_2}+{\alpha }_{33}\overrightarrow{e_3}$

Ora consideriamo il seguente prodotto misto in componenti:

${\overrightarrow{e_1}}^{\prime }\cdot ({\overrightarrow{e_2}}^{\prime }\wedge {\overrightarrow{e_3}}^{\prime })=\left|\begin{array}{ccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{21}& {\alpha }_{31}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}& {\alpha }_{32}\\ {\alpha }_{13}& {\alpha }_{23}& {\alpha }_{33}\end{array}\right|=1$

È evidente che il valore del determinamte della matrice dei nove coseni direttori debba essere uguale all'unita, poiché:

${\overrightarrow{e_1}}^{\prime }\cdot ({\overrightarrow{e_2}}^{\prime }\wedge {\overrightarrow{e_3}}^{\prime })={\overrightarrow{e_1}}^{\prime }\cdot {\overrightarrow{e_1}}^{\prime }=1$

variazione delle componenti vettoriali in una terna in rotazione

In una terna ruotante attorno ad una retta passante per l'origine le componenti vettoriali, presenti nella posizione iniziale, si trasformano ed assumono valori attinenti alla posizione finale. La trasformazione avviene in accordo con una delle due seguenti relazioni:

$x_{j^{\prime }}=\sum _{i=1}^3{\alpha }_{ij}{x}_i$
$x_i=\sum _{j=1}^3{\alpha }_{ji}{x}_{j^{\prime }}$

a seconda della scelta opzionale delle coordinate iniziali, $x_{j^{\prime }}$ o $x_i$.

I coseni direttori relativi alla posizione finale devono necessariamente verificare la già nota condizione:

$\left|\begin{array}{ccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{21}& {\alpha }_{31}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}& {\alpha }_{32}\\ {\alpha }_{13}& {\alpha }_{23}& {\alpha }_{33}\end{array}\right|=1$