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Principi di insiemistica e funzioni elementari
Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Numeri reali (seconda parte) Numeri complessi Funzioni Funzioni circolari Funzioni radice, esponenziale e logaritmica Le successioni e le serie numeriche in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Successioni reali Limiti di successioni reali Teoremi sulle successioni Algebra dei limiti delle successioni Esistenza del limite di una successione Limiti inferiori e superiori Forme indeterminate di successioni Serie numeriche Limiti di funzioni reali a una variabile reale
Punti di accumulazione e chiusura di un insieme Compattezza di un insieme Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale Algebra dei limiti Teorema del confronto e teorema di Cauchy Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
Analisi matematica I/Funzioni monotone Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue Calcolo differenziale in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione Analisi matematica I/Algebra delle derivate Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital Analisi matematica I/Polinomi di Taylor Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali Analisi matematica I/Funzioni convesse Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
Analisi matematica I/Integrale di Riemann Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale Analisi matematica I/Integrale generalizzato Successioni e serie di funzioni
Analisi matematica I/Successioni di funzioni Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
Gli insiemi e i vari tipi di insiemi Note storiche sugli insiemi I numeri reali I numeri complessi Sommatorie progressione geometrica fattoriale di n formula di Newton Potenze e radicali Esponenziali e logaritmi Insiemi infiniti Massimi e minimi Funzioni Serie e successioni
Successioni: definizione Limiti: definizione Successioni monotone Calcolo dei limiti Limite di successioni Il numero di Nepero (e) Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti Limiti notevoli Serie numeriche: definizione Serie a termini non negativi Serie a termini di segno variabile Funzioni di una variabile, limiti e continuità
Limiti di funzioni da R a R Limiti di funzioni da Rn a Rm Funzioni numeriche e generalità Grafico di una funzione Funzioni limitate Funzioni simmetriche, pari e dispari Funzioni monotone Funzioni periodiche Limiti, continuità, asintoti Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili) Funzioni trigonometriche inverse Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Introduzione Il rapporto incrementale Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa Le derivate fondamentali Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia; Il teorema di de L’Hospital Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare o piccolo Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n Studio del grafico di una funzione Calcolo integrale per funzioni di una variabile
L’integrale come limite di somme Proprietà dell'integrale Il teorema fondamentale del calcolo integrale Metodo di ricerca della primitiva Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti Funzioni integrabili integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue Integrazione di funzioni non limitate Criteri di integrabilità al finito Integrazione su intervalli illimitati Criteri di integrabilità all’infinito Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale Integrazione delle funzioni trigonometriche Modifica il sommario
Teorema :Derivata di una funzione costante
La derivata di una funzione costante è uguale a zero.
D
[
k
]
=
0
{\displaystyle D[k]=0}
Teorema: Derivata di una funzione costante
Ipotesi
y
=
k
{\displaystyle y=k}
Tesi
y
′
=
0
{\displaystyle y'=0}
Dimostrazione
Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi
y
′
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
(
x
+
h
)
−
x
h
=
lim
h
→
0
k
−
k
h
=
0
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {k-k}{h}}=0}
Interpretazione grafica
Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero. Ipotesi
y
=
x
{\displaystyle y=x}
Tesi
y
′
=
1
{\displaystyle y'=1}
Dimostrazione
Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi
y
′
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
x
+
h
−
x
h
=
lim
h
→
0
h
h
=
1
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h}{h}}=1}
Interpretazione grafica
Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che
4
y
4
x
=
1
{\displaystyle {\frac {{\mathcal {4}}y}{{\mathcal {4}}x}}=1}
allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1. Ipotesi
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x\,\!}
Tesi
y
′
=
cos
x
{\displaystyle y'=\cos x\,\!}
Dimostrazione
y
′
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
sin
(
x
+
h
)
−
sin
x
h
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}}
Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
sin
p
±
sin
q
=
2
sin
p
±
q
2
⋅
cos
p
∓
q
2
{\displaystyle \sin p\pm \sin q=2\sin {\frac {p\pm q}{2}}\cdot \cos {\frac {p\mp q}{2}}}
si ottiene
y
′
=
lim
h
→
0
2
sin
x
+
h
−
x
2
cos
x
+
h
+
x
2
h
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2\sin {\frac {x+h-x}{2}}\cos {\frac {x+h+x}{2}}}{h}}}
Si moltiplica numeratore e denominatore per
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
y
′
=
lim
h
→
0
[
sin
h
2
h
2
⋅
cos
2
x
+
h
2
]
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \cos {\frac {2x+h}{2}}\right]}
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
lim
h
→
0
[
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
]
=
lim
h
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
h
→
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}}
ottenendo
y
′
=
lim
h
→
0
sin
h
2
h
2
⋅
lim
h
→
0
cos
(
x
+
h
2
)
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)}
Ricordando il limite notevole
lim
x
→
x
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\sin x}{x}}=1}
si ottiene
y
′
=
lim
h
→
0
cos
(
x
+
h
2
)
=
cos
x
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)=\cos x}
Ipotesi
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x\,\!}
Tesi
y
′
=
−
sin
x
{\displaystyle y'=-\sin x\,\!}
Dimostrazione
y
′
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
cos
(
x
+
h
)
−
cos
x
h
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}}
Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
cos
p
−
cos
q
=
−
2
sin
p
+
q
2
⋅
sin
p
−
q
2
{\displaystyle \cos p-\cos q=-2\sin {\frac {p+q}{2}}\cdot \sin {\frac {p-q}{2}}}
si ottiene
y
′
=
lim
h
→
0
−
2
sin
x
+
h
+
x
2
sin
x
+
h
−
x
2
h
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-2\sin {\frac {x+h+x}{2}}\sin {\frac {x+h-x}{2}}}{h}}}
Si moltiplica numeratore e denominatore per
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
y
′
=
lim
h
→
0
[
−
sin
2
x
+
h
2
⋅
sin
h
2
h
2
]
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin {\frac {2x+h}{2}}\cdot {\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\right]}
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
lim
h
→
0
[
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
]
=
lim
h
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
h
→
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}}
ottenendo
y
′
=
lim
h
→
0
[
−
sin
(
x
+
h
2
)
]
⋅
lim
h
→
0
sin
h
2
h
2
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}}
Ricordando il limite notevole
lim
x
→
x
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {\sin x}{x}}=1}
si ottiene
y
′
=
lim
h
→
0
[
−
sin
(
x
+
h
2
)
]
=
−
sin
x
{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]=-\sin x}
![{\displaystyle D[k]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde5791ac5972c234346140ab35670ebcc30f834)
![{\displaystyle D[x]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be9e0fdc4350159749851e97a934b2c1e62a6ca)
![{\displaystyle D[\sin x]=\cos x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13a61b5f975102974d390760f01c542b71f57d1)
![{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\cdot \cos {\frac {2x+h}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d66d9a62cd9d42264df78ca8672a90dc64a9a6)
![{\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]}=\lim _{h\rightarrow 0}{f\left(x\right)}\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{g\left(x\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3519ce0af8efc9ce2b23ed6a6db00a0cc3dc1)
![{\displaystyle D\left[\cos x\right]=-\sin x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04aa18de1d34e8f9da93d715968784c53f51463)
![{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin {\frac {2x+h}{2}}\cdot {\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcdd1c2cd7952b1848f297ef98b03f3bfb6181c)
![{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]\cdot \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin {\frac {h}{2}}}{\frac {h}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b290fc7742de143d0ab40bab7c29ad33267261)
![{\displaystyle y'=\lim _{h\rightarrow 0}\left[-\sin \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right]=-\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebbc0ecfe239e984e682af51eae38e628d21fdc)