Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le derivate fondamentali

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Sommario
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Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Definizione di limite
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Il rapporto incrementale
  2. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  3. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  4. Le derivate fondamentali
  5. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  6. Il teorema di de L’Hospital
  7. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  8. o piccolo
  9. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  10. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  11. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche


Indice

[modifica] Derivata di una funzione costante

Teorema: Derivata di una funzione costante
La derivata di una funzione costante è uguale a zero.
D[k] = 0
Teorema: Derivata di una funzione costante

Ipotesi

y = k

Tesi

y' = 0

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=k anche f(x+h)=k, quindi
y'=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{k-k}{h}=0

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=f(x)=k è una retta parallela all'asse x la cui pendenza in ogni suo punto è sempre uguale a zero, quindi la sua derivata deve essere zero.

[modifica] Derivata della funzione y=x

Teorema: Derivata della funzione y = x
La derivata della funzione y = x è y' = 1.
D[x] = 1
Teorema: Derivata della funzione y = x

Ipotesi

y = x

Tesi

y' = 1

Dimostrazione

Si consideri che se f(x)=x, allora f(x+h)=x+k, quindi
y'=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{h}{h}=1

Interpretazione grafica

Il grafico della funzione y=x è la retta bisettrice del 1° e del 3° quadrante del piano cartesiano ortogonale quindi, dato che la pendenza di una retta è uguale, per un certo intervallo, al rapporto della differenza delle ordinate per la differenza delle ascisse e dato che, in questo caso, per qualsiasi intervallo, si verifica che
\frac {\mathcal {4}y}{\mathcal {4}x}=1
allora vuol dire che la derivata della funzione y=x è uguale a 1.

[modifica] Derivata della funzione sinusoidale

Teorema: Derivata della funzione sinusoidale
La derivata della funzione y=\sin x \,\! è y'=\cos x \,\!.
D[\sin x] = \cos x \,\!
Teorema: Derivata della funzione sinusoidale

Ipotesi

y = \sin x \,\!

Tesi

y' = \cos x \,\!

Dimostrazione

y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}
Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
\sin p \pm \sin q = 2 \sin{ \frac{p \pm q}{2} } \cdot \cos{ \frac{ p \mp q}{2}}
si ottiene
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{2 \sin \frac{x+h-x}{2} \cos \frac{x+h+x}{2} }{h}
Si moltiplica numeratore e denominatore per \frac{1}{2} isolando il fattore con la funzione coseno
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \left[ \frac{ \sin \frac{h}{2} } { \frac{h}{2} }\cdot \cos \frac{2x+h}{2} \right]
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
\lim_{h\rightarrow 0} { \left[f \left(x \right) \cdot g \left(x \right) \right]} = \lim_{h\rightarrow 0} {f \left(x\right) }\cdot \lim_{h\rightarrow 0} { g \left(x\right)}
ottenendo
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \sin \frac{h}{2} }{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h\rightarrow 0} \cos \left( x+ \frac{h}{2} \right)
Ricordando il limite notevole
\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{\sin x}{x} = 1
si ottiene
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \cos \left( x+ \frac{h}{2} \right) =\cos x

[modifica] Derivata della funzione cosinusoidale

Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale
La derivata della funzione y=\cos x \,\! è y'=-\sin x \,\!.
D \left[ \cos x \right] = -\sin x \,\!
Teorema: Derivata della funzione cosinusoidale

Ipotesi

y = \cos x \,\!

Tesi

y' = -\sin x \,\!

Dimostrazione

y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}
Applicando al numeratore la formula di prostaferesi
\cos p - \cos q = 2 \sin{ \frac{p + q}{2} } \cdot \sin{ \frac{ p - q}{2}}
si ottiene
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{-2 \sin \frac{x+h+x}{2} \sin \frac{x+h-x}{2} }{h}
Si moltiplica numeratore e denominatore per \frac{1}{2} isolando il primo fattore del numeratore
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \left[ -\sin \frac{2x+h}{2} \cdot \frac{ \sin \frac{h}{2} } { \frac{h}{2} } \right]
Si applica il teorema del prodotto dei limiti
\lim_{h\rightarrow 0} { \left[f \left(x \right) \cdot g \left(x \right) \right]} = \lim_{h\rightarrow 0} {f \left(x\right) }\cdot \lim_{h\rightarrow 0} { g \left(x\right)}
ottenendo
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \left[ -\sin \left( x+ \frac{h}{2} \right) \right] \cdot \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ \sin \frac{h}{2} } { \frac{h}{2} }
Ricordando il limite notevole
\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{\sin x}{x} = 1
si ottiene
y' = \lim_{h\rightarrow 0} \left[ -\sin \left( x+ \frac{h}{2} \right) \right]= -\sin x
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