Principi di insiemistica e funzioni elementari
Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Numeri reali (seconda parte) Numeri complessi Funzioni Funzioni circolari Funzioni radice, esponenziale e logaritmica Le successioni e le serie numeriche in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Successioni reali Limiti di successioni reali Teoremi sulle successioni Algebra dei limiti delle successioni Esistenza del limite di una successione Limiti inferiori e superiori Forme indeterminate di successioni Serie numeriche Limiti di funzioni reali a una variabile reale
Punti di accumulazione e chiusura di un insieme Compattezza di un insieme Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale Algebra dei limiti Teorema del confronto e teorema di Cauchy Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
Analisi matematica I/Funzioni monotone Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue Calcolo differenziale in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione Analisi matematica I/Algebra delle derivate Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital Analisi matematica I/Polinomi di Taylor Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali Analisi matematica I/Funzioni convesse Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
Analisi matematica I/Integrale di Riemann Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale Analisi matematica I/Integrale generalizzato Successioni e serie di funzioni
Analisi matematica I/Successioni di funzioni Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
Gli insiemi e i vari tipi di insiemi Note storiche sugli insiemi I numeri reali I numeri complessi Sommatorie progressione geometrica fattoriale di n formula di Newton Potenze e radicali Esponenziali e logaritmi Insiemi infiniti Massimi e minimi Funzioni Serie e successioni
Successioni: definizione Limiti: definizione Successioni monotone Calcolo dei limiti Limite di successioni Il numero di Nepero (e) Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti Limiti notevoli Serie numeriche: definizione Serie a termini non negativi Serie a termini di segno variabile Funzioni di una variabile, limiti e continuità
Limiti di funzioni da R a R Limiti di funzioni da Rn a Rm Funzioni numeriche e generalità Grafico di una funzione Funzioni limitate Funzioni simmetriche, pari e dispari Funzioni monotone Funzioni periodiche Limiti, continuità, asintoti Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili) Funzioni trigonometriche inverse Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Introduzione Il rapporto incrementale Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa Le derivate fondamentali Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia; Il teorema di de L’Hospital Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare o piccolo Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n Studio del grafico di una funzione Calcolo integrale per funzioni di una variabile
L’integrale come limite di somme Proprietà dell'integrale Il teorema fondamentale del calcolo integrale Metodo di ricerca della primitiva Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti Funzioni integrabili integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue Integrazione di funzioni non limitate Criteri di integrabilità al finito Integrazione su intervalli illimitati Criteri di integrabilità all’infinito Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale Integrazione delle funzioni trigonometriche Modifica il sommario
Lo scopo dell'operazione di limite è di descrivere il comportamento di una funzione vicino ad un punto di accumulazione del suo dominio. Il concetto di limite è utilizzato in analisi per poi poter dare la definizione di continuità e di derivata
Partiamo ora dalla definizione di limite per funzioni del tipo
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}
Quindi iniziamo con una funzione
f
:
X
⊆
R
→
R
{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
x
→
x
0
{\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}
intorni sempre più piccoli di
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
X
{\displaystyle X\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
Ciò che ci interessa è cosa succede quando
x
→
x
0
{\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}
P
{\displaystyle P\,\!}
P
{\displaystyle P\,\!}
x
→
x
0
{\displaystyle x\rightarrow x_{0}\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
P
{\displaystyle P\,\!}
Ora possiamo dare la definizione di limite :
Definizione
Sia
f
:
X
⊆
R
→
R
{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,\!}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X\,\!}
accumulazione e
l
∈
R
{\displaystyle l\in \mathbb {R} \,\!}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
x
{\displaystyle x\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
se, per ogni intorno
V
{\displaystyle V\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
U
{\displaystyle U\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
{\displaystyle f(x)\in V\,\!}
x
∈
U
∩
X
∖
{
x
0
}
{\displaystyle x\in U\cap X\setminus \{x_{0}\}\,\!}
in simboli:
∀
ϵ
>
0
,
∃
δ
>
0
:
|
x
−
x
0
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
l
|
<
ϵ
,
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\vert x-x_{0}\vert <\delta \implies \vert f(x)-l\vert <\epsilon ,\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
Di rilevante importanza è l'estensione della definizione per l'insieme
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}
numeri reali esteso), che è definito come:
R
∗
=
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace \,\!}
dove
−
∞
{\displaystyle -\infty \,\!}
+
∞
{\displaystyle +\infty \,\!}
numeri , ma nuovi punti. Per fare in modo che
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!}
insieme ordinato , decidiamo che:
∀
x
∈
R
:
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x<+\infty \,\!}
La scrittura in simboli prevende più formule a seconda del valore assunto da
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
l
{\displaystyle l\,\!}
Per
x
0
∈
R
,
l
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \mathbb {R} }
∀
ϵ
>
0
∃
δ
=
δ
(
l
)
>
0
:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
|
f
(
x
)
−
l
|
<
ϵ
∀
x
∈
A
∩
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
−
x
0
{\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta =\delta (l)>0\ :\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l|f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}}
Per
x
0
∈
R
,
l
∈
∞
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ,l\in \infty }
∀
k
>
0
,
∃
δ
=
δ
(
l
)
>
0
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
∞
f
(
x
)
>
k
∀
x
∈
A
∩
(
x
0
−
δ
,
x
0
+
δ
)
−
x
0
{\displaystyle \forall k>0,\exists \delta =\delta (l)>0\ \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cap (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )-x_{0}}
Per
x
0
=
∞
l
∈
R
{\displaystyle x_{0}=\infty \ l\in \mathbb {R} }
∀
ϵ
>
0
∃
N
(
ϵ
)
:
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
l
|
f
(
x
)
−
l
|
<
ϵ
∀
x
∈
A
∪
x
:
x
>
N
(
ϵ
)
−
x
0
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=l\ |f(x)-l|<\epsilon \ \forall x\in A\cup {x:x>N(\epsilon )}-x_{0}}
Per
x
0
=
∞
l
=
∞
{\displaystyle x_{0}=\infty \ l=\infty }
∀
k
>
0
∃
N
(
ϵ
)
:
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
∞
f
(
x
)
>
k
∀
x
∈
A
∪
(
x
:
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle \forall k>0\ \exists N(\epsilon )\ :\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \ f(x)>k\ \forall x\in A\cup (x:x>N(\epsilon ))}
Se il limite di una funzione è il seguente
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=0}
infinitesima .
Se il limite di una funzione è il seguente
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }
infinita .
Provare che
lim
x
→
0
1
x
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=+\infty \!}
Prendiamo un intorno di
+
∞
{\displaystyle +\infty \!}
κ
≤
f
(
x
)
{\displaystyle \kappa \leq f(x)\!}
perciò:
κ
≤
1
x
2
{\displaystyle \kappa \leq {\frac {1}{x^{2}}}\!}
x
2
≤
1
κ
{\displaystyle x^{2}\leq {\frac {1}{\kappa }}\!}
quindi basterà prendere:
x
∈
(
−
1
κ
,
+
1
κ
)
{\displaystyle x\in \left(-{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}},+{\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\right)\!}
che è un intorno di 0, il limite è verificato!. Provare che
lim
x
→
+
∞
x
x
+
2
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{x+2}}=1\!}
Prendiamo un intorno di 1, otteniamo:
1
−
ϵ
≤
x
x
+
2
≤
1
+
ϵ
{\displaystyle 1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \!}
separando la disuguaglianza :
1
−
ϵ
≤
x
x
+
2
e
x
x
+
2
≤
1
+
ϵ
{\displaystyle 1-\epsilon \leq {\frac {x}{x+2}}{\mbox{ e }}{\frac {x}{x+2}}\leq 1+\epsilon \!}
dalle quali otteniamo direttamente:
x
≥
2
(
1
ϵ
−
1
)
e
x
≥
−
2
(
1
ϵ
+
1
)
{\displaystyle x\geq 2\left({\frac {1}{\epsilon }}-1\right){\mbox{ e }}x\geq -2\left({\frac {1}{\epsilon }}+1\right)\!}
dalle quali, per
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\!}
x
≥
2
(
1
ϵ
−
1
)
>
−
2
(
1
ϵ
+
1
)
{\displaystyle x\geq 2\left({\frac {1}{\epsilon }}-1\right)>-2\left({\frac {1}{\epsilon }}+1\right)\!}
che è un intorno di
+
∞
{\displaystyle +\infty \,\!}
limite è verificato. Provare che
lim
x
→
+
∞
sin
x
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\sin x\!}
Sappiamo che la funzione seno e limitata perciò
sin
x
∈
[
−
1
;
+
1
]
{\displaystyle \sin x\in \left[-1;+1\right]\!}
dalla quale
x
∈
[
−
π
2
+
2
k
π
;
+
π
2
+
2
k
π
]
{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;+{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right]\!}
che non è un intorno di
+
∞
{\displaystyle +\infty \!}
limite non esiste. Per avere informazioni più precise è bene introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro . Prima di procedere ricordiamo la definizione di intorno destro e sinistro.
Definizione
Possiamo così dare la definizione di limite destro e sinistro , in simboli saranno indicati rispettivamente:
lim
x
→
x
0
+
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}\,\!}
lim
x
→
x
0
−
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\,\!}
La definizione sarà:
Definizione
limite per difetto e per eccesso , in simboli, rispettivamente:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
+
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l^{+}\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
−
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l^{-}\,\!}
L'esplicitazione della definizione viene lasciata al lettore come esercizio.
Sia
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
1
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
2
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\!}
allora
l
1
=
l
2
{\displaystyle l_{1}=l_{2}\!}
Teorema: Teorema di unicità
La dimostrazione del teorema procede per assurdo , presi
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
1
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
2
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}\!}
con
l
1
≠
l
2
{\displaystyle l_{1}\neq l_{2}\,\!}
intorni
V
1
{\displaystyle V_{1}\,\!}
l
1
{\displaystyle l_{1}\,\!}
V
2
{\displaystyle V_{2}\,\!}
l
2
{\displaystyle l_{2}\,\!}
V
1
∩
V
2
=
∅
{\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset \,\!}
intorni
U
1
{\displaystyle U_{1}\,\!}
U
2
{\displaystyle U_{2}\,\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
1
{\displaystyle f(x)\in V_{1}\,\!}
x
∈
U
1
{\displaystyle x\in U_{1}\,\!}
e
f
(
x
)
∈
V
2
{\displaystyle f(x)\in V_{2}\,\!}
x
∈
U
2
{\displaystyle x\in U_{2}\,\!}
Dunque prendendo l'intorno di
x
0
{\displaystyle x_{0}\,\!}
U
1
∩
U
2
{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
1
{\displaystyle f(x)\in V_{1}\,\!}
f
(
x
)
∈
V
2
{\displaystyle f(x)\in V_{2}\,\!}
Dimostrazione: Teorema di unicità
Teorema :Teorema di limitatezza locale
Sia
f
:
X
⊆
R
→
R
{\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \!}
Se
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
∈
R
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\in \mathbb {R} \!}
allora esistono, un intorno
V
{\displaystyle V\!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\!}
numero
M
>
0
,
M
∈
R
{\displaystyle M>0,M\in \mathbb {R} \!}
tali che
|
f
(
x
)
|
<
M
,
∀
x
∈
V
∩
X
∖
{
x
0
}
{\displaystyle |f(x)|<M,\forall x\in V\cap X\setminus \{x_{0}\}\!}
Teorema: Teorema di limitatezza locale
Teorema :Teorema di esistenza del limite
Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limite
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
è che esistano sia il limite destro che quello sinistro e siano uguali
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
l
⟹
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=l\implies \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l\,\!}
Teorema: Teorema di esistenza del limite
Teorema :Teorema della permanenza del segno Teorema: Teorema della permanenza del segno
Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno
È possibile eseguire la stessa dimostrazione per
+
∞
{\displaystyle +\infty \!}
−
∞
{\displaystyle -\infty \!}
Corollario: Teorema della permanenza del segno
Teorema: Teorema del confronto
Dimostrazione: Teorema del confronto
Del tutto analoga la dimostrazione per i casi
l
=
±
∞
{\displaystyle l=\pm \infty \!}
funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.
L'esempio canonico di applicazione di questo teorema è la verifica del limite
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\!}
Prendiamo come riferimento l'immagine a destra. Sia
0
<
x
<
π
2
{\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}\!}
arco (in radianti ) di circonferenza di centro O e raggio
O
A
¯
=
1
{\displaystyle {\overline {OA}}=1\!}
Allora
P
H
¯
=
sin
x
{\displaystyle {\overline {PH}}=\sin x\!}
Q
A
¯
=
tan
x
{\displaystyle {\overline {QA}}=\tan x\!}
Si ha dunque
sin
x
<
x
<
tan
x
{\displaystyle \sin x<x<\tan x\!}
da cui, dividendo per
sin
x
{\displaystyle \sin x\!}
1
<
x
sin
x
<
1
cos
x
{\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}\!}
prendendo i reciproci
cos
x
<
sin
x
x
<
1
{\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1\!}
sapendo che la disuguaglianza non cambia per
−
x
{\displaystyle -x\!}
lim
x
→
0
cos
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos x=1\!}
teorema del confronto
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\!}
I teoremi che vengono riportati di seguito potranno sembrare banali e evidenti, ma sono essenziali per lo studio dei limiti . Come vedrete semplificheranno molto l'approccio all'operazione. Nonostante questo, compariranno nuovi problemi che troveranno soluzioni solo con tecniche più raffinate.
Teorema: Operazioni con i limiti
È evidente la validità dei teoremi per valori di
R
{\displaystyle \mathbb {R} \!}
numeri reali ), invece per elementi appartenenti a
R
∗
{\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\!}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty \!}
teoremi . Di seguito riportiamo sinteticamente le regole di calcolo fondamentali per questi casi. Ma come vedremo avremo a che fare con nuove difficoltà che subito risolveremo.
Sia
f
:
X
f
⊆
R
→
R
,
g
:
X
g
⊆
R
→
R
,
X
f
∩
X
g
≠
∅
{\displaystyle f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing \!}
x
0
{\displaystyle x_{0}\!}
punto di accumulazione per
X
f
,
X
g
{\displaystyle X_{f},\,X_{g}\!}
Se
∃
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
,
∃
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
l
(finito) e
c
∈
R
{\displaystyle \exists \lim _{x\to x_{0}}f(x),\,\exists \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l{\mbox{ (finito) e }}c\in \mathbb {R} \!}
allora
f
(
x
)
→
±
∞
,
c
>
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
c
⋅
f
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,c>0\implies \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
,
c
<
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
c
⋅
f
(
x
)
)
=
∓
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,c<0\implies \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\mp \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
⟹
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
⟹
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}(f(x)-g(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
⟹
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
0
±
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty \implies \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0^{\pm }\!}
f
(
x
)
→
0
±
⟹
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to 0^{\pm }\implies \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
,
l
>
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
)
=
±
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,l>0\implies \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\pm \infty \!}
f
(
x
)
→
±
∞
,
l
<
0
⟹
lim
x
→
x
0
(
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
)
=
∓
∞
{\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,l<0\implies \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\mp \infty \!}
Teorema: Operazioni con i limiti
Questo teorema giustifica l'utilizzo di scritture come:
l
⋅
±
∞
=
±
∞
{\displaystyle l\cdot \pm \infty =\pm \infty \!}
±
∞
+
l
=
±
∞
{\displaystyle \pm \infty +l=\pm \infty \!}
+
∞
+
∞
=
+
∞
{\displaystyle +\infty +\infty =+\infty \!}
+
∞
⋅
±
∞
=
±
∞
{\displaystyle +\infty \cdot \pm \infty =\pm \infty \!}
l
±
∞
=
0
±
{\displaystyle {\frac {l}{\pm \infty }}=0^{\pm }\!}
Casi mancanti all'elenco precedente conducono ad esrepssioni del tipo:
+
∞
−
∞
{\displaystyle +\infty -\infty \!}
0
⋅
±
∞
{\displaystyle 0\cdot \pm \infty \!}
±
∞
±
∞
{\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\!}
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}\!}
Per questi casi si rimanda alla sezione successiva Forme di indecisione .
La dimostrazione verrà fatta per ogni singolo punto del teorema .
Preso
|
f
(
x
)
−
l
1
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!}
otteniamo direttamente
c
⋅
|
f
(
x
)
−
l
1
|
<
c
⋅
ϵ
→
|
c
⋅
f
(
x
)
−
c
⋅
l
1
|
<
c
⋅
ϵ
{\displaystyle c\cdot \left|f(x)-l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \to \left|c\cdot f(x)-c\cdot l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \!}
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite .
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (1)
Presi
|
f
(
x
)
−
l
1
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon \!}
|
g
(
x
)
−
l
2
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon \!}
dall'espressione
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
l
1
±
l
2
)
|
{\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|\!}
per la disuguaglianza triangolare otteniamo
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
l
1
±
l
2
)
|
<
|
f
(
x
)
−
l
1
|
+
|
g
(
x
)
−
l
2
|
{\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<\left|f(x)-l_{1}\right|+\left|g(x)-l_{2}\right|\!}
|
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
l
1
±
l
2
)
|
<
2
⋅
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<2\cdot \epsilon \!}
a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite .
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (2)
Dimostrazione: Operazioni con i limiti (3)
Le forme di indecisione dei limiti di funzioni sono uguali alle forme di indecisione dei limiti di successioni, pertanto si rimanda la lettura al paragrafo dedicato.
Definizione
![{\displaystyle \sin x\in \left[-1;+1\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0742395bc702431e6ce26264f48eb9083c236fb0)
![{\displaystyle x\in \left[-{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;+{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c01314465b7ca115494ed3b01f5059094c0c85)
![{\displaystyle (x-r;x]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16e22712c0aaeefaa418bcb8a5ec88ab1d21aa1)
