Principi di insiemistica e funzioni elementari
- Numeri naturali
- Numeri interi
- Numeri razionali
- Numeri reali
- Numeri reali (seconda parte)
- Numeri complessi
- Funzioni
- Funzioni circolari
- Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
- Successioni reali
- Limiti di successioni reali
- Teoremi sulle successioni
- Algebra dei limiti delle successioni
- Esistenza del limite di una successione
- Limiti inferiori e superiori
- Forme indeterminate di successioni
- Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
- Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
- Compattezza di un insieme
- Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
- Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
- Algebra dei limiti
- Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
- Analisi matematica I/Funzioni monotone
- Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
- Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
- Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in e studio di funzioni
- Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
- Analisi matematica I/Algebra delle derivate
- Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
- Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
- Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
- Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
- Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
- Analisi matematica I/Integrale di Riemann
- Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
- Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
- Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
- Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
- Analisi matematica I/Successioni di funzioni
- Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
- Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
- Note storiche sugli insiemi
- I numeri reali
- I numeri complessi
- Sommatorie
- progressione geometrica
- fattoriale di n
- formula di Newton
- Potenze e radicali
- Esponenziali e logaritmi
- Insiemi infiniti
- Massimi e minimi
- Funzioni
Serie e successioni
- Successioni: definizione
- Limiti: definizione
- Successioni monotone
- Calcolo dei limiti
- Limite di successioni
- Il numero di Nepero (e)
- Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
- Limiti notevoli
- Serie numeriche: definizione
- Serie a termini non negativi
- Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
- Limiti di funzioni da R a R
- Limiti di funzioni da Rn a Rm
- Funzioni numeriche e generalità
- Grafico di una funzione
- Funzioni limitate
- Funzioni simmetriche, pari e dispari
- Funzioni monotone
- Funzioni periodiche
- Limiti, continuità, asintoti
- Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
- Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
- Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
- Introduzione
- Il rapporto incrementale
- Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
- Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
- Le derivate fondamentali
- Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
- Il teorema di de L’Hospital
- Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
- o piccolo
- Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
- Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
- Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
- L’integrale come limite di somme
- Proprietà dell'integrale
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale
- Metodo di ricerca della primitiva
- Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
- Funzioni integrabili
- integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
- Integrazione di funzioni non limitate
- Criteri di integrabilità al finito
- Integrazione su intervalli illimitati
- Criteri di integrabilità all’infinito
- Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
- Integrazione delle funzioni trigonometriche
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Sia data una successione di numeri reali .
Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a per n che tende a ) e si scrive:
se
.
In questo caso si dice che la successione è convergente.
Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto e questa distanza equivale a , una quantità infinitesima.
- "per ogni appartenente all'insieme dei numeri reali positivi () esiste un appartenente all'insieme dei numeri naturali () tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( ) maggiore di ".
- "La successione " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno di l, esiste un intorno di e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente appartiene a U, cioè all'intorno
Si dice che è il limite della successione per n che tende a (o che tende a l per n che tende a ) e si scrive:
se
. In questo caso si dice che la serie è divergente.
Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a .
Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.
La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.
Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficace dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.
- La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
- La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
- La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
- Le successioni sono infinitesime mentre sono infinite
Una successione an converge a zero se e solo se converge a zero.
La successione converge a zero poiché converge.
Se la successione ammette limite, esso è unico.
Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema.
). Supponiamo che siano limiti della successione .
Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti .
Per definizione di limite qualunque sia esistono , tali che i due intorni siano
e e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo si ha che . D’altra
parte essendo arbitrario, si può assumere che esso sia (cioè minore della metà della
distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti
ma in questo caso Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle (l1 - \epsilon,l1 + \epsilon) \cap (l2 - \epsilon, l2 + \epsilon)}
è vuoto proprio perché l'intervallo non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.
Se la successione {an} è convergente essa è limitata (cioè esiste un tale che .
Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio
Se an una successione allora anche .
Se esiste un numero N tale che . In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.
Per l>0 ha, per definizione di limite, per che, in corrispondenza a diventa:
- per ogni . C.v.d.
Nel caso in cui la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia esiste un tale che per ogni .
Se e , allora
La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che il che è contro l'ipotesi.
Se e e , allora
Siano tre successioni tali che . Se allora la successione è convergente a
Utilizzando la definizione di limite si ha:
- tali che:
- .
Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli
- ;
per tali n si ha che:
- .
Essendo è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque
Sia poiché , si ha . Da per il teorema del confronto si ha che
Una successione (matematica) monotona crescente ammette sempre limite uguale a tale limite è perciò finito se è limitata superiormente altrimenti è .
Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
oppure .
In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).
Si considerano successioni convergenti:
Se e con si ha:
Per ipotesi qualunque sia esistono tali che:
se
se
Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario esiste un tale che:
se
Poiché è arbitrario anche lo è dunque la precedente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.
Osserviamo che
(per la disuguaglianza triangolare) e che per sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):
se
In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario se tale che:
In base al teorema della limitatezza locale esiste un tale che . Definendo si ha:
se . Data l'arbitrarietà di si ha che pure è arbitrario perciò il teorema è dimostrato
Nel caso in cui i limiti sono si può tenere presente la seguente tabella:
Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:
.
Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:
Consideriamo la successione:
quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata
.
Raccogliendo al numeratore e al denominatore si ha:
cioè
dove:
poiché qualunque sia non nullo si ha:
vale:
poiché vale:
Per l'argomento confronti tra infinti e infinitesimi si rimanda all'articolo Stime Asintotiche