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Analisi matematica I

Sommario
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Premesse

Elementi di base

Serie e successioni

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

L’integrale come limite di somme

[modifica] Definizione

Sia data una successione di numeri reali $\left\{a_n\right\} \,\!$ .

Si dice che $l \in \R \,\!$ è il limite della successione $\{a_n\} \,\!$ per n che tende a $+\infty \,\!$ (o che $\{a_n\} \,\!$ tende a $l \,\!$ per n che tende a $+\infty \,\!$ ) e si scrive:

$\lim_{n \to \infty}a_n = l \,\!$

se

$\forall \epsilon >0 \ \exists \tilde{N}(\epsilon) \in \N : |a_n - l| \le \epsilon, \forall n \ge \tilde{N}(\epsilon) \,\!$ .

In questo caso si dice che la successione $\{a_n\} \,\!$ è convergente.

Intuitivamente questo significa che tutti i valori della sequenza che tendono al limite l hanno una distanza da esso che equivale al valore assoluto $| a n - l |$ e questa distanza equivale a $ε$ , una quantità infinitesima.

[modifica] Interpretazioni della definizione

"per ogni $\epsilon \,\!$ appartenente all'insieme dei numeri reali positivi ( $\R^+ \,\!$ ) esiste un $n_\epsilon \,\!$ appartenente all'insieme dei numeri naturali ( $\N \,\!$ ) tale che la distanza fra il valore della successione ed il valore a del limite è minore di $\epsilon \,\!$ per ogni valore di n appartenente a numeri naturali ( $\N$ ) maggiore di $N ε$ ".

"La successione $\{a_n\} \,\!$ " è convergente ad l se, comunque sia preso un intorno $U = (l - \epsilon, l + \epsilon) \,\!$ di l, esiste un intorno $V = (N,+\infty)$ di $+ \infty \,\!$ e dipendente dal primo tale che comunque sia preso un indice n in V il corrispondente $a_n \,\!$ appartiene a U, cioè all'intorno $(l - \epsilon, l + \epsilon) \,\!$

Si dice che $+\infty$ è il limite della successione ${a n}$ per n che tende a $+\infty$ (o che ${a n}$ tende a l per n che tende a $+\infty$ ) e si scrive:

$\lim_{n \to \infty}a_n = +\infty$

se

$\forall K \ge 0 \ \exists \tilde{N}(K) \in \N : a_n \ge K , \forall n \ge \tilde{N}(K)$ . In questo caso si dice che la serie ${a n}$ è divergente.

Lo stesso discorso può essere effettuato per serie che tendono a $- \infty$ .

Da notare che la differenza tra limite di funzione e limite di una successione è differente dato che il primo utilizza una variabile continua mentre il secondo una variabile discreta che non assume tutti i valori intermedi di quella continua.

La successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre una successione divergente si dice infinita.

Il concetto di infinitesimo gioca un ruolo centrale ed è fondamentale anche per avere un'immagine intuitiva corretta ed efficacie dei concetti del calcolo infinitesimale. C'è da dire che infinitesimo non è un numero infinitamente piccolo ma è una quantità variabile che diviene indefinitamente piccola.

[modifica] Esempi

La sequenza di numeri reali 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, è limitata e converge al valore 0
La sequenza a segni alterni 1, -1, 1, -1, 1, ... è divergente.
La sequenza 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... è limitata e converge al valore 1
Le successioni $a_n = {1 \over n}, \ a_n = {1 \over n^2}$ sono infinitesime mentre $a_n = n , \ a_n = n ^2$ sono infinite

[modifica] Convergenza della successione

Una successione a_n converge a zero se e solo se $| a n |$ converge a zero.

[modifica] Esempio

La successione $a_n = {(-1)^n\over n}$ converge a zero poiché $a_n = {1\over n}$ converge.

[modifica] Teorema di unicità del limite

Se la successione $a n$ ammette limite, esso è unico.

[modifica] Dimostrazione del teorema

Dimostrazione per assurdo (supponiamo che non sia vero il risultato e mostriamo che non è vero il teorema. ). Supponiamo che $l1 \not= l2$ siano limiti della successione ${a n}$ . Da questa definizione possiamo ottenere la distanza tra i due limiti $| l 2 - l 1 |$ .
Per definizione di limite qualunque sia $\epsilon > 0 \!$ esistono $\N_1(\epsilon) \N_2(\epsilon)$ , tali che i due intorni siano $a_n \in (l1-\epsilon, l1 + \epsilon), n \ge N_1(\epsilon)$ e $a_n \in (l2-\epsilon, l2 + \epsilon), n \ge N_2(\epsilon)$ e per la proprietà di separazione esisteranno due intorni tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto.
Poniamo $n \ge N_3(\epsilon) = max ( N_1(\epsilon) , N_2(\epsilon))$ si ha che $a_n \in (l1 - \epsilon,l1 + \epsilon) \cap (l2 - \epsilon, l2 + \epsilon)$ . D’altra parte essendo $ε$ arbitrario, si può assumere che esso sia $\epsilon < {|l1 - l2| \over 2}$ (cioè minore della metà della distanza fra l1 e l2), in modo da garantire che i due intervalli siano disgiunti ma in questo caso $(l1 - \epsilon,l1 + \epsilon) \cap (l2 - \epsilon, l2 + \epsilon)$ è vuoto proprio perché l'intervallo $ε$ non può coprire contemporaneamente l1 ed l2 in quanto la loro distanza è maggiore di $ε$ ed allora non può esistere il limite, anche perché li abbiamo supposti disgiunti i due intervalli.

[modifica] Teorema esistenza del limite

Se la successione {a_n} è convergente essa è limitata (cioè esiste un $M \ge 0$ tale che $| a_n | \le M, \forall n \in \N$ .

Non è vero il viceversa, cioè una successione limitata può non ammettere limite, come ad esempio $a n = ( - 1) n$

[modifica] Teorema del limite del modulo

Se a_n una successione $\lim_{n \to \infty}|a_n| = l$ allora anche $\lim_{n \to \infty}a_n = l$ .

[modifica] Teorema della permanenza del segno

Se $\lim_{n \to \infty}a_n = l > 0$ esiste un numero N tale che $a_n > 0, \ \forall n \ge N$ . In poche parole se il limite di una successione è un numero maggiore di zero, la successione dopo un certo indice N si mantiene positiva.

[modifica] Dimostrazione

Per l>0 ha, per definizione di limite, $a - \epsilon \le a_n \le a + \epsilon$ per $n> \tilde{N}(\epsilon)$ che, in corrispondenza a $\epsilon = {l \over 2} > 0$ diventa:

$0 < {l\over 2} \le a_n \le {3l\over 2}$ per ogni $n \ge \tilde{N}(\epsilon)$ . C.v.d.

Nel caso in cui $l = +\infty$ la tesi deriva direttamente dalla definizione di limite, infatti qualunque sia $K \ge 0$ esiste un $N = \tilde{N}(K)$ tale che $a_n \ge K > 0$ per ogni $n \ge N$ .

[modifica] Corollario 1

Se $a_n \geq 0 \ \forall n \in \N$ e $\lim_{n \to \infty}a_n = l$ , allora $l \geq 0$

[modifica] Dimostrazione

La dimostrazione anche in questo caso si svolge per assurdo. Se fosse $l \,<\,0$ allora in base al teorema della permanenza del segno si avrebbe che esiste un N tale che $a_n \,<\, 0 \ \forall n \,>\,N$ il che è contro l'ipotesi.

[modifica] Corollario 2

Se $a_n \geq b_n \ \forall n \in \N$ e $\lim_{n \to \infty}a_n = a$ e $\lim_{n \to \infty}b_n = b$ , allora $a \geq b$

[modifica] Teorema del confronto

Siano $\{a_n\}_n \ \{b_n\}_n \ \{c_n\}_n$ tre successioni tali che $a_n \leq c_n \leq b_n \ \forall n \in \N$ . Se $\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n = l$ allora la successione $c n$ è convergente a $\lim_{n \to \infty}c_n = l$

[modifica] Dimostrazione

Utilizzando la definizione di limite si ha:

$\forall \epsilon >0 \ \exists \tilde{\N_1}(\epsilon) \ \tilde{\N_2}(\epsilon)$ tali che:

$l - \epsilon \le a_n \le l + \epsilon \ \mathbf{se} \ n \ge \tilde{\N_1}(\epsilon)$

$l - \epsilon \le b_n \le l + \epsilon \ \mathbf{se} \ n \ge \tilde{\N_2}(\epsilon)$ .

Le disuguaglianze precedenti sono verificate contemporaneamente per tutti gli

$n \ge \tilde{\N_3} = max (\tilde{\N_1}(\epsilon),\tilde{\N_2}(\epsilon))$ ;

per tali n si ha che:

$l - \epsilon \le a_n \leq c_n \leq b_n \le l + \epsilon \ \mathbf{se} \ n \ge \tilde{\N_3}(\epsilon)$ .

Essendo $ε$ è arbitrario segue la tesi poiché abbiamo provato che qualunque $\epsilon > 0 \ \exists \tilde{\N _ 3} (\epsilon) \ \mathbf{tale \ che} \ l - \epsilon \le c_n \le l + \epsilon \ \mathbf{per} \ n \ge \tilde{\N _ 3} (\epsilon)$

[modifica] Esempio

Sia $c_n = {\sin n \over n}$ poiché $-1 \leq \sin n \leq 1$ , si ha $- { 1 \over n} \leq {\sin n \over n} \leq {1 \over n}$ . Da $a_n = - {1 \over n} \rightarrow 0 \ b_n = {1 \over n} \rightarrow 0$ per il teorema del confronto si ha che $c_n = {\sin n \over n} \rightarrow 0$

[modifica] Limite di successioni monotone

Una successione (matematica) monotona ${a n}$ crescente ammette sempre limite uguale a $s u p {a n}$ tale limite è perciò finito se ${a n}$ è limitata superiormente altrimenti è $+ \infty$ . Analogo è l'enunciato per le successioni decrescenti. Per esprimere anche simbolicamente che il limite è il sup (o l'inf) di una successione crescente (o decrescente) si usa la notazione:
$a_n \uparrow l$ oppure $a_n \downarrow l$ .

[modifica] Calcolo dei limiti

In riferimento al calcolo dei limiti nelle successioni esistono vari teoremi (simili al calcolo dei limiti nelle funzioni).

Si considerano successioni convergenti:
Se $\lim_{n \to \infty}a_n = a$ e $\lim_{n \to \infty}b_n = b$ con $a,b \in \R$ si ha:
$\lim_{n \to \infty}(a_n \pm b_n) = a \pm b$

[modifica] Dimostrazione limite somma

Per ipotesi qualunque sia $\epsilon \,>\, 0$ esistono $N_1(\epsilon) \ N_2(\epsilon)$ tali che:

$|a_n - l_1| \,<\, \epsilon \$ se $n \,>\,N_1(\epsilon)$

$|b_n - l_2| \,<\, \epsilon \$ se $n \,>\,N_2(\epsilon)$

Si vuole dimostrare che in corrispondenza all'arbitrario $\epsilon \,>\, 0$ esiste un $N 3 (ε)$ tale che:

$|(a_n + b_n) - (l_1 + l_2)| \,<\, 2\epsilon \$ se $n \,>\,N_3(\epsilon)$

Poiché $ε$ è arbitrario anche $2ε$ lo è dunque la precendente implica l'esistenza del limite e la sua uguaglianza ad a + b.

Osserviamo che $|(a_n + b_n) - (l_1 + l_2)| = |(a_n - l_1) + (b_n - l_2)| \leq |a_n - l_1| + |b_n-l_2|$ (per la disuguaglianza triangolare) e che per $n \,>\, N_3(\epsilon) = max(N_1(\epsilon),N_2(\epsilon))$ sono verificate contemporaneamente le ipotesi (le due disuguaglianze iniziali):

$|(a_n + b_n) - (l_1 + l_2)| = |(a_n - l_1) + (b_n - l_2)| \leq |a_n - l_1| + |b_n-l_2| \,<\, \epsilon + \epsilon$ se $n \,>\,N_3(\epsilon)$

In conclusione abbiamo provato che in corrispondenza di un arbitrario $\epsilon \,>\, 0$ se $n \,>\, N_3(\epsilon)$ tale che:

$|(a_n + b_n) - (l_1 + l_2)| \,<\, 2 \epsilon$

$\lim_{n \to \infty}(a_n * b_n) = a * b$

[modifica] Dimostrazione limite del prodotto

In base al teorema della limitatezza locale esiste un $M \,>\, 0$ tale che $|b_n| \,<\, M \ \forall n \in \N$ . Definendo $N 3 (ε) = m a x (N 1 (ε), N 2 (ε))$ si ha:

$|a_nb_n| = |a_nb_n -l_1b_n + l_1b_n - l_1l_2| \leq |b_n(a_n-a)|+|a(b_n-b)| = |b_n||a_n-a|+|a||b_n-b| \,<,\ M\epsilon + |a|\epsilon$

se $n \,>\, N_3(\epsilon)$ . Data l'arbitrarietà di \epsilon si ha che pure $(M + | a | )ε$ è arbitrario perciò il teorema è dimostrato

$\lim_{n \to \infty}{a_n \over b_n} = {a \over b} \ (\mathbf{se} \ b_n \neq 0 \ ,\ b \neq 0 )$

Nel caso in cui i limiti sono $+\infty -\infty$ si può tenere presente la seguente tabella:

$a + \infty = + \infty$

$a -\infty = -\infty$

$+ \infty + \infty = + \infty$

$- \infty - \infty = - \infty$

Lo stesso ragionamento lo ripetiamo per il prodotto e rapporto, tenendo presente che il segno va calcolato con la usuale regola dei segni:
$a * \infty = \infty$

${a \over 0} = \infty \ (a \neq 0)$

${a \over \infty} = 0$ .

[modifica] Forme indeterminate

Esistono inoltre le forme indeterminate in cui non è possibile stabilire a priori il comportamento del limite. Le forme indeterminate sono le seguenti:

$+ \infty - \infty \,\!$
$\ 0 * \infty \,\!$
$\ {0 \over 0} \,\!$
$\ {\infty \over \infty} \,\!$
$\ {1}^{\pm \infty} \,\!$
$\ {0}^{0} \,\!$
$\ {+ \infty}^{0} \,\!$

[modifica] Limite notevole del tipo $\infty \over \infty$

Consideriamo la successione:

${P_p(n) \over Q_q(n)}$ $= {{a_pn^p + a_{p-1}n^{p-1}+ ... a_1n + a_0} \over {b_pn^p + b_{p-1}n^{p-1}+ ... b_1n + b_0}}$

quoziente di due polinomi di grado p e q. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata $\infty \over \infty$ .

Raccogliendo $n p$ al numeratore e $n \cdot q$ al denominatore si ha: $n ^ {p-q} {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ... a_1n^{1-p}+a_0n^-p} \over {b_p + b_{p-1}n^{-1} + ... b_1n^{1-p}+b_0n^-p}}$