Principi di insiemistica e funzioni elementari
Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Numeri reali (seconda parte) Numeri complessi Funzioni Funzioni circolari Funzioni radice, esponenziale e logaritmica Le successioni e le serie numeriche in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Successioni reali Limiti di successioni reali Teoremi sulle successioni Algebra dei limiti delle successioni Esistenza del limite di una successione Limiti inferiori e superiori Forme indeterminate di successioni Serie numeriche Limiti di funzioni reali a una variabile reale
Punti di accumulazione e chiusura di un insieme Compattezza di un insieme Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale Algebra dei limiti Teorema del confronto e teorema di Cauchy Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
Analisi matematica I/Funzioni monotone Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue Calcolo differenziale in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione Analisi matematica I/Algebra delle derivate Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital Analisi matematica I/Polinomi di Taylor Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali Analisi matematica I/Funzioni convesse Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
Analisi matematica I/Integrale di Riemann Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale Analisi matematica I/Integrale generalizzato Successioni e serie di funzioni
Analisi matematica I/Successioni di funzioni Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
Gli insiemi e i vari tipi di insiemi Note storiche sugli insiemi I numeri reali I numeri complessi Sommatorie progressione geometrica fattoriale di n formula di Newton Potenze e radicali Esponenziali e logaritmi Insiemi infiniti Massimi e minimi Funzioni Serie e successioni
Successioni: definizione Limiti: definizione Successioni monotone Calcolo dei limiti Limite di successioni Il numero di Nepero (e) Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti Limiti notevoli Serie numeriche: definizione Serie a termini non negativi Serie a termini di segno variabile Funzioni di una variabile, limiti e continuità
Limiti di funzioni da R a R Limiti di funzioni da Rn a Rm Funzioni numeriche e generalità Grafico di una funzione Funzioni limitate Funzioni simmetriche, pari e dispari Funzioni monotone Funzioni periodiche Limiti, continuità, asintoti Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili) Funzioni trigonometriche inverse Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Introduzione Il rapporto incrementale Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa Le derivate fondamentali Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia; Il teorema di de L’Hospital Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare o piccolo Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n Studio del grafico di una funzione Calcolo integrale per funzioni di una variabile
L’integrale come limite di somme Proprietà dell'integrale Il teorema fondamentale del calcolo integrale Metodo di ricerca della primitiva Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti Funzioni integrabili integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue Integrazione di funzioni non limitate Criteri di integrabilità al finito Integrazione su intervalli illimitati Criteri di integrabilità all’infinito Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale Integrazione delle funzioni trigonometriche Modifica il sommario
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,\!}
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,\!}
[ modifica | modifica sorgente ] Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni . Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.
Cominciamo subito dando la definizione per funzioni
R
n
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} \!}
Definizione
Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite
lim
(
x
,
y
)
→
(
0
,
0
)
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\!}
ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima
y
=
0
{\displaystyle y=0\!}
lim
x
→
0
x
x
2
+
0
2
=
lim
x
→
0
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=\lim _{x\to 0}1=1\!}
invece, ora avvicinandoci da
x
=
0
{\displaystyle x=0\!}
lim
y
→
0
0
0
2
+
y
2
=
lim
x
→
0
0
=
0
{\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=\lim _{x\to 0}0=0\!}
Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione , ma la definizione non ci dice nulla a riguardo, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.
Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo
R
n
→
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}\!}
Definizione
Per facilitarne la comprensione si osservi che, se
f
1
,
f
2
,
…
f
m
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots f_{m}\,\!}
f
{\displaystyle \mathbf {f} \,\!}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
l
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {l} \,\!}
lim
x
→
x
0
f
1
(
x
)
=
l
1
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{1}(\mathbf {x} )=l_{1}\!}
⋮
{\displaystyle \vdots \!}
lim
x
→
x
0
f
m
(
x
)
=
l
m
{\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{m}(\mathbf {x} )=l_{m}\!}
Infine facciamo notare che le funzioni del tipo
R
2
→
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\!}
funzioni
C
→
C
{\displaystyle \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \!}
Consideriamo
w
=
u
+
i
v
,
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle w=u+iv,\,z=x+iy\!}
w
=
f
(
z
)
{\displaystyle w=f(z)\!}
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
⋅
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\!}
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Definizione
