Analisi matematica I/Limite/3

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Sommario
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Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Definizione di limite
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Il rapporto incrementale
  2. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  3. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  4. Le derivate fondamentali
  5. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  6. Il teorema di de L’Hospital
  7. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  8. o piccolo
  9. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  10. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  11. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

[modifica] Limite di funzioni da \reals^n \,\! a \reals^m \,\!

Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.

[modifica] Definizione

Cominciamo subito dando la definizione per funzioni \reals^n \rightarrow \reals \!:

Definizione: Limite

Sia

f: X \subseteq \reals^n \rightarrow \reals \!

e \bold{x_0} \in X \! di accumulazione e l \in \reals \!, diremo che:

\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f(\bold{x}) = l \!

se, per ogni intorno V \! di l \!, è possibile trovare un intorno U \! di \bold{x_0} \! per cui vale :

f(\bold{x})\in V \,\! se \bold{x} \ne \bold{x_0} \in U \cap X \!

in simboli:

\forall \epsilon > 0, \exists\delta > 0: \Vert \bold{x}-\bold{x_0} \Vert < \delta \implies \vert f(\bold{x})-l \vert < \epsilon, \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} f(\bold{x}) = l \!
Definizione: Limite

Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \!

ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima y=0 \!:

\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}} = \lim_{x \to 0} 1 = 1 \!

invece, ora avvicinandoci da x=0 \!:

\lim_{y \to 0} \frac{0}{\sqrt{0^2+y^2}} = \lim_{x \to 0} 0 = 0 \!

Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione, ma la definizione non ci dice nulla a riguardo, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.

Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo \reals^n \rightarrow \reals^m \!:

Definizione: Limite

Sia

\bold{f}: X \subseteq \reals^n \rightarrow \reals^m \!

e \bold{x_0} \in X \! di accumulazione e \bold{l} \in \reals^m \!, diremo che:

\lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \!

se, per ogni intorno V \! di \bold{l} \!, è possibile trovare un intorno U \! di \bold{x_0} \! per cui vale :

\bold{f}(\bold{x})\in V \,\! se \bold{x} \ne \bold{x_0} \in U \cap X \!

in simboli:

\forall \epsilon > 0 \exists\delta > 0: \Vert \bold{x}-\bold{x_0} \Vert < \delta \implies \Vert \bold{f}(\bold{x})-\bold{l} \Vert < \epsilon, \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \!
Definizione: Limite

Per facilitarne la comprensione si osservi che, se f_1, f_2, \dots f_m \,\! sono le componenti di \bold{f} \,\! la scrittura \lim_{\bold{x} \to \bold{x_0}} \bold{f}(\bold{x}) = \bold{l} \,\! è equivalente a:

\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_1(\bold{x})=l_1\!
   \vdots \!
\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_m(\bold{x})=l_m\!

Infine facciamo notare che le funzioni del tipo \reals^2 \rightarrow \reals^2 \! sono particolarmente interessanti perché possono essere definite come funzioni \Complex \rightarrow \Complex \!.

Consideriamo w = u+iv,\,z = x+iy \! e w = f(z) \! otteniamo:

f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) \!

[modifica] Calcolo dei limiti

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