Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Il rapporto incrementale

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Sommario
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Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Definizione di limite
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Il rapporto incrementale
  2. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  3. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  4. Le derivate fondamentali
  5. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  6. Il teorema di de L’Hospital
  7. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  8. o piccolo
  9. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  10. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  11. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche


Indice

[modifica] Introduzione

Il rapporto incrementale è il primo strumento che useremo per studiare il comportamento di crescita o decrescita di una funzione.

[modifica] Definizione

Definizione: Rapporto incrementale

Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale f:\reals\to\reals relativo ad un incremento h\neq 0 della variabile x è:

R_h=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Definizione: Rapporto incrementale

[modifica] Significato geometrico

Questo rapporto è il coefficiente angolare della retta passante per i punti del grafico della funzione corrispondenti ad x e ad x + h, cioè la retta secante al grafico della funzione, ovvero, la tangente dell'angolo che forma la suddetta retta con l'asse delle ascisse.

Come dicevamo, il rapporto incrementale ci da un'informazione sulla crescita o sulla decrescita di questa funzione ed in particolare ci da un'indicazione su quanto velocemente questa è avvenuta.

Purtroppo questa informazione non sempre è significativa.

[modifica] Esempio 1

Studiamo ad esempio la funzione f(x) = αx. Il rapporto incrementale relativo ad un qualsiasi incremento h\neq 0 e ad un qualsiasi x è

\frac{\alpha(x+h)-\alpha x}{h}=\frac{\alpha h}{h}=\alpha.

In questo caso il rapporto incrementale ci da un'informazione molto dettagliata su come la funzione cresce.

[modifica] Esempio 2

Studiamo ora la funzione f(x) = sin(x). Sia x=0,h=\frac{\pi}{2}. Allora R_h=\frac{\sin(\frac{\pi}{2})-\sin(0)}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}.

Sia ora x = 0,h = π.

Allora R_h=\frac{\sin(\pi)-\sin(0)}{\pi}=0.

Come si vede facilmente, l'informazione che ci viene data dal rapporto incrementale in questo caso è praticamente inutile.

Sarebbe molto più interessante avere un indicatore di come la funzione cresce o decresce istantaneamente. Grazie al concetto di limite possiamo introdurre un nuovo concetto, quello di derivata, che ci permette di avere un'informazione sul tasso di crescita "istantaneo" della funzione.

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