Analisi matematica I/Il calcolo differenziale/Le regole di derivazione

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Elementi di base

  1. Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
  2. Note storiche sugli insiemi
  3. I numeri reali
  4. I numeri complessi
  5. Sommatorie
  6. progressione geometrica
  7. fattoriale di n
  8. formula di Newton
  9. Potenze e radicali
  10. Esponenziali e logaritmi
  11. Insiemi infiniti
  12. Massimi e minimi
  13. Funzioni

Serie e successioni

  1. Successioni: definizione
  2. Definizione di limite
  3. Successioni monotone
  4. Calcolo dei limiti
  5. Limite di successioni
  6. Il numero di Nepero (e)
  7. Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
  8. Limiti notevoli
  9. Serie numeriche: definizione
  10. Serie a termini non negativi
  11. Serie a termini di segno variabile

Funzioni di una variabile, limiti e continuità

  1. Limiti di funzioni da R a R
  2. Limiti di funzioni da Rn a Rm
  3. Funzioni numeriche e generalità
  4. Grafico di una funzione
  5. Funzioni limitate
  6. Funzioni simmetriche, pari e dispari
  7. Funzioni monotone
  8. Funzioni periodiche
  9. Limiti, continuità, asintoti
  10. Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
  11. Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
  12. Funzioni trigonometriche inverse

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

  1. Il rapporto incrementale
  2. Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
  3. Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
  4. Le derivate fondamentali
  5. Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
  6. Il teorema di de L’Hospital
  7. Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
  8. o piccolo
  9. Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
  10. Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
  11. Studio del grafico di una funzione

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

  1. L’integrale come limite di somme
  1. Proprietà dell'integrale
  2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
  3. Metodo di ricerca della primitiva
  4. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
  5. Funzioni integrabili
  6. integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
  7. Integrazione di funzioni non limitate
  8. Criteri di integrabilità al finito
  9. Integrazione su intervalli illimitati
  10. Criteri di integrabilità all’infinito
  11. Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
  12. Integrazione delle funzioni trigonometriche

L'analisi matematica si avvale di alcune semplici regole per calcolare la derivata di una funzione elementare. Per le funzioni composte esistono ancora altre regole, per cui si può facilmente calcolarne la derivata. Molto spesso la derivata di una funzione non è definita in un intervallo o un punto x0, in questo caso conviene calcolare il limite del rapporto incrementale in quel punto.

Riassumiamo nella tabella seguente le derivate delle funzioni elementari:

f(x) = xn f'(x) = nxn − 1
f(x) = ex f'(x) = ex
f(x) = log | x | f'(x)=\frac{1}{x}
f(x) = sinx f'(x) = cosx
f(x) = cosx f'(x) = − sinx
f(x) = sinhx f'(x) = coshx
f(x) = coshx f'(x) = sinx
f(x) = tanx f'(x)=\frac{1}{(\cos{x})^2}=1+(tan{x})^2
f(x) = arcsinx f'(x)=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}
f(x) = arccosx f'(x)=-\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}}
f(x) = arctgx f'(x)=\frac{1}{1+x^2}
f(x) = | x | f'(x) = sgn(x)

[modifica] Derivata del prodotto di due funzioni

Si dimostra che la derivata del prodotto di due funzione segue questo schema:

(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[modifica] Derivata del rapporto di due funzioni

Si dimostra che la derivata del rapporto di due funzione segue questo schema:

(\frac{f}{g})'(x)=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{x^2}


[modifica] Derivata delle funzioni composte

Per le funzioni composte si calcola la derivata secondo la regola della catena.

(f°g)(x) = f'(g(x))g'(x)

Esempio:

Vogliamo calcolare la derivata di \frac{1}{\sin{x}}

Distinguiamo due funzioni, g(x) = sinx e f(x) = 1 / x

La derivata della funzione composta f(g(x)) sarà la derivata dif(x), ossia - \frac{1} {x^2} (il lettore verifichi!) moltiplicata alla derivata della seconda, ossia cosx

(f° g)'(x) = -\frac{1}{(\sin{x})^2} \cdot \cos{x}

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Le_regole_di_derivazione"
Strumenti personali