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Teorema: Limite notevole con funzione esponenziale

$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{a^x -1}{x}=\ln a$

Teorema: Limite notevole con funzione esponenziale

Ipotesi

Nessuna.

Tesi

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{a^x -1}{x}=\ln a$

Dimostrazione

$\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{a^x -1}{x} \Longrightarrow \begin{matrix} a^x-1=t\ ;\ a^x = t+1 \\ x = \operatorname{lg}_a \left( t+1 \right) \\ x \rightarrow 0 \Rightarrow t \rightarrow 0 \end{matrix} \Longrightarrow \lim_{t\rightarrow 0} \frac{t}{ \operatorname{lg}_a \left( t+ 1 \right) }=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{1}{ \frac {\operatorname{lg}_a \left( t+ 1 \right) }{t}}=$

$=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{ \frac{1}{t} \cdot \operatorname{lg}_a \left( t+ 1 \right) }= \frac{1}{ \operatorname{lg}_a \underset{t\rightarrow 0}{\lim} \left( t+ 1 \right)^{ \frac{1}{t} } } =$

In base al limite notevole $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \left( 1+ x \right)^ \frac{1}{x} = e$

$\frac{1}{\operatorname{lg}_a \underset{t\rightarrow 0}{\lim} \left( t+ 1 \right)^{ \frac{1}{t}}}= \frac {1}{ \operatorname{lg}_a e}= \ln a$

Analisi matematica I/Limite/I limiti notevoli

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