Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il vuoto/Le leggi del vuoto

Per un gas rarefatto, a temperatura ambiente, l'equazione che descrive il sistema all'equilibrio termodinamico è la equazione dei gas perfetti:

$P\cdot V=n\cdot R\cdot T$

(1)

dove $P\$ è la pressione, $V\$ il volume occupato dal gas, $n\$ il numero di moli del gas, $R\$ la costante universale dei gas perfetti che nel sistema internazionale vale $8,3145\ {\frac {J}{molK}}\$ e infine $T\$ è la temperatura assoluta.

La base microscopica della equazione di stato dei gas perfetti è la teoria cinetica dei gas. Tale teoria, nel caso dei gas rarefatti in equilibrio termodinamico, è una buona approssimazione. Il vuoto è sicuramente un gas rarefatto, mentre la condizione di equilibrio termodinamico rappresenta, a volte, una ipotesi non realistica, come vedremo nel seguito. Vi è da aggiungere che, tra le ipotesi alla base della teoria cinetica dei gas, vi è che l'urto delle molecole con le pareti sia elastico, cosa che non è vera, in quanto le molecole quando urtano con le pareti, nella maggior parte dei casi, vengono intrappolate e rilasciate in una direzione casuale, con nessuna relazione con la direzione di provenienza.

Si ricorda che il legame tra la grandezza microscopica $k_{B}\$ ( costante di Boltzmann) e quella macroscopica $R\$ è dato dalla costante di Avogadro $N_{A}=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}\$, mediante la relazione:

$R=k_{B}N_{A}\$

Composizione del vuoto

L’aria, escludendo l’acqua, ha una composizione per il 78% di Azoto ($N_{2}\$), il 21% di Ossigeno ($O_{2}\$) e lo 0,9% di Argon (Ar). La quantità di acqua dipende dalle condizioni di umidità e temperatura, tipicamente varia tra lo 0,6% (aria secca) al 6,5% (aria molto umida e alta temperatura) al variare dell'acqua le altre componenti si riducono percentualmente. Il vuoto non è altro che un gas più o meno rarefatto, ma in genere, a causa delle pompe da vuoto utilizzate e delle linee da vuoto, ha una composizione molto diversa da quella dell’aria. Se analizziamo la composizione del vuoto, mediante un analizzatore di gas residuo (ad esempio uno spettrometro di massa), ci si accorge come di norma il gas dominante è l’acqua. Mentre dopo avere evaporato materiali che assorbono i gas residui (getter), quali il titanio, la composizione appare dominata dall’idrogeno, la causa è la decomposizione dell’acqua da parte del getter. In genere seppure la grandezza fondamentale è la densità si preferisce usare la pressione che è direttamente misurabile. Le due grandezze seppure correlate non rappresentano la stessa informazione. Solo se si è in equilibrio termodinamico la pressione e la densità sono direttamente proporzionali. Infatti, potendosi sfruttare l'equazione dei gas rarefatti scritta all'inizio, si ha che:

$PV=Nk_{B}T\$

Dove $N$ è il numero di molecole nel volume $V$:

$P={\frac {N}{V}}k_{B}T=\rho k_{B}T$

(2)

Avendo indicato la densità (numero di molecole su volume) con $\rho$. Quindi la pressione è proporzionale alla densità se la temperatura è una costante.

Il cammino libero medio

La distanza media tra urti successivi viene detta anche cammino libero medio e ha una importanza fondamentale per la caratterizzazione delle proprietà del vuoto. Per introdurre il concetto consideriamo un caso semplificato: un gas con una densità $\rho$ posto in un volume in cui sono contenute molecole identiche. Ipotizziamo che le molecole siano approssimabili a delle sfere di diametro $d\$.

Consideriamo un cilindro di lunghezza $l\$ e raggio $d\$ (eguale al diametro delle molecole) in cui sia contenuta una sola molecola. Imponiamo che la densità di molecole in tale cilindro sia pari a $\rho \$ :

$\rho ={\frac {1}{l\pi d^{2}}}\$

A causa della scelta del raggio del cilindro una molecola, eguale alle altre, che percorra il cilindro sicuramente incontrerà un'altra molecola. Ma la molecola da urtare si potrebbe trovare anche prima della fine del percorso, aggiungendo tali considerazioni e facendo una analisi statistica, risulta che il cammino che mediamente dovrà compiere una molecola per scontrarsi con un'altra è $\lambda =l/{\sqrt {(}}2)\$; quindi sostituendo:

${\frac {1}{{\sqrt {2}}\lambda \pi d^{2}}}=\rho \$

Segue quindi che il cammino libero medio vale:

$\lambda ={\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}\rho }}\$

(3)

La teoria più precisa introduce una grandezza diversa la sezione d'urto tra le molecole interagenti al posto di $\pi d^{2}\$. La sezione d'urto ha egualmente la dimensione di una superficie, ma esprime meglio la probabilità di interazione tra le molecole (che potrebbero essere di dimensione diversa) e tiene conto dell'eventualità del fatto che le particelle interagenti non siano delle semplici sfere, ma oggetti con una struttura complessa. Ma mentre quando si parla dei plasmi tale concetto è necessario, approfondirlo qui rappresenta una curiosità accademica.

Utilizzando la relazione tra pressione e densità (eq.2). Il cammino libero medio in funzione della pressione vale:

$\lambda ={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}P\pi d^{2}}}$

(4)

Esempio: La molecola di azoto ha un diametro di circa 0,3 nm, a temperatura ambiente, alla pressione di $1\ Pa=10^{-2}\ mbar$ il cammino libero medio vale 7.3 mm.

Numero Di Knudsen

Se le dimensioni del recipiente, in cui si fa il vuoto, sono molto maggiori del cammino libero medio il vuoto è detto viscoso, in quanto, nella dinamica delle molecole, gli urti delle molecole tra di loro sono il meccanismo dominante, mentre gli urti con le pareti sono poco frequenti. Per dare un ordine di grandezza per pressioni superiori a qualche centinaio di Pascal si è in genere in regime viscoso (per recipienti di dimensioni macroscopiche di qualche cm). Infatti a temperatura ambiente, per le molecole presenti nell'aria il cammino libero medio a tali pressione è minore di centinaia di µm.

Al contrario al diminuire della pressione il cammino libero medio aumenta fino a raggiungere le dimensioni del contenitore qualsiasi esso sia, in tali condizioni gli urti tra le molecole diventano altamente improbabili, mentre gli urti con le pareti del contenitore diventano il meccanismo dinamico dominante. Tale regime in cui le molecole si comportano come particelle isolate viene chiamato regime molecolare: a pressioni basse si è sempre in tale regime.

Si introduce per quantificare i due diversi regimi di vuoto il cosiddetto numero di Knudsen, simbolo $Kn\$ definito come rapporto tra il cammino libero medio e la dimensione $D\$ del recipiente in cui è contenuto il gas, tale dimensione, se si tratta di una conduttura di sezione circolare, coincide con il suo diametro:

$Kn={\frac {\lambda }{D}}\$

Se tale grandezza adimensionale è maggiore di 1 si è in regime molecolare, mentre al contrario se $Kn<0.01\$ si è in regime viscoso. Esiste anche un regime di transizione in cui $0.01<Kn<1\$.

Il comportamento del vuoto nel regime viscoso è molto simile al comportamento dei fluidi che si osservano nella vita di tutti i giorni (acqua, aria eccetera), anche se al contrario dei liquidi si tratta di un fluido compressibile. Nel regime viscoso si possono utilizzare le leggi della meccanica dei fluidi (ben sviluppata e studiata da più di 100 anni). Al contrario nel regime molecolare il comportamento del vuoto si discosta di molto dal comportamento dei fluidi normali, ricorda molto di più il comportamento di punti materiali isolati che urtano in maniera più o meno casuale con le pareti del recipiente in cui sono contenuti. La dinamica dell'urto con le pareti gioca in questo caso un ruolo essenziale. Infatti l'urto con le pareti da parte degli atomi o molecole che compongono il gas non è un urto elastico, ma in genere la molecola urta e rimane attaccata alla parete da forze di natura atomica più o meno intense, quindi viene rilasciata in una direzione che non è correlata con la direzione di arrivo (vedi in seguito il degassamento).

Viscosità e conducibilità termica

Dalla teoria cinetica dei gas la viscosità fino a quando il numero di Knudsen è piccolo vale:

$\eta ={\sqrt {\frac {mk_{B}T}{6}}}{\frac {1}{\pi d^{2}}}$

(5)

cioè è indipendente dalla pressione. Tale formula vale in regime viscoso, mentre in regime molecolare la viscosità si annulla in quanto gli urti con le pareti diventano il meccanismo dominante. Nel regime intermedio la viscosità diminuisce quasi linearmente con la temperatura. La conducibilità termica ha un comportamento simile alla viscosità, infatti, si dimostra che la conducibilità termica dei gas nel regime viscoso è pari alla viscosità per il calore specifico a volume costante. Nel caso di un filamento riscaldato sotto vuoto il numero di Knudsen è dato dal rapporto tra il diametro del filo e il cammino libero medio. Quindi per un filo di diametro di $70\mu m$ per una pressione di 100 Pa si è in regime intermedio e quindi la conducibilità termica varia quasi linearmente con la pressione.

Impianti da vuoto

Schema di un impianto da vuoto

Un sistema da vuoto, in maniera schematica, viene rappresentato nella figura a fianco. Il recipiente che viene mantenuto sotto vuoto è caratterizzato dal suo volume, la pressione e la temperatura. Attraverso un condotto il gas viene portato via da una pompa da vuoto.

Per quantizzare la quantità di materia che viene prodotta nel sistema nell'unità di tempo si utilizza il carico (traduzione poco efficace dall'inglese load) rappresentato dal simbolo $Q\$. Tale grandezza rappresenta la quantità di materia che deve essere portata via dal condotto nell'unità di tempo, se si vuole mantenere la pressione bassa. Tale grandezza ha le dimensioni di una pressione per un volume diviso un tempo.

$Q=P{\dot {V}}$

Con maggiore rigore la quantità di materia da portare via nell'unità di tempo dovrebbe essere il numero di molecole trascinate diviso il tempo in cui avviene il fenomeno. Quindi dall'equazione dei gas perfetti, dovrebbe essere pari alla derivata rispetto al tempo di ${\frac {PV}{T}}\$. Se però le temperature del sistema da vuoto sono costanti nel tempo, come spesso accade, risulta più semplice definire $Q\$ nella maniera anzidetta.

La grandezza ${\dot {V}}\$, la derivata temporale del volume che nel linguaggio del vuoto viene spesso denominata velocità di aspirazione, viene spesso indicata con il simbolo $S\$ (dall'inglese speed).

In un sistema da vuoto vari processi concorrono alla creazione del carico $Q\$. Se il sistema si trova a una pressione prossima a quella atmosferica per portarlo sotto vuoto è proprio il gas aspirato che concorre al carico. In genere fino a pressioni dell'ordine del pascal questa è la causa principale di carico, cioè il gas contenuto nella camera da vuoto che viene rimosso via via. Al diminuire della pressione vi sono altre cause che aumentano il carico, principalmente il degassamento delle pareti e l'evaporazione dei materiali ad elevata tensione di vapore. Il carico dovuto alla tensione di vapore viene spiegato dal principio dell'equilibrio mobile di Le Chatelier-Braun, che stabilisce che variando uno dei parametri che caratterizzano un sistema all'equilibrio, il sistema reagisce nella direzione che si oppone al disturbo. Nel caso trattato del sistema da vuoto, si ha che aspirando con la pompa si provoca diminuzione di pressione nella camera da vuoto, il sistema si oppone al disturbo facendo evaporare i materiali che sono presenti sulle superfici di quest'ultima, e quindi tenta di riportare la pressione al valore precedente il disturbo (causato dalla pompa). Il degassamento che rappresenta un problema molto importante è trattato a parte nel seguito. Tra le concause che concorrono al carico vi sono anche i processi tecnologici che avvengono nella camera da vuoto ad esempio per la crescita di film termico viene fuso un materiale e portato a una temperatura tale che la sua tensione di vapore sia un valore sufficientemente elevato.

Se nel sistema da vuoto vi sono perdite verso la pressione esterna, tali perdite rappresentano una ulteriore componente del carico che deve essere aspirato dal sistema per mantenerlo sotto vuoto. La localizzazione di eventuali perdite verso l'esterno è un problema importante negli impianti da vuoto. Esistono degli strumenti opportuni chiamati cercafughe (in inglese leak detectors) che utilizzano la combinazione della spettrometria di massa e un gas raro nell'atmosfera, ma con elevata permeabilità quali l'Elio per trovare le perdite presenti, se molte piccole. Perdite grandi si trovano sia mettendo sotto lieve pressione il sistema e utilizzando acqua saponata (una tecnica simile a quella usata per la riparazione delle camere d'aria) o utilizzando gli strumenti da vuoto che variano la loro risposta con la composizione dei gas, in genere si usano sostanze organiche quali acetone e alcol isopropilico.

Degassamento

In questa sezione vengono descritti vari fenomeni che rappresentano spesso il collo di bottiglia nel raggiungimento di condizioni di alto vuoto e a maggior ragione la vera ragione per cui è difficile ottenere vuoti più spinti. Il processo di degassamento è un fenomeno particolare che avviene sotto vuoto; è caratterizzato dal rilascio di gas da parte delle superfici che sono stati o adsorbiti o absorbiti: i due fenomeni che danno origine si chiamano in maniera simile, ma non vanno confusi.

L'adsorbimento è un fenomeno solo superficiale può essere fisico, con poca energia di legame (determinato dalle cosiddette forze di Van der Waals), o chimico con maggiore energia di legame. Ossidi o nitruri sulle superfici rappresentano un tipico esempio di legami chimici. In genere a ogni temperatura e pressione esiste sulle parti solide della camera da vuoto un equilibrio dinamico tra il processo di adsorbimento dei gas presenti nel sistema (che contribuisce alla diminuzione di pressione del sistema) e il processo opposto il desorbimento che contribuisce al degassamento e quindi al carico. In genere se portiamo un sistema da vuoto a pressione atmosferica le pareti a livello superficiale adsorbono i gas presenti (in maniera diversa a seconda delle loro proprietà fisico chimiche) e questi vengono rilasciati nel processo successivo di desorbimento quando il sistema viene riportato sotto vuoto. Bisogna aggiungere che durante i processi tecnologici il materiale trattato viene esposto a diversi processi e viene bombardato da particelle (ad esempio Argon). In questo caso se il gas è non reattivo, come l'Argon, il legame è sicuramente fisico e il gas adsorbito viene rilasciato completamente in tempi molto brevi, anche di pochi secondi, .

Alcune molecole hanno una energia di legame molto piccola (< 0.3 eV) e quindi facilmente vengono rimosse dal sistema da vuoto (a causa anche della agitazione termica). Altre molecole hanno un legame più forte e quindi richiedono tempi molto lunghi per essere rimosse dalla superficie, tra le varie molecole ricordiamo l'acqua che in genere ha un legame molto forte con tutte le superfici. Quando un sistema da vuoto viene portato a pressione atmosferica le molecole di gas formano una fase adsorbita su tutte le superfici. Per questa ragione invece di portare il sistema a pressione atmosferica con l'aria, si preferisce usare Azoto secco, privo di acqua, che avendo una energia di legame con l'acciaio inossidabile di 0.12 eV, permette un rapido degassamento. L'acciaio inossidabile è in genere il principale componente degli impianti da vuoto. Quando si passa da pressione atmosferica a $10^{-2}\ mbar$, operazione che richiede in genere pochi minuti, il degassamento non rappresenta un problema. Al di sotto di questo vuoto il degassamento diventa il fenomeno principale che rallenta il raggiungimento del vuoto limite. In regime molecolare si ha la complicazione ulteriore che le molecole desorbite da una parete nel loro moto casuale sbattono con altre pareti e possono staccarsi e attaccarsi più volte rallentando il loro processo di rimozione.

Un altro fenomeno con caratteristiche diverse è l' absorbimento, che è la ritenzione fisica nel bulk dei gas. La frase italiana interno del solido in profondità si identifica con un'unica parola inglese bulk. L'absorbimento riguarda solo alcuni gas, quelli in cui le molecole che li costituiscono hanno dimensioni molto piccole, come l'elio, l'idrogeno e l'ossido di carbonio, tali gas possono entrare nella struttura solida e diffondersi all'interno. Il solido si comporta per questi gas come una spugna. La quantità di gas absorbita può raggiungere valori considerevoli, fino a un atomo absorbito per ogni atomo di solido. Un centimetro cubo di acciaio inossidabile, materiale considerato poco absorbente, può contenere un volume di gas paragonabile a quello che occuperebbe il gas stesso a pressione atmosferica. Quando il sistema viene messo in condizioni di vuoto, lentamente questi atomi absorbiti diffondono fino alla superficie e da qui nel sistema da vuoto e rappresentano materiale che deve essere asportato da sistemi di pompaggio. Nel caso di materiali absorbiti la loro rimozione può richiedere tempi molto lunghi, anche di anni!

Il degassamento è prodotto dal processo inverso dell'absorbimento e adsorbimento. In pratica durante il tempo di raggiungimento del vuoto limite, che è dell'ordine di varie ore, la principale sorgente di carico sono i gas che vengono desorbiti dalle superfici della camera o adsorbiti nel bulk. La quantità di gas prodotto nel degassamento può essere quantizzato mediante la quantità $Q_{G}\$ per unità di superficie, dopo poche ore di pompaggio, un valore tra $10^{-8}\$ e $10^{-9}\$ mbar l/s per $cm^{2}\$ (superficie della camera da vuoto) è un valore tipico. Tale quantità può scendere di 2 ordini di grandezza se viene fatto un riscaldamento a $200\ ^{o}C$ per alcune ore, pratica comune nei sistemi di UHV.

Conduttanza

Schema di una tubazione tra un sistema da vuoto e una pompa

La pressione nel sistema $p_{1}\$ è sempre maggiore della pressione all'imboccatura della pompa da vuoto $p_{2}\$. Questo garantisce che Q fluisca dal sistema tenuto sotto vuoto alla pompa. Tra il sistema e la pompa da vuoto vi è sempre una tubazione, più o meno complicata (in genere con valvole e raccordi), che permette la aspirazione da parte della pompa da vuoto del carico che entra nel sistema a cui si aggiunge quello delle tubazioni. Viene quindi definita una quantità che permette di caratterizzare la limitazione alla velocità di aspirazione della pompa da vuoto sul sistema da vuoto da tale connessione, la conduttanza C.

Maggiore è la conduttanza maggiore è la quantità di materia che fluisce in una conduttura nell'unità di tempo. Quindi la conoscenza della conduttanza è di fondamentale importanza nel calcolo dei tempi caratteristici di svuotamento degli impianti da vuoto. Il nome conduttanza è preso a prestito dall'elettrodinamica nei conduttori. Infatti la definizione di conduttanza segue dalla formula:

$Q=C(p_{1}-p_{2})\$

(6)

che è simile alla legge di Ohm, se viene fatta l'equivalenza tra $p_{1}-p_{2}\$ e la differenza di potenziale e tra $Q\$ e la corrente.

In genere la conduttanza è una proprietà essenzialmente geometrica del condotto in regime viscoso, mentre dipende anche dalla composizione chimica del gas trasportato in regime molecolare. Infatti nel regime viscoso vale semplicemente la legge dei gas perfetti che è insensibile alla composizione chimica, nel regime molecolare vale ancora la legge dei gas perfetti, ma le molecole si comportano come particelle indipendenti con la loro dinamica che dipende dalla massa e inoltre l'interazione con le pareti ha un ruolo essenziale.

Analogamente alla conduttanza della legge di Ohm, la conduttanza di una serie di tubazioni di conduttanza $C_{i}\$ vale:

$1/C_{serie}=\sum _{i}1/C_{i}\$

(7)

Notare che tale regola abbia un valore non sempre preciso, in quanto se il passaggio tra un condotto e un altro avviene con tubazioni di diametro differente, in maniera brusca, la conduttanza equivalente risulta inferiore a quella ricavabile dalla equazione (7).

Mentre la conduttanza di condotti in parallelo vale:

$C_{parallelo}=\sum _{i}C_{i}\$

(8)

Un caso semplice da trattare è quello di un tubo di sezione circolare costante e di lunghezza finita. In tale caso definiamo con D il Diametro del tubo e con L la sua lunghezza. Nel regime viscoso bisogna distinguere due comportamenti diversi. Nel caso in cui il rapporto tra il carico e il diametro D sia maggiore di un valore semiempirico:

${\frac {Q}{D}}>244\ mbar\ ls^{-1}$

In cui il gas è in regime turbolento (in quanto il numero di Reynolds è grande). In tale regime non esiste una formula semplice per calcolare la conduttanza, la quale è in ogni caso grande a causa della pressione media elevata. In tale situazione la conduttanza non rappresenta una limitazione reale al trasporto di materia.

Schematizzazione di un tubo in regime laminare

In condizioni di vuoto viscoso laminare (cioè non turbolento) in un tubo di diametro $D\$ e lunghezza $l\$, imponendo che la forza di trascinamento dovuta alla differenza di pressione $p_{1}-p_{2}\$ sia pari alla forza di attrito dovuta alla viscosità $\eta \$, si determina il profilo della velocità in funzione della distanza r dal centro:>

$v(r)={\frac {1}{4\eta }}{\frac {p_{1}-p_{2}}{l}}(D^{2}/4-r^{2})\$

Il profilo del velocità del gas ha una distribuzione parabolica, come mostrato in figura. La legge di Poiseuille ricavata da questa espressione, determina la portata ${\dot {V}}\$ (il volume di fluido trasportato nell'unità di tempo):

${\dot {V}}=\int _{0}^{D/2}v(r)2\pi rdr={\frac {\pi D^{4}}{128\eta }}{\frac {p_{1}-p_{2}}{l}}\$

Il carico è eguale alla portata moltiplicato la pressione media:

$Q={\dot {V}}{\frac {p_{1}+p_{2}}{2}}=\int _{0}^{D/2}v(r)2\pi rdr={\frac {\pi D^{4}}{128\eta }}{\frac {p_{1}-p_{2}}{l}}{\frac {p_{1}+p_{2}}{2}}\$

Quindi la conduttanza è eguale al carico diviso la differenza di pressione. Quindi usando la viscosità dell'aria si può ricavare che la conduttanza in regime viscoso vale approssimativamente:

$C_{L}=135{\frac {D^{4}}{L}}\left({\frac {p_{1}+p_{2}}{2}}\right)\ l/s\qquad L\gg D$

(9)

Con $p_{1}\$ e $p_{2}\$ le pressioni agli estremi in mbar, mentre D e L sono in cm. La viscosità dei gas dipende poco dalla massa dei gas in gioco, mentre ha una marcata dipendenza dalla temperatura (cresce con la radice quadrata della temperatura assoluta).

La conduttanza è tanto maggiore quindi, quanto maggiore è la pressione media nel condotto. Si noti come la conduttanza non dipende dal tipo di gas presente, in quanto essendo grande il numero di Knudsen la viscosità del gas ha un ruolo essenziale nella dinamica e dipende in maniera semplice dalla teoria cinetica dei gas.

Il moto delle molecole è prevalentemente lungo il condotto e quindi il controflusso è trascurabile, si nota che invece è un fenomeno vistoso in regime molecolare. In realtà la legge di Poiseuille dipende con l'inverso della viscosità del gas e nella formula è stato usato il valore numerico di quello dell'aria, se il gas ha una diversa composizione rispetto all'aria va fatta una correzione.

Esempio: un condotto lungo 1 m=100 cm, di diametro 1 cm, in cui la pressione inferiore (vicino alla pompa) vale 10 mbar mentre l'altro estremo sta a 20 mbar. Il cammino libero medio è inferiore a 0.1 mm, quindi si è in regime viscoso in quanto a costante di Knudsen vale meno di 0.01. Quindi sostituendo tali valori nell'equazione (9) si ha una conduttanza di 34 l/s

Nel regime molecolare la traiettoria delle particelle ha un comportamento dettato dagli urti con il condotto e sono comuni anche urti che riportano indietro le particelle, specialmente se la lunghezza del condotto è breve. Infatti le molecole vengono adsorbite sulla superficie e rilasciate lentamente e casualmente in una direzione che non dipende dalla traiettoria iniziale. La velocità quadratica media (proporzionale alla temperatura assoluta e inversamente alla massa delle molecole che compongono il gas) gioca un ruolo non trascurabile.

Nel regime molecolare, la conduttanza ha un valore indipendente dalla pressione, ma sempre minore che nel regime viscoso. Questo implica che via via che diminuisce il vuoto sia sempre più difficile raggiungere vuoti elevati in quanto le conduttanze dei condotti limitano la velocità di pompaggio. Una formula semiempirica può essere ricavata dalla teoria cinetica dei gas:

$C_{L}=D^{2}{\sqrt {\frac {\pi RT}{32M}}}{\frac {1}{1+3L/4D}}\ l/s$

(10)

Dove $M\$ è la massa delle molecole che compongono il gas in g/mole (cioè l'Idrogeno molecolare ha una massa di 2 g). L è la lunghezza del condotto e D il suo diametro. Si nota che in questo caso la conduttanza dipende dalla massa delle specie gassose presenti, la dipendenza dalla temperatura è l'opposto di quello che si aveva nel regime viscoso. In cui crescendo la viscosità con la radice quadrata della temperatura, e figurando la viscosità al denominatore, la conduttanza diminuiva al crescere della temperatura. In regime molecolare più veloci sono le molecole più elevata è la conduttanza: la conduttanza cresce con la temperatura.

Il caso limite si ha quando la lunghezza tende a zero e quindi si tratta di un foro su una parete di area $A\$ in questo caso la equazione 10 si riduce a:

$C_{A}={\sqrt {\frac {RT}{2\pi M}}}A\ l/s$

(11)

DIMOSTRAZIONE della conduttanza in regime molecolare (caso limite).

Un foro in regime molecolare

Supponiamo di avere un foro su di una parete e questo foro abbia una superficie pari ad $A\$. Siano $J_{1}\$ e $J_{2}\$ i flussi di materia a differenti pressioni $p_{1}\$ e $p_{2}\$ con $p_{1}>p_{2}\$. In regime molecolare la molecola non segue un particolare percorso durante il suo cammino, mentre questo non succede in regime viscoso dove più o meno tutte le particelle si muovono dalla stessa parte. Considerando il numero di particelle che nell' unità di tempo attraversano il foro:

${\dot {N}}=(J_{1}-J_{2})A\$

la quantità di materia $Q$ si scrive:

$Q=k_{B}T{\dot {N}}={\sqrt {\frac {RT}{2\pi M}}}A(p_{1}-p_{2})\$

Quindi la conduttanza si scrive come la (11). In regime molecolare per poter aspirare tanta materia ci vogliono dei fori molto grandi. Non basta avere dei condotti di breve lunghezza.

Quindi all'aumentare della velocità di aspirazione delle pompe da vuoto in regime molecolare, l'imboccatura della pompa deve crescere in maniera da rendere trascurabile la conduttanza del foro di uscita rispetto alla velocità di aspirazione della pompa stessa

Velocità di aspirazione

Andamento tipico della velocità di pompaggio di una pompa root in funzione della pressione, la velocità è espressa in litri al secondo

Le pompe da vuoto sono dei sistemi attivi che riducono il vuoto, nel seguito verranno descritti i vari tipi. Qui ci interessa la legge che governa il loro comportamento da un punto di vista fisico generale. Quindi è importante sapere la quantità di gas in volume asportata nell'unità di tempo dalla pompa stessa quando sulla sua imboccatura sia presente una pressione $P\$. Tale grandezza che ha le dimensioni di un volume nell'unità di tempo viene chiamata velocità di aspirazione della pompa e in genere indicata con $S\$. Tale grandezza fisica ha le stesse dimensioni della conduttanza, ma rappresenta fisicamente un qualcosa di diverso, infatti la conduttanza determina la perdita di carico in un condotto ed è quindi un elemento passivo, la velocità di aspirazione è la misura di un processo attivo. $S\$ è sempre maggiore di 0, dipende da $P\$ e si definisce come range di utilizzo l'intervallo di pressioni per cui il valore $S\$ sia significatamente maggiore di 0. Ad esempio nella figura accanto si ha che il range di funzionamento della pompa è tra $0.001\ Pa$ e $10^{5}\ Pa$, in tale intervallo di pressioni la velocità di pompaggio si mantiene ben al di sopra dello 0.

Velocità effettiva di pompaggio di una pompa da vuoto

Immaginiamo di avere una pompa con velocità di aspirazione $S^{*}\$ e pressione alla bocca di $p^{*}\$. Attraverso un condotto di conduttanza C viene connesso a una camera da vuoto a pressione p.

Vogliamo sapere quale sia l'effettiva velocità di pompaggio della pompa. Cioè la qualtità di gas che viene aspirata alla bocca della camera da vuoto. Facciamo il ragionamento in maniera pedante. A causa della conservazione della materia avremo che:

$Q=S^{*}p^{*}=S_{e}p\$

ma anche:

$Q=S^{*}p^{*}=C(p-p^{*})\$

dalla prima:

$p=p^{*}{\frac {S^{*}}{S_{e}}}\$

Sostituita nella seconda.

$S^{*}p^{*}=Cp^{*}\left({\frac {S^{*}}{S_{e}}}-1\right)\$

da cui:

$S_{e}={\frac {S^{*}C}{S^{*}+C}}$

(12)

Da tale equazione appare evidente che il valore della conduttanza vada dimensionato in maniera opportuna a seconda della velocità di aspirazione della pompa stessa.

Sistema da vuoto complessivo

Gli elementi di un sistema da vuoto sono sintetizzati da quello che avviene tra il tempo $t\$ e $t+dt\$. In tale intervallo di tempo entra una quantità di materia pari $Q_{T}dt\$, contemporaneamente la pompa da vuoto con una velocità effettiva di aspirazione $S_{e}\$ sottrae alla pressione $P\$ in cui è il sistema una quantità di materia pari a $S_{e}Pdt\$. Di conseguenza se è prevalente l'aspirazione rispetto all'ingresso di materia la pressione diminuisce di $dP\$. Imponendo la conservazione della materia segue la seguente equazione:

$-VdP=S_{e}Pdt-Q_{T}dt\$

Tale equazione può facilmente trasformarsi in una equazione differenziale:

$Q_{T}=S_{e}P+V{\frac {dP}{dt}}$

(13)

Da tale equazione si ricava che il vuoto limite in condizioni stazionarie $dP/dt=0\$ vale $P_{l}=Q_{T}/S_{e}\$, che viene raggiunto in maniera asintotica con una costante di tempo pari a $V/S_{e}\$. Tale ragionamento è molto grossolano in quanto considera $S_{e}\$ costante, mentre come si è detto essa è una funzione della pressione. Inoltre $Q_{T}\$ è una funzione del tempo in quanto il degassamento delle pareti diminuisce in maniera sensibile con il tempo. In ogni caso tale equazione, anche se con approssimazioni grossolane, permette di individuare in maniera approssimativa il tempo di pompaggio, il vuoto limite e dimensionare le parti del sistema da vuoto.

Bibliografia

• A. Chambers R. K. Fitch, B. S. Halliday, 2ª ed., IOP, 1998, Basic Vacuum Technology, ISBN 0 7503 0495 2.
• J. F. O'Hanlon A User's Guide to Vacuum Technology, 2003, 3ª ed., Wiley, ISBN 978 0 471 27052 2.

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