Analisi topologica dei circuiti elettrici/Reti non lineari

La maggior parte dei progetti elettronici sono, in realtà, non lineari... questi sono inevitabilmente non lineari, la funzione di trasferimento di un semiconduttore (giunzione p-n) è data dalla seguente relazione decisamente non lineare:

$i=I_{o}(e^{\frac {v}{V_{T}}}-1)$

in cui;

• i e v sno i valori istantanei della corrente e della tensione.
• I_o è un parametro arbitrario denominato corrente inversa di perdita il cui valore dipende dalla costruzione del dispositivo.
• V_T è un parametro proporzionale alla temperatura denominato tensione termica e uguaglia 25mV alla temperatura ambiente.

Ci sono molti altri modi che possono visualizzare la non linearità in una rete. Tutti i metodi che utilizzano la sovrapposizione lineare falliranno quando siano presenti dei componenti non lineari . Ci sono diverse opzioni per trattare con la non linearità a seconda del tipo di circuito e delle informazioni che l'analista desidera ottenere.

Equazioni costitutive

L'equazione del diodo suddetta è un esempio di una equazione costitutiva di un elemento elettrico non lineare della forma generica

$f(v,i)=0\,$

Ciò può far portare a considerare un resistore come non lineare. Le equazioni costitutive per le induttanze e le capacita non lineari sono rispettivamente:

$f(v,\theta )=0\,$

$f(v,q)=0\,$

in cui $f$ è una qualsiasi funzione arbitraria, $\theta$ è il flusso magnetico immagazzinato e $q$ la carica immagazzinata.

Esistenza, unicità e stabilità delle soluzioni

Una considerazione importante in analisi non lineare è la questione dell'unicità. Per una rete composta di componenti lineari ci sarà sempre una soluzione unica per un dato insieme di condizioni al contorno. Nei circuiti non lineari questo però non è sempre il caso. Per esempio, un resistore con una corrente fissa che lo attraversa ha una sola soluzione per la tensione ai suoi capi. D'altra parte, il diodo a effetto tunnel ha fino a tre soluzioni per la tensione per una data corrente. Cioè, una soluzione particolare per una corrente che attraversa il diodo non è unica, ce ne potrebbero essere altre, ugualmente valide. In alcuni casi non ci potrebbe essere una soluzione affatto: la questione della esistenza di soluzioni deve venire considerata.

Un'altra considerazione importante è la questione della stabilità. Una soluzione particolare può esistere, ma potrebbe comunque non essere stabile, rapidamente allontanandosi da quella alla minima stimolazione. Può essere dimostrato che una rete che è assolutamente stabile in tutte le condizioni ha una soluzione sola per ciascuna serie di condizioni.

Metodi

Analisi booleano di reti a commutazione

Un dispositivo di commutazione è un dispositivo in cui la non linearità è utilizzata per produrre due stati opposti. I dispositivi CMOS nei circuiti digitali, per esempio, hanno la loro uscita collegata o all'alimentazione positiva o all'alimentazione negativa e non si trovano mai connessi in qualche cosa di intermedio tranne che durante un periodo transitorio quando il dispositivo sta effettivamente commutando. Qui la non linearità è progettato per essere estrema, e l'analista può effettivamente trarre vantaggio da questo fatto. Questi tipi di reti possono essere analizzati tramite l'algebra booleana assegnando ai due stati ("on" / "off", "positivo" / "negativo" o qualsiasi altro stato sia in utilizzo) le costanti booleane "0" e "1".

I transienti sono ignorati in questa analisi, insieme a qualsiasi lieve discrepanza tra lo stato attuale del dispositivo e lo stato nominale assegnato al valore della variabile booleana. Per esempio, valore "1" può essere assegnato allo stato di + 5V. L'uscita del dispositivo può essere effettivamente + 4.5V ma l'analista ritiene comunque che questo sia valore "1". I produttori di dispositivi di solito vogliono specificare un intervallo di valori nelle loro schede dati che sono da considerarsi indefinita (cioè il risultato sarà imprevedibile).

I transienti non sono del tutto priva di interesse per l'analista. La velocità massima di commutazione è determinata dalla velocità di transizione da uno stato all'altro. Fortunatamente per l'analista, per molti dispositivi la maggior parte della transizione avviene nella porzione lineare della funzione di trasferimento dei dispositivi e l'analisi lineare può essere applicata per ottenere almeno una risposta approssimativa.

È matematicamente possibile derivare algebre booleane che hanno più di due stati. Il loro uso non è troppo frequente in elettronica, anche se i dispositivi a tre stati siano abbastanza comuni.

Analisi suddivisa della polarizzazione e dei segnali

Questa tecnica viene utilizzata quando il funzionamento del circuito è quello di essere essenzialmente lineare, ma i dispositivi utilizzati per la sua attuazione sono non lineari. Un amplificatore a transistor è un esempio di questo tipo di rete. L'essenza di questa tecnica consiste nel suddividere l'analisi in due parti. In primo luogo, le polarizzazioni DC sono analizzate utilizzando dei metodi non-lineari. Questo stabilisce il punto polarizzato di funzionamento del circuito. In secondo luogo, le caratteristiche del circuito afferenti i segnali vengono analizzate utilizzando l'analisi di rete lineare. Esempi di metodi che possono essere impiegate per entrambe queste fasi sono riportati di seguito.

Metodo grafico di analisi DC

In moltissimi progetti di circuiti, la polarizzazione DC viene avviata ai componenti non lineari tramite dei resistori (o eventualmente una rete di resistori). Poiché i resistori sono componenti lineari, è particolarmente facile determinare il punto operativo in assenza di segnale del dispositivo non lineari da un grafico della sua funzione di trasferimento. Il metodo è il seguente: dall'analisi di rete lineare la funzione di trasferimento è calcolata (che è la tensione di uscita da una corrente di uscita) è calcolato sia per la rete resistiva che per il generatore li produce. Questa sarà una linea retta (detta linea di carico) e può facilmente essere sovrapposta sull grafico della funzione di trasferimento del dispositivo non lineare. Il punto in cui le linee si incrociano è il punto operativo in assenza di segnale.

Forse il metodo pratico più semplice è quello di calcolare la tensione della rete lineare a circuito aperto e la corrente di corto circuito e tracciare questi sulla funzione di trasferimento del dispositivo non lineare. La retta che unisce i due punti è la funzione di trasferimento della rete.

In realtà, il progettista del circuito potrebbe procedere in senso inverso a quello descritto. Partendo da un grafico fornito nel foglio dati del produttore del dispositivo non lineare, il progettista potrebbe scegliere il punto di funzionamento desiderato e quindi calcolare i valori dei componenti lineari necessari per realizzarlo.

È ancora possibile utilizzare questo metodo se il dispositivo che è polarizzato ha la sua polarizzazione fornita attraverso un altro dispositivo che è esso stesso non lineare - un diodo per esempio. In questo caso però, il tracciamento della funzione di trasferimento della rete sul dispositivo che è polarizzato non sarebbe più una linea retta e di conseguenza più noioso da fare.

Circuiti equivalenti per piccoli segnali

Questo metodo può essere utilizzato quando la escursione dei segnali di ingresso e di uscita in una rete elettrica rimane sostanzialmente dentro la parte lineare della funzione di trasferimento dei dispositivi non lineari, oppure è così piccola che la curva della funzione di trasferimento può essere considerata lineare. Sulla base di queste condizioni specifiche, il dispositivo non lineare può essere rappresentato da una rete lineare equivalente. Bisogna ricordare che questo circuito equivalente è del tutto fittizio e valido solo per le piccole escursioni di segnale. È del tutto inapplicabile alla polarizzazione CC del dispositivo.

Per un semplice dispositivo a due terminali, il circuito equivalente per piccoli segnali potrebbe essere di non più di due componenti. Una resistenza di valore uguale alla pendenza della curva v / i in corrispondenza e tangente al punto operativo (chiamata resistenza dinamica). Un generatore, perché questa tangente non passerà, in generale, attraverso l'origine. Con più terminali, sono necessari circuiti equivalenti più complicati.

Una forma largamente diffusa di specificare il circuito equivalente per i piccoli segnali tra i produttori di transistor è quello di utilizzare i parametri di rete a due porte conosciuti come parametri |H|.. Questi sono una matrice di quattro parametri come i parametri [Z] ma nel caso dei parametri [H] sono una miscela ibrida di impedenze, ammettenze, guadagni di corrente e guadagni tensione. In questo modello il transistore a tre terminali è considerato un Quadripolo, uno dei suoi terminali è comune ad entrambe le porte. I parametri [H] sono molto diversi a seconda di quale terminale è scelto come terminale comune. Il parametro più importante per i transistori di solito è il guadagno di corrente diretta, H₂₁, in configurazione emettitore comune. Questo è designato HFE sulle schede tecniche.

Il circuito equivalente per piccoli segnali in termini di parametri di un quadripolo conduce al concetto dei generatori dipendenti. Cioè, il valore di tensione o di corrente del generatore dipende linearmente dalla tensione o corrente presente in un'altra parte del circuito. Per esempio il modello del parametro [H] porta a generatori di tensione dipendenti come mostrato in questo schema;

[z] circuito equivalente parametrico che mostra i generatori dipendenti di tensione

Ci saranno sempre i generatori dipendenti in un circuito equivalente parametro a due porte. Questo vale per i parametri [H] così come per i parametri [Z] e qualsiasi altro tipo di parametri. Queste dipendenze devono essere conservate nello sviluppo delle equazioni in una più ampia analisi di rete lineare.

Modello a tratti lineari

In questo metodo, la funzione di trasferimento del dispositivo non lineare viene suddivisa in regioni. Ciascuna di queste regioni viene approssimata con una linea retta. Pertanto, la funzione di trasferimento sarà lineare fino ad un particolare punto dove ci sarà una discontinuità. Passato questo punto la funzione di trasferimento sarà nuovamente lineare, ma con una pendenza differente.

Un'applicazione ben conosciuta di questa metodo è l'approssimazione della funzione di trasferimento di un diodo a giunzione pn. La funzione di trasferimento di un diodo ideale è stata espressa nella parte superiore di questa sezione (non lineare). Tuttavia, questa formula viene utilizzata raramente in analisi di rete, ed una approssimazione a tratti viene invece usata al suo posto. Si può notare che la corrente del diodo diminuisce rapidamente al valore di saturazione inversa I₀ come la tensione si riduce. Questa corrente, per molti scopi, è così piccola che può essere ignorata. Con l'aumento di tensione, la corrente aumenta in modo esponenziale. Il diodo è conformato a un circuito aperto fino al ginocchio della curva esponenziale, quindi oltre questo punto come una resistenza uguale alla resistività di superficie del materiale semiconduttore.

I valori comunemente accettati per la tensione del punto di transizione sono 0.7V per i dispositivi al silicio e 0.3V per dispositivi al germanio. Un modello ancora più semplice del diodo, talvolta usato in applicazioni di commutazione, è un cortocircuito per la polarizzazione diretta ed un circuito aperto per la polarizzazione inversa.

Il modello di una giunzione pn a polarizzata diretta di approssimativamente 0,7 V costante è anche una approssimazione molto usato per la tensione della giunzione base-emettitore dei transistori nella progettazione degli amplificatori.

Il metodo a tratti è simile al metodo per piccoli segnali in quanto le tecniche di analisi delle reti lineari possono essere applicate solo se il segnale rimane entro certi limiti. Se il segnale attraversa un punto di discontinuità, allora il modello non è più valido per scopi di analisi lineare. Tuttavia il modello a tratti ha un vantaggio rispetto al modello per piccoli segnale, in quanto è ugualmente applicabile alla polarizzazione di segnale e CC.

Componenti a tempo-varianti

In analisi lineare, i componenti di rete sono presunti immutabili, ma in alcuni circuiti ciò non vale, come per i generatori a spazzolamento, amplificazione di tensione controllata, filtro elettronico e equalizzatori variabili. In molti casi la variazione del valore del componente è periodica. Un componente non lineare eccitato con un segnale periodico, per esempio, può essere rappresentato come un componente lineare che varia periodicamente. Sidney Darlington ha divulgato un metodo per analizzare tali circuiti variabili periodicamente nel tempo e sviluppato forme di circuiti canoniche, che sono analoghe alle forme canoniche di Ronald Foster e Wilhelm Cauer, utilizzate per l'analisi di circuiti lineari.